2020-2021学年第十六章 一元二次方程综合与测试随堂练习题

京改版八年级数学下册第十六章一元二次方程定向训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、将关于的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

2、已知一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，则k的值为（    ）

A．﹣2 B．2 C．﹣4 D．4

3、已知一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，则一元二次方程ax2－bx+c=3的两根分别为（   ）

A．x1=0，x2=－3 B．x1=－1，x2=－4

C．x1=0，x2=3， D．x1=2，x2=－1

4、目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数达到3.92万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，则x值为（　　）

A．20% B．30% C．40% D．50%

5、一元二次方程的根的情况是（    ）

A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根 D．无实数根

6、关于的一元二次方程的一个根是3，则的值是（    ）

A．3 B． C．9 D．

7、下列方程是一元二次方程的是（    ）

A． B．

C． D．

8、下列命题中，逆命题不正确的是（　　）

A．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）没有实数根，那么b2﹣4ac＜0

B．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等

C．全等三角形对应角相等

D．直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方

9、下列方程中，是关于x的一元二次方程是（    ）

A． B． C． D．

10、某公司去年的各项经营中，九月份的营业额为200万，十一月的营业额为950万元，如果平均每月营业额的增长率相同，设这个增长率为，则可列方程得（    ）

A． B．

C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若关于x的一元二次方程x2﹣2x+m＝0有两个相等的实数根，那么m＝_____．

2、关于x的一元二次方程kx2＋3x﹣1＝0有实数根，则k的取值范围是_____．

3、智能音箱是市场上最火的智能产品之一，某商户一月份销售了100个智能音箱，三月份比一月份多销售44个，设该公司二、三月销量的月平均增长率为x，则可列方程为 _____．

4、若为整数，关于的一元二次方程有实数根，则整数的最大值为__________．

5、若关于x的方程(m+2)x|m|＋2x-3＝0是一元二次方程，则m＝________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在∆ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm．动点P、Q分别从点A，B同时出发，点P以1cm/s的速度向点B移动，点Q以2cm/s的速度向点C移动．（不考虑起始位置，且点P，Q不与点A，B重合）

（1）P、Q两点出发后第几秒时，∆PBQ的面积为4cm2？

（2）P、Q两点出发后第几秒时，PQ的长度为5cm；

（3）∆PBQ的面积能否为7cm2？说明理由．

2、解方程：

（1）4（x﹣1）2＝9；           （2）x2+8x+15＝0；

（3）25x2+10x+1＝0；           （4）x2﹣3x+1＝0．

3、解下列方程：

（1）x2﹣2x+1＝25．         

（2）3x（x - 1）= 2（x - 1）．

4、解方程：

（1）

（2）

5、某商城购进了一批某种品牌冰箱，标价为每台3000元．

（1）为回馈新老用户，在国庆节期间，商城对冰箱进行了连续两次降价销售，每次降价的百分率相同，最后以2430元售出，求每次降价的百分率；

（2）市场调研表明：当每台冰箱的售价为3000元时，每天能售出8台；当每台冰箱的售价每降50元时，每天就能多售出4台；若商城计划在某天销售20台冰箱，则每台冰箱的售价应定为多少元？

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

先利用得到，再利用x的一次式表示出，则进行化简，然后解方程，从而得到的值．

【详解】

解：根据题意，∵，

∴，

∴，

∴

；

∵，

解得：，，

∵，

∴，

∴；

故选：B

【点睛】

本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．通过把一元二次方程变形为用一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键．

2、B

【分析】

根据根的含义将代入一元二次方程x2＋k﹣3＝0求解即可．

【详解】

解：∵一元二次方程x2＋k﹣3＝0有一个根为1，

∴将代入得，，解得：．

故选：B．

【点睛】

此题考查了已知一元二次方程的解求参数，解题的关键是熟练掌握一元二次方程解得概念．

3、D

【分析】

首先根据a+b+c=3可得一元二次方程ax2+bx+c=3的一个根为，然后根据根与系数的关系可得，，然后代入一元二次方程ax2－bx+c=3中即可求解．

【详解】

解：∵一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为x=－2，且a+b+c=3，

∴一元二次方程ax2+bx+c=3有一个根为1，

∴一元二次方程ax2+bx+c=3化成一般形式为ax2+bx+c-3＝0，

∴，，

∵ax2－bx+c=3化成一般形式为ax2-bx+c-3＝0，即，

∴，

∴，

∴或，

解得：．

故选：D．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的解，因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根与系数的关系．

