北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试达标测试

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程综合测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、一元二次方程根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．没有实数根 D．无法判断

2、下列一元二次方程中，有一个根为0的方程是（　　）

A．x2﹣4＝0 B．x2﹣4x＝0 C．x2﹣4x+4＝0 D．x2﹣4x﹣4＝0

3、已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．若＝1，则m的值为（　　）

A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．

4、若一元二次方程x25x+k =0的一根为2，则另一个根为（   ）

A．3 B．4 C．5 D．6

5、若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣2＝0（a≠0）的一个根，则2021﹣2a+2b的值等于（　　）

A．2015 B．2017 C．2019 D．2022

6、若m是方程x2＋x﹣1＝0的根，则2m2＋2m＋2020的值为（   ）

A．2022 B．2021 C．2020 D．2019

7、将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

8、用配方法解方程x2－4x－3＝0时，配方后的方程为（  ）

A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝7 D．(x－2)2＝7

9、若关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）

A．a≥﹣且a≠0 B．a≤﹣ C．a≥﹣ D．a≤﹣且a≠0

10、下列方程中，是一元二次方程的个数有（　　）

（1）x2＋2x＋1＝0；（2）＋＋2＝0；（3）x2－2x＋1＝0；（4）（a－1）x2＋bx＋c＝0；（5）x2＋x＝4－x2．

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的某城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一人患了这种疾病，两天后共有225人患上此病，则每天一人传染______人．

2、若关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是 _____．

3、如图1，塔吊是建筑工地上常用的一种起重设备，可以用来搬运货物．如图2，已知一款塔吊的平衡臂ABC部分构成一个直角三角形，且，起重臂AD可以通过拉伸BD进行上下调整．现将起重臂AD从水平位置调整至位置，使货物E到达位置（挂绳DE的长度不变且始终与地面垂直）．此时货物E升高了24米，且到塔身AH的距离缩短了16米，测得，则AC的长为_____________米．

4、已知关于x的一元二次方程（k+1）x2+2x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是 _____．

5、已知关于x的一元二次方程3x2+4x+m=0有实数根，则m的取值范围是_______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、用适当的方法解方程．

（1）

（2）

2、（1）解一元二次方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；

（2）求证：无论m取何值时，方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0总有两个不相等的实数根．

3、已知关于的一元二次方程．

（1）求证：此方程总有两个实数根；

（2）若此方程恰有一个根小于，求的取值范围．

4、设，是关于的一元二次方程的两个实数根．

（1）求的取值范围；

（2）若，求的值．

5、计算：

（1）x（x﹣2）＝x﹣2

（2）x2﹣6x﹣1＝0.

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

计算出判别式的值，根据判别式的值即可判断方程的根的情况．

【详解】

∵，，，

∴，

∴方程有有两个不相等的实数根．

故选：A

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，根据判别式的值的情况可以判断方程有无实数根．

2、B

【分析】

根据方程根的定义，将x＝0代入方程使得左右两边相等的即可确定正确的选项．

【详解】

解：A.当x＝0时，02﹣4＝﹣4≠0，故错误，不符合题意；

B.当x＝0时，02﹣0＝0，故正确，符合题意；

C.当x＝0时，02﹣0+4＝4≠0，故错误，不符合题意；

D.当x＝0时，02﹣0﹣4＝﹣4≠0，故错误，不符合题意．

故选：B

【点睛】

本题考查了一元二次方程方程解的定义，熟知方程的解的定义是解题关键，注意一元二次方程的解又叫做一元二次方程的根．

3、A

【分析】

先利用根的判别式得到m≥，再根据根与系数的关系得α+β＝2m+3，αβ＝m2，则2m+3＝m2，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定m的值．

【详解】

解：根据题意得Δ＝（2m+3）2﹣4m2≥0，

解得m≥，

根据根与系数的关系得α+β＝2m+3，αβ＝m2，

∵＝1，

∴α+β＝αβ，即2m+3＝m2，

整理得m2﹣2m﹣3＝0，解得m1＝3，m2＝﹣1，

∵m≥，

∴m的值为3．

故选：A．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，是解答此题的关键．

4、A

【分析】

设方程的另一根为t，根据根与系数的关系得到2＋t＝5，求出t即可．

【详解】

解：设方程的另一根为t，

根据题意得2＋t＝5，

解得t＝3．

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根时，则x1＋x2＝，x1·x2＝．

5、B

【分析】

根据一元二次方程根的定义将代入方程ax2+bx﹣2＝0可得，即，整体代入到代数式中求解即可，一元二次方程的解（根）的意义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值称为一元二次方程的解．

【详解】

解：将代入方程ax2+bx﹣2＝0可得，即

2021﹣2a+2b=

故选B

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，整体代入是解题的关键．

6、A

【分析】

根据题意，将m代入方程中，得到，再将整理成，利用整体代入法解题即可．

【详解】

解：是方程的根，

，

∴

故选A．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解、代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

7、B

【分析】

先利用得到，再利用x的一次式表示出，则进行化简，然后解方程，从而得到的值．

【详解】

解：根据题意，∵，

∴，

∴，

∴

；

∵，

解得：，，

∵，

∴，

∴；

故选：B

【点睛】

本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．

8、D

【分析】

根据配方法转化为的形式，问题得解．

【详解】

解：x2－4x－3＝0，

移项得，

配方得，

∴．

故选：D

【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法的步骤并准确配方（在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方）是解题的关键．

