北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试同步测试题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程定向测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能为（    ）．

A．3 B．4 C．5 D．6

2、某商品售价准备进行两次下调，如果每次降价的百分率都是x，经过两次降价后售价由298元降到了268元，根据题意可列方程为（    ）．

A． B．

C． D．

3、老师设计了一个游戏，用合作的方式解一元二次方程，规则是：每人只能看到前一个人计算的步骤，并进行下一步计算，再将结果传递给下一个人，最后得到方程的解．过程如图：接力中，自己负责的一步出现错误的学生人数是（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

4、用配方法解方程，则方程可变形为（    ）

A． B． C． D．

5、已知方程的两根分别为m、n，则的值为（     ）

A．1 B． C．2021 D．

6、小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小2岁，小刚的年龄比小明的年龄大1岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是130.你知道这三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为x岁，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

7、若关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A．k≥2 B．k≥﹣2 C．k＞﹣2且k≠0 D．k≥﹣2且k≠0

8、一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）

A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，5

9、已知一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，则一元二次方程ax2－bx+c=3的两根分别为（   ）

A．x1=0，x2=－3 B．x1=－1，x2=－4

C．x1=0，x2=3， D．x1=2，x2=－1

10、关于x的方程有两个不相等的实数根，则n的取值范围是（　　）

A．n＜ B．n ≤ C．n＞ D．n＞

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、有一种传染性疾病，蔓延速度极快，据统计，在人群密集的某城市里，通常情况下，每天一人能传染给若干人，现有一人患了这种疾病，两天后共有225人患上此病，则每天一人传染______人．

2、下面是用配方法解关于的一元二次方程的具体过程，

解：第一步：

第二步：

第三步：

第四步：，

以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是________．

3、设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则______．

4、如图，一块长5m、宽4m的地毯，为了美观，设计了两横、两纵的配色条纹（图中阴影部分），已知配色条纹的宽度相同，所占面积是整个地毯面积的．设配色条纹的宽度为xm，根据题意，列方程为 _____．

5、已知关于x的一元二次方程2x2﹣4x+k﹣＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、某市尊师重教，市委、市政府非常重视教育，将教育纳入质量强市考核，近几年全市公共预算教育支出逐年增长．已知2019年教育支出约80亿元，2021年教育支出约为96.8亿元，求2019年到2021年教育支出的年平均增长率．

2、解一元二次方程：

（1）       

（2）

3、已知关于的一元二次方程．

（1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若，且此方程的两个实数根的差为3，求的值．

4、计算：

（1）x（x﹣2）＝x﹣2

（2）x2﹣6x﹣1＝0.

5、已知关于x的一元二次方程x²﹣mx＋m﹣1＝0有两个实数根x1，x2．

（1）求m的取值范围；

（2）当x12＋x22＝6x1x2＋1时，求m的值．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

根据方程有两个不相等的实数根，判别式△＞0，确定a的取值范围，判断选择即可．

【详解】

∵方程有两个不相等的实数根，

∴判别式△＞0，

∴，

∴a＜4，

故选A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题的关键．

2、D

【分析】

根据该商品的原售价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：依题意得：298（1-x）2=268．

故选：D．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

3、D

【分析】

先把方程化为一般形式，再把左边分解因式，可判断甲，再把方程化为两个一次方程，可判断乙，再解一次方程，移项要改变符号，可判断丙，再计算得到方程的解可判断丁，从而可得答案.

【详解】

解：

，

，

，故甲出现错误；

即

或 故乙出现了错误；

而丙解方程时，移项没有改变符号，丁出现了计算错误；

所以出现错误的人数是4人，

故选D

【点睛】

本题考查的是利用因式分解法解一元二次方程，掌握“利用因式分解法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键.

4、D

【分析】

根据配方法解一元二次方程步骤变形即可．

【详解】

∵

∴

∴

∴

∴

故选：D．

【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程，具体步骤为（1）化二次项系数为1. 当二次项系数不是1时，方程两边同时除以二次项系数（2）加上一次项系数一半的平方，使其中的三项成为完全平方式，但又要使此方程的等式关系不变，故在右侧同时加上一次项系数一半的平方（3）配方后将原方程化为的形式，再用直接开平方的方法解方程．

5、B

【分析】

由题意得mn＝1，m2﹣2021m+1＝0，将代数式变形后再代入求解即可．

【详解】

∵方程x2﹣2021x+1＝0的两根分别为m，n，

∴mn＝1，m2﹣2021m+1＝0，

∴m2﹣2021m＝﹣1，

∴m2﹣＝﹣1,

故选：B．

【点睛】

本题考查了根的定义及根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1•x2＝，熟练掌握代数式的求值技巧是解题的关键．

6、B

【分析】

设小明的年龄为x岁，则可用x表示出小亮的年龄和小刚的年龄．再根据小亮与小刚的年龄的乘积是130，即可列出方程．

【详解】

设小明的年龄为x岁，则小亮的年龄为岁，小刚的年龄为岁，

根据题意即可列方程：．

故选：B．

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，正确找出题干中的数量关系列出等式是解答本题的关键．

7、B

【分析】

根据当时，方程是一元一次方程有实数根，当时，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0，然后求出两不等式组的公共部分，两种情况合并即可．

【详解】

解：根据题意得：①当时，方程是一元一次方程，此时﹣4x﹣2＝0，方程有实数解；

②当时，此方程是一元二次方程，可得

k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0，

解得k≥-2且k≠0．

综上，当时，关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，

故选：B．

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．

8、B

【分析】

根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．

【详解】

解：∵一元二次方程2x2+x-5=0，

∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5，

故选：B．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．

9、D

【分析】

首先根据a+b+c=3可得一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为，然后根据根与系数的关系可得，，然后代入一元二次方程ax2－bx+c=3中即可求解．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，

