初中北京课改版第十五章 四边形综合与测试课后作业题

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京改版八年级数学下册第十五章四边形课时练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（　　）

A．2 B．4 C．4或 D．2或
2、如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（　　）

A．7 B． C．8 D．9
3、垦区小城镇建设如火如荼，小红家买了新楼．爸爸在正三角形、正方形、正五边形、正六边形四种瓷砖中，只购买一种瓷砖进行平铺，有几种购买方式（ ）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
4、如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）

A．A，B，C都不在 B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
5、如图，已知在正方形ABCD中，厘米，，点E在边AB上，且厘米，如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上以a厘米/秒的速度由C点向D点运动，设运动时间为t秒．若存在a与t的值，使与全等时，则t的值为（ ）

A．2 B．2或1.5 C．2.5 D．2.5或2
6、如图，把一张长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为点B′，AB′与DC相交于点E，则下列结论正确的是 （ ）

A．∠DAB′＝∠CAB′ B．∠ACD＝∠B′CD
C．AD＝AE D．AE＝CE
7、四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，且满足，则这个四边形是（ ）
A．任意四边形 B．平行四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形
8、在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使其与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（　　）

A． B． C． D．
9、如图，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝9，AD，则四边形CDFE的面积是（　　）

A． B． C． D．54
10、将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若＝10°，则∠EAF的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则它是________边形．
2、在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是________．
3、在平行四边形ABCD中，若∠A=130°，则∠B=______，∠C=______，∠D=______．
4、如图，将长方形ABCD按图中方式折叠，其中EF、EC为折痕，折叠后、、E在一直线上，已知∠BEC＝65°，那么∠AEF的度数是_____．

5、如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、阅读材料，回答下列问题：
（材料提出）
“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．
（探索研究）
探索一：如图1，在八字形中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为 ；
探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为 ；
探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为 ．
（模型应用）
应用一：如图4，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P．则∠A＝ （用含有α和β的代数式表示），∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝ ．（用含有α和β的代数式表示）
（拓展延伸）
拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为 ．（用x、y表示∠P）
拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论 ．


2、问题背景：课外学习小组在一次学习研讨中，得到了如下两个命题：

①如图（1），在正△ABC中，M、N分别是AC、AB上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝60°，则BM＝CN；
②如图（2），在正方形ABCD中，M、N分别是CD、AD上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝90°，则BM＝CN．
然后运用类似的思想提出了如下命题：
③如图（3），在正五边形ABCDE中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，若∠BON＝108°，则BM＝CN．
任务要求：
（1）请你从①②③三个命题中选择一个进行证明；
（2）请你继续完成下面的探索；
①在正n（n≥3）边形ABCDEF…中，M、N分别是CD、DE上的点，BM与CN相交于点O，试问当∠BON等于多少度时，结论BM＝CN成立（不要求证明）；
②如图（4），在正五边形ABCDE中，M、N分别是DE、AE上的点，BM与CN相交于点O，∠BON＝108°时，试问结论BM＝CN是否成立．若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．
3、如图，在△ABC中，，，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且，连接DE，过点A作于M．
（1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明；
（2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得成立，并证明．

4、如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上的一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．
（1）求证：四边形DEFB是平行四边形；
（2）若∠ACB＝90°，AC＝12cm，DE＝4cm，求四边形DEFB的周长．

5、如图，已知矩形中，点，分别是，上的点，，且．

（1）求证：；
（2）若，求：的值．

-参考答案-
一、单选题
1、D
【分析】
根据题意可知当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．
【详解】
解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA=PB时，△APE≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴BP=AE=6cm，AP=4cm，
∴BQ=AP=4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，
∴v的值为：4÷2=2cm/s；
②当AP=BP时，△AEP≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，
∵5÷2=2.5s，
∴2.5v=6，
∴v=．
故选：D．
【点睛】
本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．
2、C
【分析】
根据直角三角形的性质求出DE，由EF=1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．
【详解】
解：∵∠AEB＝90，D是边AB的中点，AB＝6，
∴DE＝AB＝3，
∵EF＝1，
∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．
∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，
∴DF是ABC的中位线，
∴AC＝2DF＝8．
故选：C．
【点睛】
本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出DF的长是解题的关键．
3、C
【分析】
从所给的选项中取出一些进行判断，看其所有内角和是否为360°，并以此为依据进行求解．
【详解】
解：正三角形每个内角是60°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
正方形每个内角是90°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面；
正五边形每个内角是108°，不能被360°整除，所以不能单独镶嵌成一个平面；
正六边形每个内角是120°，能被360°整除，所以能单独镶嵌成一个平面．
故只购买一种瓷砖进行平铺，有3种方式．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查了平面镶嵌．解这类题，根据组成平面镶嵌的条件，逐个排除求解．
4、D
【分析】
根据三角形边长然后利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，由直角三角形斜边上的中线性质即可得．
【详解】
解：如图所示：连接BD，

