北京课改版八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试一课一练

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程同步训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（    ）

A． B． C． D．

2、一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（    ）

A．2，1，5 B．2，1，－5 C．2，0，－5 D．2，0，5

3、用配方法解方程x2－4x－3＝0时，配方后的方程为（  ）

A．(x＋2)2＝1 B．(x－2)2＝1 C．(x＋2)2＝7 D．(x－2)2＝7

4、已知一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（    ）

A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4

5、小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小2岁，小刚的年龄比小明的年龄大1岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是130.你知道这三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为x岁，则可列方程为（    ）

A． B．

C． D．

6、已知是一元二次方程的一个根，则代数式的值为（    ）

A．2020 B．2021 C．2022 D．2023

7、一元二次方程的解是（    ）

A． B．

C．， D．

8、某公司去年的各项经营中，九月份的营业额为200万，十一月的营业额为950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，设这个增长率为，则可列方程得（    ）

A． B．

C． D．

9、若是关于的方程的一个根，则的值是（    ）

A． B． C．1 D．2

10、若关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，则实数k的取值范围是（　　）

A．k≥2 B．k≥﹣2 C．k＞﹣2且k≠0 D．k≥﹣2且k≠0

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若关于x的一元二次方程的一个根是m，则的值为______．

2、设x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝_____，x1x2＝______．

3、如图，一长为32m、宽为20m的矩形地面上修建有同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分进行了绿化．若已知绿化面积为540㎡，则道路的宽为__________m．

4、凌源市“百合节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2018年约为5万人次，2020年约为6.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则可列方程________________．

5、下面是用配方法解关于的一元二次方程的具体过程，

解：第一步：

第二步：

第三步：

第四步：，

以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如，都是根分式．

（1）请根据以上信息，写出一个取值范围是x＞2的根分式：　   　；

（2）已知两个根分式M＝与N＝．

①是否存在x的值使得N2﹣M2＝1，若存在，请求出x的值，若不存在，请说明理由；

②当M2+N2是一个整数时，写出两个满足条件的无理数x的值．

2、解方程：

（1） 2x2-4x-3＝0．

（2）3x（x-1）=2-2x．

3、解方程：

（1）x2﹣6x﹣4＝0；

（2）3x（x+1）＝3x+3．

4、解方程：

（1）（x﹣5）2＝（2﹣3x）2；

（2）x2﹣10x+16＝0；

（3）2x2﹣x﹣2＝0．

5、如图，是边长为的等边三角形，点P，Q分别从顶点A，B同时出发，点P沿射线运动，点Q沿折线运动，且它们的速度都为．当点Q到达点A时，点P随之停止运动连接，，设点P的运动时间为．

（1）当点Q在线段上运动时，的长为_______（），的长为_______（）（用含t的式子表示）；

（2）当与的一条边垂直时，求t的值；

（3）在运动过程中，当是等腰三角形时，直接写出t的值．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

设长为x步，则宽为（60-x）步，
依题意得：x（60-x）=864，

整理得：．
故选：C．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

2、B

【分析】

根据一元二次方程的基本概念，找出一元二次方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可．

【详解】

解：∵一元二次方程2x2+x-5=0，

∴二次项系数、一次项系数、常数项分别是2、1、-5，

故选：B．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a≠0）．

3、D

【分析】

根据配方法转化为的形式，问题得解．

【详解】

解：x2－4x－3＝0，

移项得，

配方得，

∴．

故选：D

【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法的步骤并准确配方（在二次项系数为1时，方程两边同时加上一次项系数一半的平方）是解题的关键．

