2021学年第十六章 一元二次方程综合与测试测试题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、把方程化成（a，b为常数）的形式，a，b的值分别是（    ）．

A．2，7 B．2，5 C．，7 D．，5

2、一元二次方程x2﹣x＝0的解是（　　）

A．x1＝0，x2＝1 B．x1＝x2＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣1

3、下列命题中，逆命题不正确的是（　　）

A．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）没有实数根，那么b2﹣4ac＜0

B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等

C．全等三角形对应角相等

D．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

4、下列一元二次方程中，有一个根为0的方程是（　　）

A．x2﹣4＝0 B．x2﹣4x＝0 C．x2﹣4x+4＝0 D．x2﹣4x﹣4＝0

5、下列方程中，是一元二次方程的个数有（　　）

（1）x2＋2x＋1＝0；（2）＋＋2＝0；（3）x2－2x＋1＝0；（4）（a－1）x2＋bx＋c＝0；（5）x2＋x＝4－x2．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

6、已知一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，则一元二次方程ax2－bx+c=3的两根分别为（   ）

A．x1=0，x2=－3 B．x1=－1，x2=－4

C．x1=0，x2=3， D．x1=2，x2=－1

7、下列方程中一定是一元二次方程的是（    ）

A．x2﹣4＝0 B．ax2＋bx＋c＝0 C．x2﹣y＋1＝0 D．＋x﹣1＝0

8、一元二次方程x2＝－2x的解是（      ）

A．x1＝x2＝0 B．x1＝x2＝2 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝－2

9、用配方法解方程x2－4x－3＝0时，配方后的方程为（  ）

A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝7 D．(x－2)2＝7

10、南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（    ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若m是方程的一个根，则的值为______．

2、关于x的一元二次方程kx2＋3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是_____．

3、2021年是中国共产党建党100周年，全国各地积极开展“弘扬红色文化，重走长征路”主题教育活动．据了解，某展览中心3月份的参观人数为10万人，5月份的参观人数增加到12.1万人．设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为________．

4、设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则______．

5、若方程是关于的一元二次方程，则__________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；

（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．

2、在商场中，被称为“国货之星”某运动品牌的鞋子，每天可销售20双，每双可获利40元．为庆祝新年，对该鞋子进行促销活动，该鞋子每双每降价1元，平均每天可多售出2双．若设该鞋子每双降价x元，请解答下列问题：

（1）用含x的代数式表示：降价x元后，每售出一双该鞋子获得利润是        元，平均每天售出        双该鞋子；

（2）在此次促销活动中，每双鞋子降价多少元，可使该品牌的鞋子每天的盈利为1250元？

3、计算：

（1）3x2+3＝7x；（用配方法解方程）

（2）4y（3﹣y）＝（y﹣3）2．

4、解下列方程：

（1）x2﹣2x＝0；

（2）x2+4x﹣8＝0．

5、2021年是中欧班列开通十周年．某地自开通中欧班列以来，逐渐成为我国主要的集贸区域之一．2019年该地中欧班列的开行量为500列，2021年达到1280列．求该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

利用配方法将一元二次方程进行化简变形即可得．

【详解】

解：，

，

，

，

∴，，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查利用配方法将一元二次方程进行变形，熟练掌握配方法是解题关键．

2、A

【分析】

方程左边含有公因式x，可先提取公因式，然后再分解因式求解．

【详解】

解：∵x2-x＝0，

∴x（x-1）＝0，

则x＝0或x-1＝0，

解得：x1＝0，x2＝1．

故选A．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解法-因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．

3、C

【分析】

分别写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．

【详解】

解：A.逆命题为：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中b2﹣4ac＜0，那么它没有实数根，正确，不符合题意；

B.逆命题为：到线段距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，不符合题意；

C.逆命题为：对应角相等的两三角形全等，错误，符合题意；

D.逆命题为：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，不符合题意．

故选：C

【点睛】

本题考查了原命题、逆命题，命题的真假，一元二次方程根的判别式，线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质，勾股定理极其逆定理等知识，综合性较强，准确写出各选项的逆命题并准确判断是解题关键．

4、B

【分析】

根据方程根的定义，将x＝0代入方程使得左右两边相等的即可确定正确的选项．

【详解】

解：A.当x＝0时，02﹣4＝﹣4≠0，故错误，不符合题意；

B.当x＝0时，02﹣0＝0，故正确，符合题意；

C.当x＝0时，02﹣0+4＝4≠0，故错误，不符合题意；

D.当x＝0时，02﹣0﹣4＝﹣4≠0，故错误，不符合题意．

故选：B

【点睛】

本题考查了一元二次方程方程解的定义，熟知方程的解的定义是解题关键，注意一元二次方程的解又叫做一元二次方程的根．

5、B

【分析】

根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为二次的整式方程，且二次项系数不为0）依次进行判断即可．

【详解】

解：（1）是一元二次方程；

（2）不是一元二次方程；

（3）是一元二次方程；

（4），的值不确定，不是一元二次方程；

（5）是一元二次方程，

共3个，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查一元二次方的定义，深刻理解这个定义是解题关键．

6、D

【分析】

首先根据a+b+c=3可得一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为，然后根据根与系数的关系可得，，然后代入一元二次方程ax2－bx+c=3中即可求解．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，