9、A

【分析】

根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式求解即可．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程ax2+x﹣1＝0有实数根，

∴，

解得：且．

故选A．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式和一元二次方程的定义是解题的关键．

10、B

【分析】

根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为二次的整式方程，且二次项系数不为0）依次进行判断即可．

【详解】

解：（1）是一元二次方程；

（2）不是一元二次方程；

（3）是一元二次方程；

（4），的值不确定，不是一元二次方程；

（5）是一元二次方程，

共3个，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查一元二次方的定义，深刻理解这个定义是解题关键．

二、填空题

1、14

【分析】

根据第一天患病的人数为1+1×传播的人数，第二天患病的人数为第一天患病的人数×传播的人数，再根据等量关系：第一天患病的人数+第二天患病的人数=225，列出方程求解即可．

【详解】

解：设每天一人传染了x人，则依题意得

1＋x＋（1＋x）×x＝225，

（1＋x）2＝225，

∵1＋x＞0，

∴1＋x＝15，

x＝14．

答：每天一人传染了14人．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，得到两天患病人数的等量关系是解决本题的关键；本题的等量关系是：第一天患病的人数+第二天患病的人数=225．

2、 且

【分析】

利用一元二次方程根的判别式，即可求解．

【详解】

解：∵关于x的方程（k﹣1）x2+2kx+k＝0有两个不相等的实数根，

∴且  ，

解得： 且 ．

故答案为： 且

【点睛】

本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数 ，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根是解题的关键．

3、7

【分析】

过点B作于点M，由题意易得，则有四边形是矩形，设，则，然后根据勾股定理可得AF的长，进而问他可求解．

【详解】

解：过点B作于点M，如图所示：

由题意得：，

∴四边形是矩形，

∴，

设，则，在中，由勾股定理得：

，解得：，

∴，

设，

∴，

∴，

在中，，

在中，，

∴，整理得：，

解得：；

故答案为7．

【点睛】

本题主要考查勾股定理、矩形的性质与判定及一元二次方程的解法，熟练掌握勾股定理、矩形的性质与判定及一元二次方程的解法是解题的关键．

4、且

【分析】

利用一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k+1≠0且Δ＝22﹣4×（k+1）×（﹣1）≥0，然后求出两个不等式的公共部分即可．

【详解】

解：根据题意得k+1≠0且Δ＝22﹣4×（k+1）×（﹣1）≥0，

解得k≥﹣2且k≠﹣1．

故答案为：k≥﹣2且k≠﹣1．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式、解一元一次不等式等知识，是重要考点，难度较小，掌握相关知识是解题关键．

5、

【分析】

一元二次方程有实数根，则，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程3x2+4x+m=0有实数根，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，．

三、解答题

1、（1），；（2）

【分析】

（1）提取公因式(x-2)，利用因式分解法求解即可求得答案；

（2）利用因式分解法求解即可求得答案．

【详解】

解：（1）

∴，

（2）

∴

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解法．注意选择适宜的解题方法是解此题的关键．

2、（1）；（2）见详解．

【分析】

（1）首先利用完全平方公式以及平方差公式分解因式，进而解方程得出即可；
（2）首先表示出Δ，得出Δ符号进而求出即可．

【详解】

（1）解：，

，
则，
整理得：，
解得：；
（2）证明：把化为一般形式：，



，
故无论m为何值，4m2+1永远大于0，则方程总有两个不相等的实数根．

【点睛】

此题主要考查了因式分解法解一元二次方程以及根的判别式，正确分解因式是解题关键．

3、（1）见详解；（2）k＜-4

【分析】

（1）根据方程的系数结合根的判别式，可得Δ≥0，由此可证出方程总有两个实数根；
（2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出x1=2、x2= k+3，根据方程有一根小于-1，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

【详解】

（1）证明：∵在方程中，Δ=[-（k+5）]2-4×1×（6+2k）=k2+2k+1=（k+1）2≥0，
∴方程总有两个实数根．
（2）解：∵，
∴x1=2，x2=k+3．
∵此方程恰有一个根小于，
∴k+3＜-1，解得：k＜-4，
∴k的取值范围为k＜-4．

【点睛】

本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是：（1）牢记“当△≥0时，方程有两个实数根”；（2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于-1，找出关于k的一元一次不等式．

4、（1）；（2）

【分析】

（1）由方程有两个实数根结合根的判别式即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围；

（2）根据根与系数的关系即可得出，，结合m的取值范围即可得出，，再由即可得出，解之即可得出m的值．

【详解】

（1）依题意可知：，即，

解得：；

（2）依题意可知：，，

∵，

∴，，

∴，，

∵，

∴，

∴，

解得：或，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系，根的判别式，解题的关键是掌握根与系数的关系，根的判别式的使用方法．

5、（1）x1＝2，x2＝1；（2）x1＝3+，x2＝3﹣

【分析】

（1）利用因式分解的方法解一元二次方程即可；

（2）利用配方法解一元二次方程即可．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∴，

∴，；

（2）∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．