4、C

【分析】

先用含x的代数式表示出2021年底5G用户的数量， 然后根据2021年底5G用户数为3.92万户列出关于x的方程，解方程即得答案．

【详解】

解：设全市5G用户数年平均增长率为x，

根据题意，得： ，

整理得：，

∴，

解得：x1=0.4=40%，x2= −2.4（不合题意，舍去）．

故选：C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键．

5、D

【分析】

根据一元二次方程根的判别式解题．

【详解】

解：

所以此方程无解，

故选：D．

【点睛】

本题考查一元二次方程根的判别式，是重要考点，，方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程无解．

6、C

【分析】

把x=3代入已知方程，列出关于m的方程，通过解方程可以求得m的值．

【详解】

解：关于的一元二次方程的一个根是3

m=9

故选：C

【点睛】

本题考查了一元二次方程的解的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．

7、C

【分析】

判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．

【详解】

A.有两个未知数，错误；

B.不是整式方程，错误；

C.符合条件；

D.化简以后为，不是二次，错误；

故选：C．

【点睛】

本题考查一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义，一元二次方程有三个特点：
（1）只含有一个未知数；
（2）未知数的最高次数是2；
（3）是整式方程．

8、C

【分析】

分别写出各个命题的逆命题，然后判断正误即可．

【详解】

解：A.逆命题为：如果一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中b2﹣4ac＜0，那么它没有实数根，正确，不符合题意；

B.逆命题为：到线段距离相等的点在线段的垂直平分线上，正确，不符合题意；

C.逆命题为：对应角相等的两三角形全等，错误，符合题意；

D.逆命题为：如果一个三角形的两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，不符合题意．

故选：C

【点睛】

本题考查了原命题、逆命题，命题的真假，一元二次方程根的判别式，线段垂直平分线，全等三角形的判定与性质，勾股定理极其逆定理等知识，综合性较强，准确写出各选项的逆命题并准确判断是解题关键．

9、C

【分析】

根据只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程选择即可．

【详解】

A．当a=0时，是一元一次方程，该选项不符合题意；

B．分母上有未知数，是分式方程，该选项不符合题意；

C．是关于x的一元二次方程，该选项符合题意；

D．经整理后为，是一元一次方程，该选项不符合题意．

故选择C．

【点睛】

本题考查识别一元二次方程，理解一元二次方程的定义是解答本题的关键．

10、C

【分析】

根据增长率的意义，列式即可．

【详解】

设这个增长率为，

根据题意，得，

故选C．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，增长率问题，熟练增长率问题计算特点是解题的关键．

二、填空题

1、1

【分析】

由题意根据判别式的意义得到Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，然后求解关于m的方程即可．

【详解】

解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×1×m＝0，

解得m＝1．

故答案为：1．

【点睛】

本题考查根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．

2、且

【详解】

利用判别式，根据一元二次方程的定义，列出不等式即可解决问题；

【分析】

解：∵关于x的一元二次方程kx2＋3x﹣1＝0有实数根，

∴△≥0且k≠0，

∴9＋4k≥0，

∴k≥﹣，且k≠0，

故答案为k≥﹣且k≠0．

【点睛】

本题考查根的判别式，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：①当Δ＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当Δ＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当Δ＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．

3、100（1+x）2=144．

【分析】

设该公司二、三月销量的月平均增长率为x，利用增长率表示三月销量100（1+x）2,列方程即可．

【详解】

解：设该公司二、三月销量的月平均增长率为x，

则可列方程为100（1+x）2=100+44，

即100（1+x）2=144，

故答案为：100（1+x）2=144．

【点睛】

本题考查一元二次方程解增长率问题应用题，掌握一元二次方程解增长率问题应用题方法与步骤，抓住等量关系利用增长率表示三月销售智能音箱100（1+x）2与100+44相等列方程是解题关键．