∴一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为1，

∴一元二次方程ax2+bx+c=3化成一般形式为ax2+bx+c-3＝0，

∴，，

∵ax2－bx+c=3化成一般形式为ax2-bx+c-3＝0，即，

∴，

∴，

∴或，

解得：．

故选：D．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．

10、A

【分析】

利用判别式的意义得到△＝＞0，然后解不等式即可．

【详解】

解：

根据题意得△＝(﹣3)²﹣4n＞0，

解得n＜ ．

故选：A．

【点睛】

此题主要考查一元二次方程的根的情况，解题的关键是熟知根的判别式．

二、填空题

1、14

【分析】

根据第一天患病的人数为1+1×传播的人数，第二天患病的人数为第一天患病的人数×传播的人数，再根据等量关系：第一天患病的人数+第二天患病的人数=225，列出方程求解即可．

【详解】

解：设每天一人传染了x人，则依题意得

1＋x＋（1＋x）×x＝225，

（1＋x）2＝225，

∵1＋x＞0，

∴1＋x＝15，

x＝14．

答：每天一人传染了14人．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，得到两天患病人数的等量关系是解决本题的关键；本题的等量关系是：第一天患病的人数+第二天患病的人数=225．

2、④①③②

【分析】

根据配方法的步骤：二次项系数化为1，移项，配方，求解，进行求解即可．

【详解】

解：根据配方法的步骤可知：第一步为：④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数；

第二步为：①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

第三步为：③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；

第四步为：②求解：用直接开方法解一元二次方程；

故答案为：④①③②．

【点睛】

本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法的步骤是解题的关键．

3、2019

【分析】

由韦达定理可列出m，n的代数值，代入计算即可．

【详解】

∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根

∴m+n=-2，

则

【点睛】

本题考查了韦达定理，如果的两个实数根是，那么，．推论1：如果方程的两个根是，那么，.推论2：以两个数为根的一元二次方程（二次项系数为1）是．

4、2x2-9x+4=0

【分析】

设条纹的宽度为x米，根据“配色条纹所占面积=整个地毯面积的”的等量关系列出方程并整理即可．

【详解】

解：设条纹的宽度为x米．依题意得：

2x×5+2x×4−4x2=×5×4

整理得：2x2-9x+4=0．

故填2x2-9x+4=0．

【点睛】

本题主要考查了列一元二次方程，审清题意、找到等量关系成为解答本题的关键．

5、

【分析】

根据方程的系数结合根的判别式Δ＞0，即可得出关于k的一元一次不等式，解之即可得出k的取值范围．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程2x2﹣4x+k﹣＝0有两个不相等的实数根，

∴Δ＝（﹣4）2﹣4×2×（k﹣）＞0，

解得：．

故答案为：

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式的符号对应的三种根的情况是解题的关键．（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．

三、解答题

1、2019年到2021年教育支出的年平均增长率为10%．

【分析】

设2019年到2021年教育支出的年平均增长率为x，则2020年教育支出为， 2021年教育支出为，再由2021年教育支出约为96.8亿元，列方程，再解方程可得答案．

【详解】

解：设2019年到2021年教育支出的年平均增长率为x，由题意得：

，

，

解得，（舍）

答：2019年到2021年教育支出的年平均增长率为10%．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程的应用，掌握“两次变化后的量=原来的量（1+平均增长率）2”是解题的关键.

2、（1），；（2），

【分析】

（1）根据直接开平方法解一元二次方程；

（2）根据公式法解一元二次方程先确定；再求，然后代入公式即可．

【详解】

解：（1）开方得：，

解得：，；

（2），

∵，

∴，

∴，

∴，．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

3、（1）见解析；（2）

【分析】

（1）证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；

（2）用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．

【详解】

（1）证明：∵一元二次方程，

∴

==．  

∵，

∴．

∴ 该方程总有两个实数根．　　　 　             

（2）解：∵一元二次方程，

解方程，得，．                   

∵ ，

∴ ．

∵该方程的两个实数根的差为3，

∴ ．

∴．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．

4、（1）x1＝2，x2＝1；（2）x1＝3+，x2＝3﹣

【分析】

（1）利用因式分解的方法解一元二次方程即可；

（2）利用配方法解一元二次方程即可．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∴，

∴，；

（2）∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．

5、（1）一切实数；（2）7或1

【分析】

（1）根据判别式的意义得到Δ＝（m﹣2）2≥0，然后解不等式即可；

（2）根据根与系数的关系得到得x1＋x2＝m，x1x2＝m﹣1，利用x12＋x22＝6x1x2＋1，得到2﹣2（m﹣1）＝6（m﹣1）+1，然后解m的方程可得到满足条件的m的值．

【详解】

解：（1）根据题意得Δ＝（﹣m）2﹣4（m﹣1）≥0，

∴（m﹣2）2≥0，

∴m取一切实数；

（2）根据题意得x1＋x2＝m，x1x2＝m﹣1，

∵x12＋x22＝6x1x2＋1，

∴（x1＋x2）2﹣2x1x2＝6x1x2＋1，

即m2﹣2（m﹣1）＝6（m﹣1）+1，

解得m＝7或m＝1，

∴m的值为7或1．

【点睛】

本题考查了根与系数的关系以及根的判别式，解答本题的关键是掌握两根之和与两根之积的表达方式．