初中数学北京课改版八年级下册第十七章 方差与频数分布综合与测试练习题

京改版八年级数学下册第十七章方差与频数分布综合练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、2021年3月，我市某区一周天气质量报告中某项污染指标的数据是：60、60、90、100、90、70、90，则下列关于这组数据表述正确的是（   ）

A．平均数是80 B．众数是60 C．中位数是100 D．方差是20

2、在某次读书知识比赛中育才中学参赛选手比赛成绩的方差计算公式为： S2＝ [（x188）2+（x288）2+…+（x888）2]，以下说法不一定正确的是（　　）

A．育才中学参赛选手的平均成绩为88分

B．育才中学一共派出了八名选手参加

C．育才中学参赛选手的中位数为88分

D．育才中学参赛选手比赛成绩团体总分为704分

3、体育老师让小明5分钟内共投篮50次，一共投进30个球，请问投进球的频率是（    ）

A．频率是0.5 B．频率是0.6 C．频率是0.3 D．频率是0.4

4、在频数分布直方图中，下列说法正确的是（    ）

A．各小长方形的高等于相应各组的频率

B．各小长方形的面积等于相应各组的频数

C．某个小长方形面积最小，说明落在这个组内的数据最多

D．长方形个数等于各组频数的和

5、某班在体育活动中，测试了十位学生的“一分钟跳绳”成绩，得到十个各不相同的数据.在统计时，出现了一处错误：将最高成绩写得更高了，则计算结果不受影响的是（  ）

A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数

6、篮球队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：189，191，193，195，196．现用一名身高为192cm的队员换下身高为196cm的队员，与换人前相比，场上队员的身高（    ）

A．平均数变小，方差变小 B．平均数变小，方差变大

C．平均数变大，方差变小 D．平均数变大，方差变大

7、甲、乙、丙、丁四名学生近4次数学测验成绩的平均数都是110分，方差分别是S甲2＝6，S乙2＝24，S丙2＝25.5，S丁2＝36，则这四名学生的数学成绩最稳定的是（　　）

A．甲 B．乙 C．丙 D．丁

8、年将在北京--张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥运会，又举办冬季奥运会的城市．某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示，选手成绩更稳定的是（ ）

A．甲 B．乙 C．都一样 D．不能确定

9、如表是某次射击比赛中10名选手的射击成绩（环）：

关于这10名选手的射击环数，下列说法不正确的是（    ）

A．众数是8 B．中位数是5 C．平均数是8 D．方差是1.2

10、如图是某校九年级部分男生做俯卧撑的成绩（次数）进行整理后，分成五组，画出的频率分布直方图，已知从左到右前4个小组的频率分别是0.05，0.15，0.25，0.30，第五小组的频数为25，若合格成绩为20，那么此次统计的样本容量和本次测试的合格率分别是（    ）．

A．100，55% B．100，80% C．75，55% D．75，80%

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、一组数据5，8，x，10，4的平均数为2x，则x＝_____，这组数据的方差为_____．

2、新冠疫情期间，小李同学连续两周居家健康检测，如下图是小李记录的体温情况折线统计图，记第一周体温的方差为，第二周体温的方差为，试判断两者之间的大小关系______（用“>”、“=”、“<”填空）．

小李连续两周居家体温测量折线统计图

3、一组数据，，，，的平均数是，这组数据的方差为______．

4、小明想知道一碗芝麻有多少粒，于是就从中取出粒涂上黑色，然后放入碗中充分搅拌后再随意取出粒，其中有粒是黑色芝麻，因此可以估算这碗芝麻有________粒．

5、某校九年级进行了3次体育中考项目—1000米跑的模拟测试，甲、乙、丙三位同学3次模拟测试的平均成绩都是3分55秒，三位同学成绩的方差分别是＝0.01，＝0.009，＝0.0093．则甲、乙、丙三位同学中成绩最稳定的是________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、甲、乙两名队员参加射击训练，每人射击10次，成绩分别如下：

