数学人教B版 (2019)3.1.3 组合与组合数第1课时学案

这是一份数学人教B版 (2019)3.1.3 组合与组合数第1课时学案，共9页。学案主要包含了思路导引，补偿训练等内容，欢迎下载使用。

必备知识·自主学习
1.组合的定义
从n个不同对象中取出m(n≥m)个对象合成一组，叫做从n个不同对象中取出m个对象的一个组合．
(1)组合对对象有何要求？
提示：组合要求n个对象是不同的，被取出的m个对象也是不同的．
(2)组合是有放回抽取还是无放回抽取？
提示：无放回抽取，即从n个不同的对象中进行m次不放回地取出．
2．组合数的概念、公式、性质
组合数的两个性质在计算组合数时有何作用？
提示：第一个性质中，若m> eq \f(n,2) ，通常不直接计算C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ，而改为计算C eq \\al(\s\up1(n－m),\s\d1(n)) ，这样可以减少计算量；第二个性质是根据需要将一个组合数拆解成两个组合数或者把两个组合数合成一个组合数，在解题中要注意灵活运用．
1．辨析记忆(对的打“√”，错的打“×”)
(1)从3，5，7，11中任取两个数相除属于组合问题．( × )
提示：由于两个数相除与顺序有关，所以是排列问题．
(2)由于组合数的两个公式都是分式，所以结果不一定是整数．( × )
提示：C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) 是从n个对象中取m个对象的情况的种数，故C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) 一定是正整数．
(3)区别组合与排列的关键是看问题对象是否与顺序有关．( √ )
提示：组合与排列不同之处是组合选出的对象没有顺序而排列有顺序．
2．下面几个问题中属于组合问题的是( )
①由1，2，3，4构成的双元素集合；②5个队进行单循环足球比赛的分组情况；③由1，2，3构成两位数的方法；④由1，2，3组成无重复数字的两位数的方法．
A．①③ B．②④ C．①② D．①②④
【解析】选C.①②取出元素与顺序无关，③④取出元素与顺序有关．
3．若C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝28，则n＝( )
A．9 B．8 C．7 D．6
【解析】选B.C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝ eq \f(n×（n－1）,2) ＝28，解得n＝8.
4．C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝________，C eq \\al(\s\up1(17),\s\d1(18)) ＝________．
【解析】C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ＝ eq \f(6×5,2) ＝15，C eq \\al(\s\up1(17),\s\d1(18)) ＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(18)) ＝18.
答案：15 18
关键能力·合作学习
类型一 组合的有关概念(数学抽象)
【典例】1.给出下列问题：
(1)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成一件工作，有多少种不同的选法？
(2)从a，b，c，d四名学生中选2名学生完成两件不同的工作，有多少种不同的选法？
(3)a，b，c，d四支足球队之间进行单循环比赛，共需赛多少场？
(4)a，b，c，d四支足球队争夺冠亚军，有多少种不同的结果？
在上述问题中，________是组合问题，________是排列问题．
【思路导引】
根据组合的定义判断．
【解析】(1)2名学生完成的是同一件工作，没有顺序，是组合问题．
(2)2名学生完成两件不同的工作，有顺序，是排列问题．
(3)单循环比赛要求每两支球队之间只打一场比赛，没有顺序，是组合问题．
(4)冠亚军是有顺序的，是排列问题．
答案：(1)(3) (2)(4)
2．判断下列各事件是排列问题还是组合问题．
(1)8个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
(2)8个朋友相互各写一封信，一共写了多少封信？
(3)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个三位数，这样的三位数共有多少个？
(4)从1，2，3，…，9这九个数字中任取3个，组成一个集合，这样的集合有多少个？
【思路导引】
结合给出的事件以及排列与组合的定义判断．
【解析】(1)每两人握手一次，无顺序之分，是组合问题．
(2)每两人相互写一封信，是排列问题，因为发信人与收信人是有顺序区别的．
(3)是排列问题，因为取出3个数字后，如果改变这3个数字的顺序，便会得到不同的三位数．
(4)是组合问题，因为取出3个数字后，无论怎样改变这3个数字的顺序，其构成的集合都不变．
排列、组合问题的判断方法
(1)区分排列与组合的办法是首先弄清楚事件是什么，区分的标志是有无顺序．
(2)区分有无顺序的方法是：把问题的一个选择结果写出来，然后交换这个结果中任意两个对象的位置，看是否会产生新的变化，若有新变化，即说明有顺序，是排列问题；若无新变化，即说明无顺序，是组合问题．
判断下列各事件是排列问题还是组合问题，并求出相应的排列数或组合数．
(1)10人规定相互通一次电话，共通多少次电话？
(2)10支球队以单循环进行比赛(每两队比赛一次)，共进行多少场次？
(3)10支球队以单循环进行比赛，这次比赛冠、亚军获得者有多少种可能？
(4)从10个人中选出3个代表去开会，有多少种选法？
(5)从10个人中选出3个不同学科的科代表，有多少种选法？
【解析】(1)是组合问题，因为甲与乙通了一次电话，也就是乙与甲通了一次电话，没有顺序的区别，组合数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ＝45.
