高考数学(文数)二轮复习解答题通关练习08《不等式选讲》(教师版)

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8.不等式选讲1.已知函数f(x)＝|x－2a|＋|x－3a|.(1)若f(x)的最小值为2，求a的值；(2)若对∀x∈R, ∃a∈[－2,2]，使得不等式m2－|m|－f(x)<0成立，求实数m的取值范围.解　(1)|x－2a|＋|x－3a|≥|(x－2a)－(x－3a)|＝|a|，当且仅当x取介于2a和3a之间的数时，等号成立，故f(x)的最小值为|a|, ∴a＝±2.(2)由(1)知f(x)的最小值为|a|，故∃a∈[－2,2]，使m2－|m|<|a|成立，即m2－|m|<2，∴(|m|＋1)(|m|－2)<0，∴－2<m<2. 2.(1)已知x∈R，求f(x)＝|x＋1|－|x－2|的最值；(2)若|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，求a的取值范围.解　(1)∵|f(x)|＝||x＋1|－|x－2||≤|(x＋1)－(x－2)|＝3，∴－3≤f(x)≤3，∴f(x)min＝－3，f(x)max＝3.(2)∵|x－3|＋|x＋1|≥|(x－3)－(x＋1)|＝4，∴|x－3|＋|x＋1|≥4.∴当a＜4时，|x－3|＋|x＋1|＞a的解集为R.又∵|x－3|＋|x＋1|＞a的解集不是R，∴a≥4.∴a的取值范围是[4，＋∞).     3.已知函数f(x)＝|2x－1|＋ax－5(a是常数，a∈R).(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若函数f(x)恰有两个不同的零点，求实数a的取值范围.解　(1)当a＝1时，f(x)＝|2x－1|＋x－5＝由f(x)≥0，得或解得x≤－4或x≥2，故不等式f(x)≥0的解集为{x|x≤－4或x≥2}.(2)令f(x)＝0，得|2x－1|＝5－ax，则函数f(x)恰有两个不同的零点转化为y＝|2x－1|与y＝－ax＋5的图象有两个不同的交点，在同一平面直角坐标系中作出两函数的图象如图所示，结合图象知当－2<a<2时，这两个函数的图象有两个不同的交点，所以当－2<a<2时，函数f(x)恰有两个不同的零点，故实数a的取值范围为(－2,2). 4.已知函数f(x)＝|x－2m|－|x＋m|(m>0).(1)当m＝2时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|恒成立，求m的取值范围.解　(1)f(x)＝|x－2m|－|x＋m|＝当m＝2时，由－2x＋2≥1得－2<x≤，又当x≤－2时，f(x)≥1恒成立，所以不等式f(x)≥1的解集为.(2)不等式f(x)≤|t＋3|＋|t－2|对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数x，f(x)≤(|t＋3|＋|t－2|)min恒成立，即f(x)max≤(|t＋3|＋|t－2|)min，∵f(x)＝|x－2m|－|x＋m|≤|(x＋m)－(x－2m)|＝3m，|t＋3|＋|t－2|≥|(t＋3)－(t－2)|＝5，∴3m≤5，又m>0，∴0<m≤.