根据以上信息，整理分析数据如下：

（1）填空：a＝        ；b＝        ；c＝        ；

（2）从平均数和中位数的角度来比较，成绩较好的是        ；（填“甲”或“乙”）

（3）若需从甲、乙两名队员中选择一人参加比赛，你认为选谁更加合适？请说明理由．

2、在疫情防控期间，某市防控指挥部想了解各学校教职工参与志愿服务的情况．在全市各学校随机调查了部分参与志愿服务的教职工，对他们志愿服务的时间进行了统计，整理并绘制成如下的统计表和不完整的统计图．

（1）本次被抽取的教职工共有　          　名；

（2）表中a =　        ，扇形统计图中“C”部分所占百分比为　        %；

（3）若该市共有30 000名教职工参与志愿服务，那么志愿服务时间多于60小时的教职工大约有多少人？

3、第二十四届冬季奥林匹克运动会将于2022年2月4日至2月20日在北京举行，北京将成为历史上第一座既举办过夏奥会又举办过冬奥会的城市．为了考查学生对冬奥知识的了解程度，某区举办了一次冬奥知识网上答题竞赛，甲、乙两校各有400名学生参加活动．为了解这两所学校的成绩情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整：

（收集数据）从甲、乙两校各随机抽取20名学生，在这次竞赛中他们的成绩如下：

甲：40，60，60，70，60，80，40，90，100，60，60，100，80，60，70，60，60，90，60，60

乙：70，90，40，60，80，75，90，100，75，50，80，70，70，70，70，60，80，50，70，80

（整理、描述数据）按如表分数段整理、描述这两组样本数据：

（说明：成绩中优秀为80≤x≤100，良好为60≤x＜80，合格为40≤x＜60）

（分析数据）两组样本数据的平均分、中位数、众数如表所示：

（得出结论）

（1）（分析数据）中，乙学校的众数a＝　 　．

（2）小明同学说：“这次竞赛我得了70分，在我们学校排名属中游略偏上！”由表中数据可知小明是 　 　校的学生；（填“甲”或“乙”）

（3）根据抽样调查结果，请估计乙校学生在这次竞赛中的成绩是优秀的人数；

（4）根据以上数据推断一所你认为竞赛成绩较好的学校，并说明理由．（从平均分、中位数、众数中至少选两个不同的角度说明推断的合理性）

4、为了培养学生的数学学习兴趣，现从学校八、九年级中各抽取10名学生的数学竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分成四组：

），下面给出了部分信息：

八年级抽取的10名学生的竞赛成绩是：；

九年级抽取的10名学生的竞赛成绩是：；

八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表

请根据相关信思，回答以下问题；

（1）直接写出表格中m，n的值并补全九年级抽取的学生数学竞赛成绩频数分布直方图；

（2）根据以上数据，你认为该校八、九年级中哪个年级学生数学竞赛成绩较好？请说明理由（一条由即可）；

（3）该校八年级有600人，九年级有800人参加了此次竞赛活动，请估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少．

5、某校为了增强学生的疫情防控意识，组织全校600名学生进行了疫情防控知识竞赛．从中随机抽取了名学生的竞赛成绩（满分100分，每名学生的成绩记为分），分成四组：组；组；组；组，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图和扇形统计图．根据图中信息，解答下列问题：

（1）求的值．

（2）补全频数分布直方图．

（3）若规定学生竞赛成绩为优秀，请估计全校竞赛成绩达到优秀的学生人数．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

根据众数、平均数、中位数、方差的概念以及相应的计算公式进行求解即可．

【详解】

将这组数据从小到大重新排列为：60、60、70、90、90、90、100，

所以这组数据的众数是90、中位数是90、

平均数为、

方差为．

观察只有选项A正确，

故选：A．

【点睛】

本题考查了众数、平均数、中位数、方差的概念，正确掌握各知识点的概念是解答本题的关键．

2、C

【分析】

根据方差的计算公式中各数据的具体意义逐一分析求解即可．

【详解】

解：∵参赛选手比赛成绩的方差计算公式为：S2＝ [（x1−88）2＋（x2−88）2＋…＋（x8−88）2]，

∴育才中学参赛选手的平均成绩为88分，一共派出了八名选手参加，育才中学参赛选手比赛成绩团体总分为88×8＝704（分），由于不能知道具体的数据，所以参赛选手的中位数不能确定，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义和计算公式．

