数学八年级下册第十六章 一元二次方程综合与测试课后复习题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程专项测试

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（    ）

A． B．0 C．1 D．或1

2、南宋著名数学家杨辉所著的《杨辉算法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长阔各几何？”意思是“一块矩形田地的面积是864平方步，只知道它的长与宽的和是60步，问它的长和宽各是多少步？”设矩形田地的长为步，根据题意可以列方程为（    ）

A． B． C． D．

3、已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+3）x+m2＝0有两根α，β．若＝1，则m的值为（　　）

A．3 B．﹣1 C．3或﹣1 D．

4、下列命题中，逆命题不正确的是（　　）

A．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）没有实数根，那么b2﹣4ac＜0

B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等

C．全等三角形对应角相等

D．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

5、用配方法解方程x2＋4x＝1，变形后结果正确的是（    ）

A．(x＋2)2＝5 B．(x＋2)2＝2 C．(x－2)2＝5 D．(x－2)2＝2

6、解一元二次方程x2－6x－4＝0，配方后正确的是（    ）

A．(x＋3)2＝13 B．(x－3)2＝5 C．(x－3)2＝4 D．(x－3)2＝13

7、已知一个直角三角形的两边长是方程的两个根，则这个直角三角形的斜边长为（    ）

A．3 B． C．3或 D．5或

8、一元二次方程的根的情况是（    ）

A．没有实数根 B．只有一个实数根

C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根

9、下列方程中是一元二次方程的是（     ）

A．y＋2＝1 B．＝0 C． D．

10、方程的解是（    ）

A．6 B．0 C．0或6 D．-6或0

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、设x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝_____，x1x2＝______．

2、关于x的一元二次方程kx2＋3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是_____．

3、一元二次方程3x2﹣6x＝0的根是_____．

4、已知关于x的一元二次方程3x2+4x+m=0有实数根，则m的取值范围是_______．

5、定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣2．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣2＝6．若1☆x＝0，则x＝_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、解方程：

（1）

（2）

2、解分式方程：

3、计算：

（1）3x2+3＝7x；（用配方法解方程）

（2）4y（3﹣y）＝（y﹣3）2．

4、解一元二次方程：

（1）       

（2）

5、已知关于x的一元二次方程．

（1）求证：无论k取何值，该方程总有实数根；

（2）已知等腰三角形的一边a为2，另两边恰好是这个方程的两个根，求k的值．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

把代入方程得出，再求出方程的解即可．

【详解】

∵关于x的一元二次方程有一个根是

∴

解得

∵一元二次方程

∴

∴

∴

故选：A．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的解，注意二次项系数不能为零．

2、C

【分析】

设长为x步，则宽为（60-x）步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．

【详解】

设长为x步，则宽为（60-x）步，
依题意得：x（60-x）=864，

整理得：．
故选：C．

【点睛】

本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．

3、A

【分析】

先利用根的判别式得到m≥，再根据根与系数的关系得α+β＝2m+3，αβ＝m2，则2m+3＝m2，然后解关于m的方程，最后利用m的范围确定m的值．

【详解】

解：根据题意得Δ＝（2m+3）2﹣4m2≥0，

解得m≥，

根据根与系数的关系得α+β＝2m+3，αβ＝m2，

∵＝1，

∴α+β＝αβ，即2m+3＝m2，

整理得m2﹣2m﹣3＝0，解得m1＝3，m2＝﹣1，

∵m≥，

∴m的值为3．

故选：A．

【点睛】

本题考查的是一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟知x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，，是解答此题的关键．

4、C

【分析】

分别写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．

【详解】

解：A.逆命题为：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中b2﹣4ac＜0，那么它没有实数根，正确，不符合题意；

B.逆命题为：到线段距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，不符合题意；

C.逆命题为：对应角相等的两三角形全等，错误，符合题意；

D.逆命题为：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，不符合题意．

故选：C

【点睛】

本题考查了原命题、逆命题，命题的真假，一元二次方程根的判别式，线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质，勾股定理极其逆定理等知识，综合性较强，准确写出各选项的逆命题并准确判断是解题关键．

5、A

【分析】

方程的两边同时加上一次项系数一半的平方即可，进而即求得答案．

【详解】

解：x2＋4x＝1

即

故选A

【点睛】

本题考查了配方法解一元二次方程，掌握配方法是解题的关键．

6、D

【分析】

根据配方法即可求出答案．

【详解】

解：∵x2﹣6x﹣4＝0，

∴x2﹣6x＝4，

∴x2﹣6x+9＝13，

∴（x﹣3）2＝13，

故选D．

【点睛】

本题考查了配方法解方程，注意配方时先把常数项移到右边，然后把二次项系数化为1，最后等号两面同时加上一次项系数一半的平方．

7、D

【分析】

利用因式分解法求出一元二次方程的两根，按斜边是否是两根中的一个，进行分类讨论，通过勾股定理求斜边长，最后即可求出答案．

【详解】

解：，

因式分解得：，解得：，，

情况1：当为斜边的长时，此时斜边长为5，

情况2：当，，都为直角边长时，此时斜边长为，

这个直角三角形的斜边长为5或，

故选：D．

【点睛】

本题主要是考查了因式分解法求解方程，以及勾股定理求边长，在不确定直角边和斜边的情况下，一定要分类讨论，分情况进行求解．

8、D

【分析】

先求出Δ的值，再判断出其符号即可．

【详解】

解：∵

∴Δ＝b2−4ac＝12−4×1×（－3）＝13＞0，

∴方程有两个不相等的实数根．

故选：D．

【点睛】

本题考查的是根的判别式，熟知一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2−4ac的关系是解答此题的关键．