∵，，，
∴，
∴为直角三角形，
∵D为AC中点，
∴，
∵覆盖半径为300 ，
∴A、B、C三个点都被覆盖，
故选：D．
【点睛】
题目主要考查勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，综合运用两个定理是解题关键．
5、D
【分析】
根据题意分两种情况讨论若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP；若△BPE≌△CPQ，则BP=CP=5厘米，BE=CQ=6厘米进行求解即可.
【详解】
解：当，即点Q的运动速度与点P的运动速度都是2厘米/秒，若△BPE≌△CQP，则BP=CQ，BE=CP，
∵AB=BC=10厘米，AE=4厘米，
∴BE=CP=6厘米，
∴BP=10-6=4厘米，
∴运动时间t=4÷2=2（秒）；
当，即点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，
∴BP≠CQ，
∵∠B=∠C=90°，
∴要使△BPE与△OQP全等，只要BP=PC=5厘米，CQ=BE=6厘米，即可．
∴点P，Q运动的时间t=（秒）.
综上t的值为2.5或2.
故选：D．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定，解决问题的关键是掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角；两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．同时要注意分类思想的运用．
6、D
【分析】
根据翻折变换的性质可得∠BAC=∠CAB′，根据两直线平行，内错角相等可得∠BAC=∠ACD，从而得到∠ACD=∠CAB′，然后根据等角对等边可得AE=CE，从而得解．
【详解】
解：∵矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B的对应点为B′，
∴∠BAC=∠CAB′，
∵AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠ACD=∠CAB′，
∴AE=CE，
∴结论正确的是D选项．
故选D.
【点睛】
本题考查了翻折变换的性质，平行线的性质，矩形的对边互相平行，等角对等边的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
7、B
【分析】
根据完全平方公式分解因式得到a=b，c=d，利用边的位置关系得到该四边形的形状．
【详解】
解：，
，
，
，
∴a=b，c=d，
∵四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，
∴c、d是对边，
∴该四边形是平行四边形，
故选：B．
【点睛】
此题考查了完全平方公式分解因式，平行四边形的判定方法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．
8、B
【分析】
利用中心对称图形的定义判断即可．
【详解】
解：根据中心对称图形的定义可知，②满足条件．
故选：．
【点睛】
本题主要考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，明确将一个图形绕一点旋转180°后与本身重合的图形叫做中心对称图形是解题的关键．
9、C
【分析】
过点F作，分别交于M、N，由F是AE中点得，根据，计算即可得出答案．
【详解】

如图，过点F作，分别交于M、N，
∵四边形ABCD是矩形，
∴，，
∵点E是BC的中点，
∴，
∵F是AE中点，
∴，
∴．
故选：C．
【点睛】
本题考查矩形的性质与三角形的面积公式，掌握是解题的关键．
10、A
【分析】
可以设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠可得∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，用α，β表示∠DAF＝10°+β，∠BAE＝10°+α，根据四边形ABCD是矩形，利用∠DAB＝90°，列方程10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，求出α+β＝30°即可求解．
【详解】
解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，
根据折叠性质可知：
∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，
∵∠B′AD′＝10°，
∴∠DAF＝10°+β，
∠BAE＝10°+α，

∵四边形ABCD是矩形
∴∠DAB＝90°，
∴10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，
∴α+β＝30°，
∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′，
＝10°+α+β，
＝10°+30°，
＝40°．
则∠EAF的度数为40°．
故选：A．
【点睛】
本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．
二、填空题
1、七
【分析】
根据多边形的内角和公式（n-2）•180°与多边形的外角和定理列式进行计算即可求解．
【详解】
解：设多边形的边数为n，则
（n-2）•180°-2×360°=180°，
解得n=7．
故答案为：七．
【点睛】
本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理列出方程是解题的关键．
2、（-3，-1）
【分析】
由题意直接根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反进行分析即可得出答案.
【详解】
解：在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是（-3，-1）.
故答案为：（-3，-1）.
【点睛】
本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，注意掌握平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．
3、
【分析】
利用平行四边形的性质：邻角互补，对角相等，即可求得答案．
【详解】
解：在平行四边形ABCD中，、是的邻角，是的对角，
，，
故答案为： ，，．
【点睛】
本题主要是考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，熟练掌握平行四边形的性质，求解决本题的关键．
4、25°
【分析】
利用翻折变换的性质即可解决．
【详解】
解：由折叠可知，∠EF＝∠AEF，∠EC＝∠BEC＝65°，
∵∠EF+∠AEF+∠EC+∠BEC＝180°，
∴∠EF+∠AEF＝50°，
∴∠AEF＝25°，
故答案为：25°．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
5、
【分析】
连接OB，交AC于点D，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC为菱形，根据菱形的性质可得：，，，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，由此得出，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．
【详解】
解：如图所示，连接OB，交AC于点D，