3、B

【分析】

根据频率是指每个对象出现的次数与总次数的比值（或者百分比）．即频率=频数÷总数可得答案．

【详解】

解：小明进球的频率是30÷50=0.6，
故选：B．

【点睛】

此题主要考查了频率，关键是掌握计算方法．

4、B

【分析】

根据频数直方图的定义逐一判断即可得答案．

【详解】

在频数分布直方图中，各小长方形的高等于频数与组距的比值，故A选项错误，

在频数分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频数，故B选项正确，

在频数分布直方图中，某个小长方形面积最小，说明落在这个组内的数据最少，故C选项错误，

在频数分布直方图中，各组频数的和等于各小长方形的高的和，故D选项错误，

故选：B．

【点睛】

本题考查频数直方图，准确理解频数直方图中几个等量关系是解题关键．

5、B

【分析】

根据中位数的特点，与最高成绩无关，则计算结果不受影响，据此即可求得答案

【详解】

根据题意以及中位数的特点，因为中位数是通过排序得到的，所以它不受最大、最小两个极端数值的影响，

故选B

【点睛】

本题考查了中位数，平均数，方差，众数，理解中位数的意义是解题的关键，中位数是另外一种反映数据的中心位置的指标，其确定方法是将所有数据以由小到大的顺序排列，位于中央的数据值就是中位数， 因为中位数是通过排序得到的，所以它不受最大、最小两个极端数值的影响，而且部分数据的变动对中位数也没有影响．

6、A

【分析】

分别计算出原数据和新数据的平均数和方差即可得．

【详解】

解：原数据的平均数为=192.8，
则原数据的方差为[（189-192.8）2+（191-192.8）2+（193-192.8）2+（195-192.8）2+（196-192.8）2]=4.512，
新数据的平均数为=192，
则新数据的方差为[（189-192）2+（191-192）2+（193-192）2+（195-192）2+（192-192）2]=4，
所以平均数变小，方差变小，
故选：A．

【点睛】

本题主要考查了方差和平均数，解题的关键是掌握方差的计算公式．

7、A

【分析】

根据方差的意义求解即可．

【详解】

解：∵S甲2＝6，S乙2＝24，S丙2＝25.5，S丁2＝36，

∴S甲2＜S乙2＜S丙2＜S丁2，

∴这四名学生的数学成绩最稳定的是甲，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越差；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．掌握方差的意义是解题的关键．

8、A

【分析】

分别计算计算出甲乙选手的方差，根据方差越小数据越稳定解答即可．

【详解】

解：甲选手平均数为：，

乙选手平均数为：，

甲选手的方差为：，

乙选手的方差为：

∵可得出：，

则甲选手的成绩更稳定，

故选：A．

【点睛】

本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

9、B

【分析】

根据众数、中位数、平均数及方差的定义逐一计算可得答案．

【详解】

解：这组数据中8出现次数最多，即众数为8；

其中位数是第5、6个数据的平均数，故其中位数为；

平均数为，

方差为，

故选：B．

【点睛】

本题主要考查方差等知识，解题的关键是掌握众数、中位数、平均数及方差的计算方法．

10、B

【分析】

根据频率分布直方图的意义，从左到右各个小组的频率之和是1，结合题意，可得第五小组的频率，进而根据同时每小组的频率=小组的频数：总人数可得此次统计的样本容量；又因为合格成绩为20，可得本次测试的合格率，即答案．