(2)是组合问题，因为每两个队比赛一次，并不需要考虑谁先谁后，没有顺序的区别，组合数为C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ＝45.
(3)是排列问题，因为甲队得冠军、乙队得亚军与甲队得亚军、乙队得冠军是不一样的，是有顺序区别的，排列数为A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(10)) ＝90.
(4)是组合问题，因为三个代表之间没有顺序的区别，组合数为C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ＝120.
(5)是排列问题，因为三个人中，担任哪一科的科代表是有顺序区别的，排列数为A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(10)) ＝720.
【补偿训练】
判断下列问题是组合还是排列，并用组合数或排列数表示出来．
(1)若已知集合{1，2，3，4，5，6，7}，则集合的子集中有3个对象的有多少？
(2)8人相互发一个电子邮件，共发了多少个邮件？
(3)在北京、上海、广州、成都四个民航站之间的直达航线上，有多少种不同的飞机票？有多少种不同的飞机票价？
【解析】(1)已知集合的对象具有无序性，因此含3个对象的子集个数与对象的顺序无关，是组合问题，共有C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) 个．
(2)发邮件与顺序有关，是排列问题，共发了A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(8)) 个电子邮件．
(3)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数是排列问题，有A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) 种飞机票；票价只与两站的距离有关，故票价的种数是组合问题，有C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) 种票价．
类型二 列举法解决组合问题(逻辑推理)
【典例】已知A，B，C，D，E五个元素，写出每次取出3个元素的所有组合．

1．此类列举所有从n个不同元素中选出m个元素的组合，可借助本例所示的“顺序后移法”(如法一)或“树形图法”(如法二)，直观地写出组合做到不重复不遗漏．
2．由于组合与顺序无关．故利用“顺序后移法”时箭头向后逐步推进，且写出的一个组合不可交换位置．如写出ab后，不必再交换位置为ba，因为它们是同一组合．画“树形图”时，应注意顶层及下枝的排列思路，防止重复或遗漏．
1．回文联是我国对联中的一种．用回文形式写成的对联，既可顺读，也可倒读．不仅意思不变，而且颇具趣味．相传，清代北京城里有一家饭馆叫“天然居”，曾有一副有名的回文联：“客上天然居，居然天上客；人过大佛寺，寺佛大过人．”在数学中也有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，称之为“回文数”．如44，585，2662等；那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位“回文数”的个数为( )
A．30 B．36 C．360 D．1 296
【解析】选B.分2种情况讨论：
①4位“回文数”中数字全部相同，有1 111，2 222，3 333，4 444，5 555，
6 666，
共6种情况，即此时有6个4位“回文数”；
②4位“回文数”中有2个不同的数字，有1 221，1 331，1 441，1 551，1 661；
2 112，2 332，2 442，2 552，2 662，… …；6 116，…，6 556，
共30种情况，即此时有30个4位“回文数”；
则一共有6＋30＝36个4位“回文数”．
2．已知a，b，c，d这四个元素，写出每次取出2个元素的所有组合．
【解析】可按a→b→c→d顺序写出，即
所以所有组合为ab，ac，ad，bc，bd，cd.
类型三 组合数公式及其简单应用(逻辑推理、数学运算)
角度1 与组合数有关计算
【典例】1.计算C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) －C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ·A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(3)) ＝________．
【思路导引】根据组合数公式进行计算．
【解析】原式＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(10)) －A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(7)) ＝ eq \f(10×9×8×7,4×3×2×1) －7×6×5＝210－210＝0.
答案：0
2．计算C eq \\al(\s\up1(5－n),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(9－n),\s\d1(n＋1)) 的结果为________．
【思路导引】求出n的值，再由组合数公式进行计算．
【解析】 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(5－n≤n，,5－n≥0，,9－n≤n＋1，,9－n≥0，)) 解得4≤n≤5.又因为n∈N*，
所以n＝4或n＝5.
