初中数学第十六章 一元二次方程综合与测试综合训练题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程专题训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（　　）

A．x2+130x﹣1400＝0 B．x2+65x﹣350＝0

C．x2﹣130x﹣1400＝0 D．x2﹣65x﹣350＝0

2、关于的一元二次方程的一个根是3，则的值是（    ）

A．3 B． C．9 D．

3、方程x2﹣x＝0的解是（　　）

A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝0，x2＝1

4、某公司去年的各项经营中，九月份的营业额为200万，十一月的营业额为950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，设这个增长率为，则可列方程得（    ）

A． B．

C． D．

5、下列方程中是一元二次方程的是（　　）

A．2x+1＝0 B．y2+x＝1 C．x2+1＝0 D．

6、一元二次方程的两个根是 （    ）

A．， B．， C．， D．，

7、将方程化为一元二次方程的一般形式，正确的是（    ）．

A． B． C． D．

8、已知关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x12+x22＝5，则k的值是（　　）

A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1

9、若一元二次方程x25x+k =0的一根为2，则另一个根为（   ）

A．3 B．4 C．5 D．6

10、下列方程是一元二次方程的是（    ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、某工厂生产一款零件的成本为500元，经过两年的技术创新，现在生产这款零件的成本为405元，求该款零件成本平均每年的下降率是多少？设该款零件成本平均每年的下降率为，可列方程为______．

2、阅读下列材料：

早在公元1世纪左右，我国著名的数学典籍《九章算术》中就已经对一元二次方程进行了研究：在“勾股”章中，根据实际问题列出方程x2 + 34x - 71000 = 0，给出该方程的正根为x = 250，并简略指出解该方程的方法：开方除之．其后，受此启发，有数学家研究了利用几何图形求解该方程的方法，对于丰富我国古代有关一元二次方程的研究具有重要的价值．用该方法求解的过程如下（如图）：

第一步：构造

已知小正方形边长为x，将其边长增加17，得到大正方形．

第二步：推理

根据图形中面积之间的关系，可得（x+17）2 = x2 + 2 × 17x + 172．

由原方程x2 + 34x - 71000 = 0，得x2 + 34x = 71000．

所以（x+17）2 = 71000 + 172．

所以（x+17）2 = 71289．

直接开方可得正根x = 250．

依照上述解法，要解方程x2 + bx + c = 0（b > 0），请写出第一步“构造”的具体内容与第二步中“（x+17）2 = 71000 + 172”相应的等式是 _________ ．

3、将化为一般形式为________．

4、若是关于的一元二次方程的一个根，则的值为  ___________

5、已知（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，则一元二次方程x2+x﹣m＝0的根是 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解方程：

（1）x2﹣4x﹣1＝0；

（2）x2﹣x﹣12＝0．

2、解方程：．

3、在实数范围内定义一种运算“*”，其运算法则为．如：．根据这个法则，

（1）计算：________；

（2）判断是否为一元二次方程，并求解．

（3）判断方程的根是否为，，并说明理由．

4、解方程：

（1）（配方法）

（2）（公式法）

5、解方程：

（1） 2x2-4x-3＝0．

（2）3x（x-1）=2-2x．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

先用表示出矩形挂图的长和宽，利用面积公式，即可得到关于的方程．

【详解】

解：由题意可知：挂图的长为，宽为，

，

化简得：x2+65x﹣350＝0，

故选：B．

【点睛】

本题主要是考查了一元二次方程的实际应用，熟练根据等式列出对应的方程，是解决该类问题的关键．

2、C

【分析】

把x=3代入已知方程，列出关于m的方程，通过解方程可以求得m的值．

【详解】

解：关于的一元二次方程的一个根是3

m=9

故选：C

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

3、D

【分析】

因式分解后求解即可.

【详解】

x2﹣x＝0，

x（x-1）=0，

x=0，或x-1=0，

解得x1＝0，x2＝1，

故选：D

【点睛】

此题考查因式分解法解一元二次方程，因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解．

4、C

【分析】

根据增长率的意义，列式即可．

【详解】

设这个增长率为，

根据题意，得，

故选C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，熟练增长率问题计算特点是解题的关键．

5、C

【详解】

解：A、未知数次数是1，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

B、含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

C、是一元二次方程，故本选项符合题意；

D、分母中含有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的定义，熟练掌握含有1个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程是一元二次方程是解题的关键．

6、C

【分析】

分别令和，即可求出该方程的两个根．

【详解】

解：由可知：或，

方程的解为：，

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了一元二次方程的求解，一定要熟练掌握两项乘积为的一元二次方程的求解：令每一项都为0，即可求出该方程的两个根．