4、B

【分析】

根据根的含义将代入一元二次方程x2＋k﹣3＝0求解即可．

【详解】

解：∵一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，

∴将代入得，，解得：．

故选：B．

【点睛】

此题考查了已知一元二次方程的解求参数，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解得概念．

5、B

【分析】

设小明的年龄为x岁，则可用x表示出小亮的年龄和小刚的年龄．再根据小亮与小刚的年龄的乘积是130，即可列出方程．

【详解】

设小明的年龄为x岁，则小亮的年龄为岁，小刚的年龄为岁，

根据题意即可列方程：．

故选：B．

【点睛】

本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，正确找出题干中的数量关系列出等式是解答本题的关键．

6、B

【分析】

把代入一元二次方程得到，再利用整体代入法解题即可．

【详解】

解：把代入一元二次方程得，

，

，

故选：B．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解、已知式子的值求代数式的值、整体思想等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．

7、C

【分析】

根据因式分解法解一元二次方程即可．

【详解】

解：

即或

解得，

故选C

【点睛】

本题考查了因式分解法解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

8、C

【分析】

根据增长率的意义，列式即可．

【详解】

设这个增长率为，

根据题意，得，

故选C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，熟练增长率问题计算特点是解题的关键．

9、A

【分析】

将n代入方程，然后提公因式化简即可．

【详解】

解：∵是关于x的方程的根，

∴，即，

∵，

∴，即，

故选：A．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解，理解题意，熟练运用提公因式是解题关键．

10、B

【分析】

根据当时，方程是一元一次方程有实数根，当时，根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0，然后求出两不等式组的公共部分，两种情况合并即可．

【详解】

解：根据题意得：①当时，方程是一元一次方程，此时﹣4x﹣2＝0，方程有实数解；

②当时，此方程是一元二次方程，可得

k≠0且Δ=（-4）2-4 k×（-2）≥0，

解得k≥-2且k≠0．

综上，当时，关于x的方程kx2﹣4x﹣2＝0有实数根，

故选：B．

【点睛】

本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．

二、填空题

1、-2011

【分析】

由关于x的一元二次方程的一个根是m，可得，再由求解即可．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程的一个根是m，

∴，

∴，

∴．

故答案为：-2011．

【点睛】

本题考查一元二次方程的解和代数式求值，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型．

2、3    －1   

【分析】

利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．

【详解】

解：∵x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，

∴ ．

故答案为：3，-1

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．

3、2

【分析】

把四块耕地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是（32-x）m和（20-x）m，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．