【详解】

解：由频率的意义可知，从左到右各个小组的频率之和是1，从左到右前四个小组的频率分别是0.05，0.15，0.25，0.30，

∴第五小组的频率是，

∴此次统计的样本容量是．

∵合格成绩为20，

∴本次测试的合格率是．

故选B．

【点睛】

本题属于统计内容，考查分析频数分布直方图和频率的求法．解本题要懂得频率分布直分图的意义，了解频率分布直分图是一种以频数为纵向指标的条形统计图．

二、填空题

1、3    6.8   

【分析】

本题可用求平均数的公式解出x的值，在运用方差的公式解出方差．

【详解】

解：∵数据5，8，x，10，4的平均数是2x，

∴5＋8＋x＋10＋4＝5×2x，

解得x＝3，

＝2×3＝6，

s2＝ [（5﹣6）2＋（8﹣6）2＋（3﹣6）2＋（10﹣6）2＋（4﹣6）2]

＝×（1＋4＋9＋16＋4）

＝6.8．

故答案为3，6.8．

【点睛】

本题考查了算术平均数、方差的计算方法，熟练掌握该知识点是本题解题的关键

2、＜

【分析】

方差反应是数据的波动程度，方差越大，波动性越大，结合折线图可得小丽第一周居家体温在之间，第二周居家体温在之间，从最大值与最小值的差可以得到答案.

【详解】

解：根据折线统计图很容易看出小丽第一周居家体温在之间，

第二周居家体温在之间，

小丽第一周居家体温数值波动小于其第二周居家体温数值波动，

．

故答案为：．

【点睛】

本题考查的是折线统计图，数据的波动性即方差，理解方差的含义是解题的关键.

3、0.8

【分析】

根据平均数的计算公式先求出a的值，再根据方差公式代数计算即可．

【详解】

解：∵3，5，a，4，3的平均数是4，

∴（3+5+a+4+3）÷5=4，

解得：a=5，

则这组数据的方差S2= [（3-4）2+（5-4）2+（5-4）2+（4-4）2+（3-4）2]=0.8，

故答案为：0.8．

【点睛】

本题考查了方差，一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为，则方差，此题难度不大．

4、2000

【分析】

设碗中有芝麻粒，根据取出100粒刚好有记号的5粒列出算式，再进行计算即可．

【详解】

解：设碗中有芝麻粒，根据题意得：

，

解得：．

故答案为：2000．

【点睛】

本题考查了用样本的数据特征来估计总体的数据特征，解题的关键是掌握利用样本中的数据对整体进行估算．

5、乙

【分析】

根据方差的定义，方差越小数据越稳定．

【详解】

解：∵s甲2＝0.01，s乙2＝0.009，s丙2＝0.0093，

∴s乙2＜s丙2＜s甲2，

∴甲、乙、丙三位同学中成绩最稳定的是乙．

故答案为：乙．

【点睛】

本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．

三、解答题

1、（1）7；7.5；4.2；（2）乙；（3）选择乙参加比赛，理由见解析

【分析】

（1）根据平均数公式计算甲，利用中位数先把以成绩从低到高排序，取中间两个成绩7、8的平均数，利用方差公式求c即可；

（2）根据平均数两者均为7，乙的中位数7.5大于甲的中位数7，说明乙的成绩好于甲，

（3）甲乙平均数相同，乙的中位数7.5大于甲的中位数7，说明乙的成绩好于甲，从方差看乙的方差大于甲，只说明乙的成绩没有甲稳定，从折线图看，乙开始时发挥不好，后来乙的成绩呈上升趋势，乙队员要比甲队员参赛好．

【详解】

解：（1）甲的平均成绩为

乙的成绩从低到高排列为：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，

所以中位数

=

=4.2

故答案为：7，7.5，4.2.