7、B

【分析】

根据一元二次方程的概念，判断即可，一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

【详解】

解：化为一元二次方程的一般形式为

故选B

【点睛】

本题考查了一元二次方程的概念，掌握一元二次方程的一般形式是解题的关键．

8、D

【分析】

用根与系数的关系可用k表示出已知等式，可求得k的值．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程x2﹣kx+k﹣3＝0的两个实数根分别为x1，x2，

∴x1+x2＝k，x1x2＝k﹣3，

∵x12+x22＝5，

∴（x1+x2）2﹣2x1x2＝5，

∴k2﹣2（k﹣3）＝5，

整理得出：k2﹣2k+1＝0，

解得：k1＝k2＝1，

故选：D．

【点睛】

本题考查一元二次方程根根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．

9、A

【分析】

设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到2＋t＝5，求出t即可．

【详解】

解：设方程的另一根为t，

根据题意得2＋t＝5，

解得t＝3．

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，则x1＋x2＝，x1·x2＝．

10、C

【分析】

判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

【详解】

A.有两个未知数，错误；

B.不是整式方程，错误；

C.符合条件；

D.化简以后为，不是二次，错误；

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．

二、填空题

1、

【分析】

根据题意可用x表示出经过两年的技术创新后生产这款零件成本的代数式，即可列出方程．

【详解】

设该款零件成本平均每年的下降率为x，

经过第一年的技术创新后生产这款零件的成本为（元），

经过第二年的技术创新后生产这款零件的成本为（元），

所以可列方程为：．

故答案为：．

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用．根据题意找出数量关系列出方程是解答本题的关键．

2、
 

【分析】

根据题中例题及配方法求解即可得．

【详解】

解：第一步：“构造”

内容为：已知小正方形边长为x，将其边长增加，得到大正方形；

第二步：“推理”

，

∵，得，

∴，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查利用配方法解一元二次方程的应用，理解题中例题及配方法是解题关键．

3、

【分析】

移项，将方程右边化为0

【详解】

解：化为一般形式为

故答案为：．

【点睛】

本题考查一元二次方程的定义，属于基础题，一元二次方程的一般式：．

4、2025

【分析】

把代入方程即可求得的值，然后将其整体代入所求的代数式求解即可.

【详解】

把代入方程得：，

.

故答案为：2025.

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解及代数式求值，解题关键是熟练掌握计算法则.

5、或.

【分析】

由题意将（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x变形为，进而即可求得一元二次方程x2+x﹣m＝0的根.

【详解】

解：∵（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x，

∴，

∵x2+x﹣m＝0，

∴，

解得：或.

故答案为：或.

【点睛】

本题考查求一元二次方程的根，注意将（x+3）（x﹣2）+m＝x2+x变形为是解题的关键.

三、解答题

1、（1），；（2），．

【分析】

（1）利用配方法求解即可；

（2）利用因式分解法求解即可．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，；

（2）∵，

∴，

∴，．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．

2、或

【分析】

利用十字相乘因式分解，进而即可求解．

【详解】

，

，

∴或，

解得：或．

【点睛】

本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握“十字相乘法”是解题的关键．

3、（1）

（2）是一元二次方程，

（3）不是，理由见解析

【分析】

（1）根据直接代入求值即可；

（2）根据新定义，将方程化简，进而解一元二次方程即可；

（3）方法同（2）解一元二次方程，进而判断方程的根即可

（1）

故答案为：

（2）

是一元二次方程

解得：

（3）

的根不是，

，则，即

【点睛】

本题考查了新定义运算，代数式求值，解一元二次方程，一元二次方程的定义，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．一元二次方程定义，只含有一个未知数，并且未知数项的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．

4、（1）；（2）

【分析】

（1）利用配方法，首先将常数项移项，再配方，方程两边同时加上一次项系数一半的平方求出即可；

（2）利用公式法直接代入求出即可．

【详解】

（1）

（2）

∴

∴

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，熟练掌握公式法、配方法的解题步骤是解题的关键．

5、（1）x1＝1＋，x2＝1－；（2）x1=1，

【分析】

（1）根据公式法解一元二次方程即可；

（2）根据因式分解的方法解一元二次方程

【详解】

解：（1）2x2－4x－3＝0

a=2，b=-4，c=-3，

△=16+24=40＞0，

，

∴x1＝1＋，x2＝1－

（2）3x（x-1）+2（x-1）=0，

（x-1）（3x+2）=0，

x-1=0或3x+2=0，

所以x1=1，

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．