当n＝4时，原式＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(5)) ＝5.
当n＝5时，原式＝C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(6)) ＝16.
答案：5或16
角度2 组合数性质的应用
【典例】1.计算C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2 020)) 的值为( )
A．C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(2 020)) B．C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(2 020)) C．C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(2 021)) －1 D．C eq \\al(\s\up1(5),\s\d1(2 020)) －1
【思路导引】先增加一项C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ，根据组合数的性质逐步运算，最后再减去C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) 即可．
【解析】选C.C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2 020))
＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(6)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2 020)) －C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(4))
＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(5)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2 020)) －1＝…
＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(2 020)) ＋C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(2 020)) －1＝C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(2 021)) －1.
2．若C eq \\al(\s\up1(2x－1),\s\d1(8)) ＝C eq \\al(\s\up1(x＋3),\s\d1(8)) ，则x的值为________．
【思路导引】根据组合数的性质找到关于x的整式方程求解．
【解析】由C eq \\al(\s\up1(2x－1),\s\d1(8)) ＝C eq \\al(\s\up1(x＋3),\s\d1(8)) 得2x－1＝x＋3或2x－1＋x＋3＝8，解得x＝4或x＝2.
答案：2或4
3．求证：C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(m＋2)) ＝C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(m)) ＋2C eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(m)) ＋C eq \\al(\s\up1(n－2),\s\d1(m)) .
【思路导引】将等式的右侧进行整合后根据组合数的性质化简．
【解析】由组合数的性质C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n＋1)) ＝C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(m－1),\s\d1(n)) 可知，
右边＝(C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(m)) ＋C eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(m)) )＋(C eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(m)) ＋C eq \\al(\s\up1(n－2),\s\d1(m)) )
＝C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(m＋1)) ＋C eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(m＋1)) ＝C eq \\al(\s\up1(n),\s\d1(m＋2)) ＝左边，
右边＝左边，所以原式成立．
1．巧用组合数公式解题
(1)涉及具体数字的可以直接用C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝ eq \f(A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ,A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(m)) ) ＝
eq \f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！) 进行计算．
(2)涉及字母的可以用阶乘式C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝ eq \f(n！,m！（n－m）！) 计算．
(3)计算时应注意利用组合数的性质C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(n－m),\s\d1(n)) 简化运算．
2．性质“C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(n－m),\s\d1(n)) ”的意义及作用
1．若C eq \\al(\s\up1(2n－3),\s\d1(20)) ＝C eq \\al(\s\up1(n＋2),\s\d1(20)) (n∈N＋)，则n＝( )
A．5 B．7 C．5或7 D．5或6
【解析】选C.由题意，2n－3＝n＋2或2n－3＋n＋2＝20，即n＝5或7.
2. eq \f(10×9×8×…×4,1×2×3×…×7) 可表示为( )
A．A eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(10)) B．A eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(10)) C．C eq \\al(\s\up1(6),\s\d1(10)) D．C eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(10))
【解析】选D. eq \f(10×9×8×…×4,1×2×3×…×7) ＝ eq \f(A eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(10)) ,A eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(7)) ) ＝ eq \f(C eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(10)) A eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(7)) ,A eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(7)) ) ＝C eq \\al(\s\up1(7),\s\d1(10)) .
3．若3A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(n)) －6A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n)) ＝4C eq \\al(\s\up1(n－1),\s\d1(n＋1)) ，则n＝( )
A．8 B．7 C．6 D．5
【解析】选D.由题意知，3n(n－1)(n－2)－6n(n－1)＝4× eq \f(（n＋1）n,2×1) ，解得n＝5 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＝\f(2,3)舍去)) .
4．计算C eq \\al(\s\up1(96),\s\d1(99)) ＋C eq \\al(\s\up1(97),\s\d1(99)) ＝________．
【解析】C eq \\al(\s\up1(96),\s\d1(99)) ＋C eq \\al(\s\up1(97),\s\d1(99)) ＝C eq \\al(\s\up1(97),\s\d1(100)) ＝C eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(100)) ＝161 700.