∴一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为1，

∴一元二次方程ax2+bx+c=3化成一般形式为ax2+bx+c-3＝0，

∴，，

∵ax2－bx+c=3化成一般形式为ax2-bx+c-3＝0，即，

∴，

∴，

∴或，

解得：．

故选：D．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．

7、A

【分析】

利用一元二次方程定义进行解答即可．

【详解】

解：A、是一元二次方程，故此选项符合题意；

B、当a=0时，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

C、含有两个未知数，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

D、未知数次数为1，不是一元二次方程，故此选项不合题意；

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．

8、D

【分析】

先移项、然后再利用因式分解法解方程即可．

【详解】

解 ：x2＝－2x

x2+2x=0

x（x+2）＝0，

x＝0或x+2＝0，

所以x1＝0，x2＝-2．

故选：D．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程−因式分解法,把解一元二次方程的问题转化为解一元一次方程的问题成为解答本题的关键．

9、D

【分析】

根据配方法转化为的形式，问题得解．

【详解】

解：x2－4x－3＝0，

移项得，

配方得，

∴．

故选：D

【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法的步骤并准确配方（在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方）是解题的关键．

10、C

【分析】

设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

设长为x步，则宽为（60-x）步，
依题意得：x（60-x）=864，

整理得：．
故选：C．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

二、填空题

1、-16

【分析】

把x=m代入，可得，然后代入计算即可；

【详解】

解：把x=m代入，得

，

∴，

∴

=

=-3-13

=-16．

故答案为：-16．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，以及整体代入法求代数式的值，求出是解答本题的关键．

2、且

【详解】

利用判别式，根据一元二次方程的定义，列出不等式即可解决问题；

【分析】

解：∵关于x的一元二次方程kx2＋3x﹣1＝0有实数根，

∴△≥0且k≠0，

∴9＋4k≥0，

∴k≥﹣，且k≠0，

故答案为k≥﹣且k≠0．

【点睛】

本题考查根的判别式，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．

3、

【分析】

根据题意可得4月份的参观人数为人，则5月份的人数为，根据5月份的参观人数增加到12.1万人，列一元二次方程即可．

【详解】

根据题意设参观人数的月平均增长率为x，则可列方程为

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，根据增长率问题列一元二次方程是解题的关键．

4、2019

【分析】

由韦达定理可列出m，n的代数值，代入计算即可．

【详解】

∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根

∴m+n=-2，

则

【点睛】

本题考查了韦达定理，如果的两个实数根是，那么，．推论1：如果方程的两个根是，那么，.推论2：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是．

5、

【分析】

形如，含有一个未知数，未知数的最高次数是2的方程是一元二次方程，根据定义列不等式或方程，从而可得答案．

【详解】

方程是关于x的一元二次方程，

，

由①得：，

由②得：，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义列方程或不等式是解题的关键．

三、解答题

1、（1）证明见解析；（2）k=3

【分析】

（1）根据根的判别式判断即可．

（2）由等腰三角形性质可判断出腰长为2和底为2两种情况，即可求得两个k，将k代入抛物线解析式求得x的解，再结合三角形三边关系判断即可．

【详解】

（1）∵中a=1，b=-k，c=k-1

∴

∵

∴

∴无论k取何值，该方程总有实数根

（2）若2为等腰三角形的腰，则另一边也为2，即2为方程的一个根

将x=2代入有

4-2k+k-1=0

解得k=3

则方程为

解得

等腰三角形三边长为2，2，1，符合三角形三边关系．

若2为等腰三角形的底，则两根为腰且相等，有

即

解得k=2

则方程为

解得

等腰三角形三边长为2，1，1，

1+1=2，不符合三角形三边关系，故k=2舍去．

综上所述k的值为3．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形性质以及三角形三边成立的关系，易错点为第二问未验证所算三边长是否能构成等腰三角形．

2、（1）（40-x），；（2）15元

【分析】

（1）根据利用40 减去降价，可得每售出一双该鞋子获得利润，再用20加上多售出的数量，即可求解；

（2）根据该品牌的鞋子每天的盈利为1250元，列出方程，即可求解．

【详解】

解：（1）根据题意得：每售出一双该鞋子获得利润是（40-x）；平均每天售出双该鞋子；

（2）由题意可列方程（40-x）（20＋2x）＝1250             

x2-30x＋225＝0，

（x-15）2＝0，

解得x1＝x2＝15 ，        

答：每双鞋子降价15元，可使该品牌的鞋子每天的盈利为1250元．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键．

3、（1），；（2），

【分析】

（1）先移项，再方程两边都除以3，再根据完全平方公式配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；

（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．

【详解】

解：（1）3x2+3＝7x，

移项，得3x2﹣7x＝﹣3，

除以3，得x2﹣ x＝﹣1，

配方，得x2﹣x+（）2＝﹣1+（）2，

即（x﹣）2＝，

开方，得x﹣＝，

解得：x1＝，x2＝；

（2）4y（3﹣y）＝（y﹣3）2，

移项，得﹣4y（y﹣3）﹣（y﹣3）2＝0，

（y﹣3）（﹣4y﹣y+3）＝0，

y﹣3＝0或﹣4y﹣y+3＝0，

解得：y1＝3，．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并根据方程的特征选用合适的方法是解题的关键．

4、（1）；（2）．

【分析】

（1）利用因式分解法解一元二次方程即可得；

（2）利用公式法解一元二次方程即可得．

【详解】

解：（1），

，

或，

；

（2），

此方程中的，

则，即，

所以．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．

5、该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为60%．

【分析】

根据题意，2019年该地中欧班列的开行量为500列，2021年达到1280列，设该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为x，列出一元二次方程求解即可得．

【详解】

解：设该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为x，根据题意可得：

，

解得：或（舍去），

∴该地这两年中欧班列开行量的年平均增长率为60%．

【点睛】

题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意，列出方程是解题关键．