【详解】

解：设道路的宽是xm，

(32−x)(20−x)=540，

整理得，

因式分解得,

解得：x1=2，x2=50(舍),

答：道路的宽是2m．

故答案为2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式．

4、5(1+x)²=6.8

【分析】

根据2015年及2017年的观赏人数，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

解：由题意得：5(1+x)²=6.8

故答案为：5(1+x)²=6.8

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

5、④①③②

【分析】

根据配方法的步骤：二次项系数化为1，移项，配方，求解，进行求解即可．

【详解】

解：根据配方法的步骤可知：第一步为：④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数；

第二步为：①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；

第三步为：③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；

第四步为：②求解：用直接开方法解一元二次方程；

故答案为：④①③②．

【点睛】

本题主要考查了配方法解一元二次方程，熟知配方法的步骤是解题的关键．

三、解答题

1、（1）；（2）①不存在，见解析；②，，，（答案不唯一）

【分析】

（1）依照根分式的定义写一个即可；

（2）①根据建立关于x的等式，即可求出x的值，注意需要判断x的值是否使根分式有意义；

②表达，分离整式，再判断什么时候为整数，求出x的值．

【详解】

（1）由题意得：

故答案是：；

（2）①∵，

∴，

∴，

解得：，

检验，当时，，

∴原分式方程无解，

从而不存在x的值使得；

②，

∴当是一个整数时，可以取1或2，等，

∴当x是无理数时，或，

，解得：，

，解得：，

∴，，（答案不唯一）．

【点睛】

本题考查求解一元二次方程，分式与二次根式的应用，掌握题目给出的新定义是解题的关键．

2、（1）x1＝1＋，x2＝1－；（2）x1=1，

【分析】

（1）根据公式法解一元二次方程即可；

（2）根据因式分解的方法解一元二次方程

【详解】

解：（1）2x2－4x－3＝0

a=2，b=-4，c=-3，

△=16+24=40＞0，

，

∴x1＝1＋，x2＝1－

（2）3x（x-1）+2（x-1）=0，

（x-1）（3x+2）=0，

x-1=0或3x+2=0，

所以x1=1，

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．

3、（1）x1=+3，x2=-+3（2）x1=-1，x2=1

【分析】

（1）根据配方法即可求解；

（2）根据因式分解法即可求解．

【详解】

（1）x2﹣6x﹣4＝0

x2﹣6x+9＝13

（x-3）2＝13

x-3=±

∴x1=+3，x2=-+3

（2）3x（x+1）＝3x+3

3x（x+1）-3（x+1）=0

3（x+1）（x-1）=0

∴x+1=0或x-1=0

∴x1=-1，x2=1．

【点睛】

此题主要考查解一元二次方程，解题的关键是熟知配方法与因式分解法的运用．

4、（1）x1＝，x2＝﹣；（2）x1＝2，x2＝8；（3）x1＝，x2＝﹣．

【分析】

（1）直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可；

（2）直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可；

（3）直接利用因式分解的方法解一元二次方程即可．

【详解】

解：（1）∵（x﹣5）2＝（2﹣3x）2，

∴，

∴，

∴

解得：x1＝，x2＝；

（2）∵x2﹣10x+16＝0，

∴（x﹣2）（x﹣8）＝0，

∴x﹣2＝0或x﹣8＝0，

解得x1＝2，x2＝8；

（3）∵，

∴，

∴，

∴，．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程 ，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法．

5、（1）；；（2）当或或时，PQ与的一条边垂直；（3）当或时，为等腰三角形．

【分析】

（1）根据点的位置及运动速度可直接得出；

（2）根据题意分三种情况讨论：①当时，；②当时，；③当时，；作出图形，分别应用直角三角形中角的特殊性质求解即可得；

（3）根据题意，分四种情况进行讨论：①当点Q在BC边上时，时；②当点Q在BC边上时，时；③当点Q在BC边上时，时；④当点Q在AC边上时，只讨论情况；分别作出四种情况的图形，然后综合运用勾股定理及解一元二次方程求解即可．

【详解】

解：（1）点Q从点B出发，速度为，点P从点A出发，速度为，

∴，，

∴，

故答案为：；；

（2）根据题意分三种情况讨论：

①如图所示：当时，，

∵三角形ABC为等边三角形，

∴

∴

∴，

由（1）可得：，

解得：；

②如图所示：当时，，

∵

∴

∴，

由（1）可得：，

解得：；

③如图所示：当时，，

∵

∴

∴，

由（1）可得：，

解得：；

综上可得：当或或时，PQ与的一条边垂直；

（3）根据题意，分情况讨论：

①当点Q在BC边上时，时，

如图所示：过点Q作，

∵

∴

∴，

∴，

，，

∴

∵，

∴，

解得：或（舍去）；

②当点Q在BC边上时，时，

如图所示：过点P作，

∵

∴

∴，

∴，

，，

∴

∵，

∴，

解得：（舍去）；

③当点Q在BC边上时，时，如图所示：

由图可得：，，

，

∴这种情况不成立；

④当点Q在AC边上时，只讨论情况，如图所示：

过点Q作，过点C作，

∵，为等边三角形，

∴，，

∴，

，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，，

∴，

∵，

∴，

解得：或（舍去），

综上可得：当或时，为等腰三角形．

【点睛】

题目主要考查三角形与动点问题，包括勾股定理的应用，含角的直角三角形的特殊性质，等腰三角形的判定和性质，求解一元二次方程等，根据题意，作出相应图形，然后利用勾股定理求解是解题关键．