4、3

【分析】

根据一元二次方程的二次项的系数不等于0、根的判别式求出的取值范围，由此即可得出答案．

【详解】

解：由题意得：，

解得，且，

为整数，

整数的最大值为3，

故答案为：3．

【点睛】

本题考查了一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题关键．

5、2

【分析】

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程是一元二次方程，根据定义解答．

【详解】

解：由题意得，

解得m=2，

故答案为：2．

【点睛】

此题考查了一元二次方程的定义，熟记定义并应用解决问题是解题的关键．

三、解答题

1、（1）1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；（2）2秒后，PQ的长度等于5cm；（3）△PBQ的面积不能等于7cm2．理由见解析

【分析】

（1）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据三角形的面积公式列方程即可；

（2）根据题意表示出BP、BQ的长，再根据勾股定理列方程即可；

（3）根据三角形的面积公式，列出方程，再利用判别式，即可求解．

【详解】

解：根据题意，知

BP=AB-AP=5-t，BQ=2t．

（1）设t秒后，△PBQ的面积等于4cm2，

根据三角形的面积公式，得

PB•BQ=4，

t（5-t）=4，

t2-5t+4=0，

解得t=1秒或t=4秒（舍去）．

故1秒后，△PBQ的面积等于4cm2；

（2）设t秒后，PQ的长度等于5cm，根据勾股定理，得

PQ2=BP2+BQ2=（5-t）2+（2t）2=25，

5t2-10t=0，

∵t≠0，

∴t=2．

故2秒后，PQ的长度等于5cm；

（3）根据三角形的面积公式，得

PB•BQ=7，

t（5-t）=7，

t2-5t+7=0，

△=（-5）2-4×1×7=-3＜0．

故△PBQ的面积不能等于7cm2．

【点睛】

本题考查了一元二次方程的应用，此题要能够正确找到点所经过的路程，熟练运用勾股定理和直角三角形的面积公式列方程求解．

2、（1），；（2），；（3）；（4），．

【分析】

（1）先变形，然后运用直接开方法求解即可；

（2）直接应用因式分解法求解即可；

（3）将其变形为完全平方式，然后运用直接开方法即可得；

（4）直接运用公式法求解即可得．

【详解】

解：（1）方程变形得：，

开方得：，

解得：，；

（2）分解因式得：，

可得或，

解得：，；

（3）方程变形得：，

解得：；

（4）这里，，，

∵，

∴

∴，．

【点睛】

题目主要考查解一元二次方程的方法：直接开方法、因式分解法、公式法，熟练掌握运用解方程的方法是解题关键．

3、（1），；（2），

【分析】

（1）利用直接开方法解方程即可；

（2）利用提取公因式法解方程即可．

【详解】

解：（1），

，

∴，

；

（2）3x（x-1）=2（x-1），

3x（x-1）-2（x-1）=0，

（x-1）（3x-2）=0，

∴x-1=0或3x-2=0，

∴x1=1，．

【点睛】

本题主要考查了解一元二次方程的方法，准确计算是解题的关键．

4、（1）；（2）

【分析】

（1）根据公式法解一元二次方程即可；

（2）根据因式分解法解一元二次方程即可

【详解】

解：（1）

（2）

即或

【点睛】

本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的解法是解题的关键．

5、（1）每次降价的百分率是10%；（2）定价为2850元．

【分析】

（1）设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格＝降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是60（1﹣x）元，第二次后的价格是60（1﹣x）2元，据此即可列方程求解；

（2）假设下调a个50元，销售冰箱数量＝原销售量+多售出量，即可列方程求解．

【详解】

解：（1）设每次降价的百分率为x，

依题意得：3000（1﹣x）2＝2430，

解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）

答：每次降价的百分率是10%；

（2）假设下调a个50元，依题意得：20＝8+4a．

解得a＝3．

所以下调150元，因此定价为3000-150=2850元．

【点睛】

本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出方程．