（2）由表中数据可知，甲、乙平均成绩相等，乙的中位数7.5大于甲的中位数7，说明乙的成绩好于甲，

故答案为：乙；

（3）选择乙参加比赛，理由：

从平均数上看，甲、乙平均成绩相等，总分相等，

从中位数上看乙的中位数和众数都大于甲，说明乙的成绩好于甲，

从方差上看乙的方差大于甲只说明乙的成绩没有甲稳定，

从众数看乙的众数是8，甲的众数是7，说明乙成绩要好些，

从折线图看，乙开始时发挥不好，后来乙的成绩呈上升趋势，

故应选乙队员参赛．

【点睛】

本题考查条形统计数，折线统计图，统计表获取信息以及处理信息，中位数，平均数，方差，利用集中趋势的量与离散程度的量进行决策是解题关键．

2、（1）50；（2）4，32；（3）21600

【分析】

（1）由B等级的人数及其所占百分比即可求出被调查的总人数；
（2）用总人数减去B、C、D的人数即可得出a的值，用C等级人数除以被调查总人数即可得出其对应百分比；
（3）用总人数乘以样本中C、D人数所占比例即可．

【详解】

解：（1）本次被抽取的教职工共有10÷20%＝50（名），
故答案为：50；
（2）a＝50−（10＋16＋20）＝4，
扇形统计图中“C”部分所占百分比为×100%＝32%，
故答案为：4，32；
（3）志愿服务时间多于60小时的教职工大约有30000×＝21600（人）．

【点睛】

此题主要考查了扇形统计图、频数（率）分布表，以及样本估计总体，关键是正确从扇形统计图和表格中得到所用信息．

3、（1）70；（2）甲；（3）140人；（4）乙学校成绩较好，理由见详解

【分析】

（1）由众数的定义解答即可；

（2）可从中位数的角度分析即可；

（3）用总人数乘以乙校学生在这次竞赛中的成绩是优秀的人数占被调查人数的比例即可；

（4）根据平均分和中位数乙校高于甲校即可判断．

【详解】

解：（1）乙校的20名同学的成绩中70分出现的次数最多，

∴乙学校的众数a＝70，

故答案为：70

（2）甲校的中位数为60，小明的同学的成绩高于此学校的中位数，

∴小明是甲校的学生；

故答案为：甲．

（3）400×＝140（人）

∴估计乙校学生在这次竞赛中的成绩是优秀的人数有140人．

（4）∵乙校的平均分高于甲校的平均分，且乙校的中位数70高于甲校的中位数，说明乙校分数不低于70分的人数比甲多，

∴乙校的成绩较好．

【点睛】

本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．

4、（1）n=89，m=92.5，补图见解析；（2）九年级学生掌握防火安全知识较好，理由见解析；（3）840人

【分析】

（1）直接根据八年级抽取的10名学生的竞赛成绩可得其众数n的值，将九年级抽取的I0名学生的竞赛成绩重新排列，利用中位数的概念可得m的值，继而补全频数分布直方图可得答案；

（2）在平均成绩相等的前提下可比较中位数、众数或方差，合理即可得；

（3）用总人数乘以样本中成绩不低于90分人数占被调查人数的比例即可得．

【详解】

解：（1）由题意知八年级抽取的10名学生的竞赛成绩的众数n=89，

将九年级抽取的10名学生的竞赛成绩重新排列为80，83，85，90，92，93，93，95，99，100，

∴其中位数m= =92.5，

补全频数分布直方图如下：

（2）九年级学生掌握防火安全知识较好，理由如下：

∵八、九年级参加竞赛的10名学生的平均成绩相等，但九年级10名学生成绩的方差小，

∴九年级参加竞赛的10名学生的成绩更加稳定，

∴九年级学生掌握防火安全知识较好．

（3）估计参加此次竞赛活动成绩优秀（x≥90）的学生人数是（600+800）×=840（人）．

【点睛】

本题考查频数分布直方图和利用统计图获取信息的能力；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．

5、（1）50；（2）见解析；（3）180人

【分析】

（1）根据组的频数和所占的百分比，可以求得的值；

（2）根据（1）中的值和频数分布直方图中的数据，可以计算出组的频数，从而可以将频数分布直方图补充完整；

（3）根据直方图中的数据，可以计算出全校成绩达到优秀的人数．

【详解】

解：（1）；

（2）组学生有：（人），

补全的频数分布直方图如图所示；

（3）（人），

答：估算全校成绩达到优秀的有180人．

【点睛】

本题考查频数分布直方图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确统计图的特点和中位数的含义，利用数形结合的思想解答．