9、B

【分析】

只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程有三个特点：（1）只含有一个未知数；（2）未知数的最高次数是2；（3）是整式方程，据此解答即可．

【详解】

解：A．是二元二次方程，故本选项不合题意；

B．是一元二次方程，故本选项符合题意；

C．是二元二次方程，故本选项不合题意；

D．当a=0时，不含二次项，故本选项不合题意；

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了一元二次方程的定义，要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式，则这个方程就为一元二次方程．

10、C

【分析】

根据一元二次方程的解法可直接进行求解．

【详解】

解：

，

解得：；

故选C．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．

二、填空题

1、3    －1   

【分析】

利用一元二次方程根与系数的关系，即可求解．

【详解】

解：∵x1，x2是方程x2－3x－1＝0的两个根，

∴ ．

故答案为：3，-1

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握若，是一元二次方程 的两个实数根，则，是解题的关键．

2、且

【详解】

利用判别式，根据一元二次方程的定义，列出不等式即可解决问题；

【分析】

解：∵关于x的一元二次方程kx2＋3x﹣1＝0有实数根，

∴△≥0且k≠0，

∴9＋4k≥0，

∴k≥﹣，且k≠0，

故答案为k≥﹣且k≠0．

【点睛】

本题考查根的判别式，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．

3、x1＝2，x2＝0

【分析】

根据因式分解法即可求出答案．

【详解】

解：∵3x2﹣6x＝0，

∴3x（x﹣2）＝0，

∴3x＝0或x﹣2＝0，

∴x1＝2，x2＝0，

故答案为：x1＝2，x2＝0．

【点睛】

本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法．

4、

【分析】

一元二次方程有实数根，则，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．

【详解】

解：∵关于x的一元二次方程3x2+4x+m=0有实数根，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，．

5、2或﹣1

【分析】

根据题目中的新定于，可以将1☆x＝0转化为一元二次方程，然后求解即可．

【详解】

解：∵m☆n＝mn2﹣mn﹣2，1☆x＝0，

∴x2﹣x﹣2＝0，

∴（x﹣2）（x+1）＝0，

解得x1＝2，x2＝﹣1，

故答案为：2或﹣1．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是列出相应的方程，会用新定义解答问题．

三、解答题

1、（1）原方程无解；（2）．

【分析】

（1）方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程即可得；

（2）方程两边同乘以化成整式方程，再解一元二次方程即可得．

【详解】

解：（1），

方程两边同乘以，得，

移项、合并同类项，得，

系数化为1，得，

经检验，不是分式方程的解，

所以原方程无解；

（2），

方程两边同乘以，得，

移项、合并同类项，得，

因式分解，得，

解得或，

经检验，不是分式方程的解；是分式方程的解，

所以原方程的解为．

【点睛】

本题考查了解分式方程，熟练掌握方程的解法是解题关键．需注意的是，分式方程需进行检验．

2、x=4

【分析】

两边都乘以x2-4化为整式方程求解，然后验根即可．

【详解】

解：，

两边都乘以x2-4，得

2(x-2)-4x=-(x2-4)，

x2-2x-8=0，

(x+2)(x-4)=0，

x1=-2，x2=4，

检验：当x=-2时，x2-4=0，

当x=4时，x2-4≠0，

∴x=4是原分式方程的根．

【点睛】

本题考查了分式方程的解法，其基本思路是把方程的两边都乘以各分母的最简公分母，化为整式方程求解，求出未知数的值后不要忘记检验．

3、（1），；（2），

【分析】

（1）先移项，再方程两边都除以3，再根据完全平方公式配方，开方，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可；

（2）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，再求出方程的解即可．

【详解】

解：（1）3x2+3＝7x，

移项，得3x2﹣7x＝﹣3，

除以3，得x2﹣ x＝﹣1，

配方，得x2﹣x+（）2＝﹣1+（）2，

即（x﹣）2＝，

开方，得x﹣＝，

解得：x1＝，x2＝；

（2）4y（3﹣y）＝（y﹣3）2，

移项，得﹣4y（y﹣3）﹣（y﹣3）2＝0，

（y﹣3）（﹣4y﹣y+3）＝0，

y﹣3＝0或﹣4y﹣y+3＝0，

解得：y1＝3，．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，并根据方程的特征选用合适的方法是解题的关键．

4、（1），；（2），

【分析】

（1）根据直接开平方法解一元二次方程；

（2）根据公式法解一元二次方程先确定；再求，然后代入公式即可．

【详解】

解：（1）开方得：，

解得：，；

（2），

∵，

∴，

∴，

∴，．

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．

5、（1）证明见解析；（2）k=3

【分析】

（1）根据根的判别式判断即可．

（2）由等腰三角形性质可判断出腰长为2和底为2两种情况，即可求得两个k，将k代入抛物线解析式求得x的解，再结合三角形三边关系判断即可．

【详解】

（1）∵中a=1，b=-k，c=k-1

∴

∵

∴

∴无论k取何值，该方程总有实数根

（2）若2为等腰三角形的腰，则另一边也为2，即2为方程的一个根

将x=2代入有

4-2k+k-1=0

解得k=3

则方程为

解得

等腰三角形三边长为2，2，1，符合三角形三边关系．

若2为等腰三角形的底，则两根为腰且相等，有

即

解得k=2

则方程为

解得

等腰三角形三边长为2，1，1，

1+1=2，不符合三角形三边关系，故k=2舍去．

综上所述k的值为3．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式、等腰三角形性质以及三角形三边成立的关系，易错点为第二问未验证所算三边长是否能构成等腰三角形．