答案：161 700
【补偿训练】
1.方程C eq \\al(\s\up1(x),\s\d1(14)) ＝C eq \\al(\s\up1(2x－4),\s\d1(14)) 的解集为( )
A．{4} B．{14} C．{4，6} D．{14，2}
【解析】选C.因为C eq \\al(\s\up1(x),\s\d1(14)) ＝C eq \\al(\s\up1(2x－4),\s\d1(14)) ，所以x＝2x－4或x＋2x－4＝14，所以x＝4或x＝6.经检验知x＝4或x＝6符合题意，故方程C eq \\al(\s\up1(x),\s\d1(14)) ＝C eq \\al(\s\up1(2x－4),\s\d1(14)) 的解集为{4，6}．
2．C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(3)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(17),\s\d1(20)) 的值为________．
【解析】原式可变为C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(17),\s\d1(20)) ，
由C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n)) ＋C eq \\al(\s\up1(r－1),\s\d1(n)) ＝C eq \\al(\s\up1(r),\s\d1(n＋1))
得C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＝C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ，C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(5)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＝C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(6)) ……
所以C eq \\al(\s\up1(0),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(1),\s\d1(4)) ＋C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(5)) ＋…＋C eq \\al(\s\up1(17),\s\d1(20)) ＝C eq \\al(\s\up1(17),\s\d1(21)) ＝5 985.
答案：5 985
课堂检测·素养达标
1．A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) －C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝( )
A．9 B．12 C．15 D．3
【解析】选A.由题意得A eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(4)) －C eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(3)) ＝4×3－ eq \f(3×2,2) ＝12－3＝9.
2．若A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(m)) ＝6C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(m)) ，则m等于( )
A．9 B．8 C．7 D．6
【解析】选C.因为A eq \\al(\s\up1(3),\s\d1(m)) ＝6C eq \\al(\s\up1(4),\s\d1(m)) ，
所以m eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－1)) eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－2)) ＝6× eq \f(m\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－2))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－3)),4×3×2×1) ，
即1＝ eq \f(m－3,4) ，解得m＝7.
3．不等式C eq \\al(\s\up1(n－3),\s\d1(10)) 【解析】由题意知3≤n≤12，且n∈N*，
由题意得 eq \f(10！,（n－3）！（13－n）！) < eq \f(10！,（n－2）！（12－n）！) ，
解得n<7.5，所以n＝3，4，5，6，7.
答案：n＝3，4，5，6，7
4．计算C eq \\al(\s\up1(38－n),\s\d1(3n)) ＋C eq \\al(\s\up1(3n),\s\d1(21＋n)) 的值为________．
【解析】因为 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(38－n≤3n，,3n≤21＋n，)) 所以9.5≤n≤10.5，因为n∈N＋，所以n＝10，所以C eq \\al(\s\up1(38－n),\s\d1(3n)) ＋C eq \\al(\s\up1(3n),\s\d1(21＋n)) ＝C eq \\al(\s\up1(28),\s\d1(30)) ＋C eq \\al(\s\up1(30),\s\d1(31)) ＝ eq \f(30！,28！·2！) ＋ eq \f(31！,30！·1！) ＝466.
答案：466
5．判断下列问题是排列问题还是组合问题：
(1)把当日动物园的4张门票分给5个人，每人至多分一张，而且票必须分完，有多少种分配方法？
(2)从2，3，5，7，11这5个质数中，每次取2个数分别作为分子和分母构成一个分数，共能构成多少个不同的分数？
(3)从9名学生中选出4名参加一个联欢会，有多少种不同的选法？
【解析】(1)是组合问题．由于4张票是相同的(都是当日动物园的门票)，不同的分配方法取决于从5人中选择哪4人，这和顺序无关．
(2)是排列问题，选出的2个数作分子或分母，结果是不同的．
(3)是组合问题，选出的4人无角色差异，不需要排列他们的顺序．导思
什么是组合？与排列有什么区别？
组合数
定义
从n个不同对象中取出m(m≤n)个对象的所有不同组合的个数,叫做从n个不同对象中取出m个对象的组合数
表示法
组合数
公式
乘积式
C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝ eq \f(A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ,A eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(m)) ) ＝
阶乘式
C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝
性 质
C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n)) ＝，C eq \\al(\s\up1(m),\s\d1(n＋1)) ＝
备 注
①n,m∈N*且m≤n,②规定:=1
四步
内容
理解
题意
条件：①A，B，C，D，E五个元素；
②每次取出3个元素；
结论：所有组合．
思路
探求
列举法解答，注意按顺序列举．
书写
表达
方法一：可按AB→AC→AD→BC→BD→CD顺序写出，即
所以所有组合为ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.
方法二：画出树形图，如图所示．
由此可以写出所有的组合：ABC，ABD，ABE，ACD，ACE，ADE，BCD，BCE，BDE，CDE.
注意书写的规范性：
①注意是否与顺序有关；
②注意按顺序列举，不重不漏．
题后
反思
列举法适合总数比较少的情形．