∵四边形OABC为平行四边形，，
∴四边形OABC为菱形，
∴，，，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴，
在中，设，则，
∴，
即，
解得：或（舍去），
∴的长为：，
故答案为：．
【点睛】
题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．
三、解答题
1、∠A+∠B＝∠C+∠D； 25°；∠P＝；α+β﹣180°，∠P＝； ；∠P＝；2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【分析】
探索一：根据三角形的内角和定理，结合对顶角的性质可求解；
探索二：根据角平分线的定义可得∠BAP＝∠DAP，∠BCP＝∠DCP，结合（1）的结论可得2∠P＝∠B+∠D，再代入计算可求解；
探索三：运用探索一和探索二的结论即可求得答案；
应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，利用三角形内角和定理可得∠A＝α+β﹣180°，再运用角平分线定义及三角形外角性质即可求得答案；
应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，利用应用一的结论即可求得答案；
拓展一：运用探索一的结论可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，再结合已知条件即可求得答案；
拓展二：运用探索一的结论及角平分线定义即可求得答案．
【详解】
解：探索一：如图1，

∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，
∴∠A+∠B＝∠C+∠D，
故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；
探索二：如图2，

∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，
∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，
即2∠P＝∠B+∠D，
∵∠B＝36°，∠D＝14°，
∴∠P＝25°，
故答案为25°；
探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，

由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，
①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1
∠D+2∠B＝2∠P+∠B．
∴∠P＝．
故答案为：∠P＝．
应用一：如图4，

延长BM、CN，交于点A，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，
∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，
∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；
∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，
∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，
∵∠PCD＝∠P+∠PBC，
∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，
故答案为：α+β﹣180°，；
应用二：如图5，

延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，
∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，
∴∠A＝180°﹣α﹣β，
∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，
∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，
由应用一得：∠P＝∠A＝，
故答案为：；
拓展一：如图6，

由探索一可得：
∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，
∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，
∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，
∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，
∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，
∴∠P＝，
故答案为：∠P＝；
拓展二：如图7，

∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，
∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，
由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，
②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，
③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，
∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，
故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．
【点睛】
本题是探究性题目，考查了三角形的相关计算、三角形内角和定理、角平分线性质、三角形外角的性质等，此类题目遵循题目顺序，结合相关性质和定理，逐步证明求解即可．
2、（1）选①或②或③，证明见详解；（2）①当时，结论成立；②当时，还成立，证明见详解．
【分析】
（1）命题①，根据等边三角形的性质及各角之间的等量代换可得：，然后依据全等三角形的判定定理可得：，再由全等三角形的性质即可证明；命题②，根据正方形的性质及各角之间的等量代换可得：，然后依据全等三角形的判定定理可得：，再由全等三角形的性质即可证明；命题③，根据正五边形的性质及各角之间的等量代换可得：，然后依据全等三角形的判定定理可得：，再由全等三角形的性质即可证明；
（2）①根据（1）中三个命题的结果，得出相应规律，即可得解；
②连接BD、CE，根据全等三角形的判定定理和性质可得：， ，，，利用各角之间的关系及等量代换可得：， ，继续利用全等三角形的判定定理和性质即可得出证明．
【详解】
解：（1）如选命题①，证明：如图所示：


∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与ΔCAN中，
，
∴ ，
∴ ；
如选命题②，
证明：如图所示：


∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与ΔCDN中，
，
∴ ，
∴ ；
如选命题③，
证明：如图所示：


∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在 与ΔCDN中，
，
∴ ，
∴ ；
（2）①根据（1）中规律可得：当时，结论成立；
②答：当时，成立．
证明：如图所示，连接BD、CE，


在和中，
，
∴ ，
∴ ，，，
∵ ，
∴ ，
∵ ，．
∴ ，
又∵ ，
∴ ，
在和中，
，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
题目主要考查全等三角形的判定定理和性质，正多边形的内角，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等，理解题意，结合相应图形证明是解题关键．
3、（1）DM=ME，见解析；（2），见解析
【分析】
（1）补全图形，连接AE、AD，通过∠ABE=∠ACD，AB=AC，BE=CD，证明 △ABE ≌ △ACD，得AE=AD，再利用AM⊥DE于M，即可得到DM=EM．
（2）连接AD，AE，BM ，可求出，当时，可得，由（1）得DM=EM，可知BM是△CDE的中位线从而得到，BM∥CD，得到∠ABM=135°=∠ABE．因为N为BE中点，可知从而证明△ABN ≌ △ABM得到AN=AM，由（1），△ABE ≌ △ACD，可证明∠EAB=∠DAC，AD=AE进而得到∠EAD=90°，又因为DM=EM，即可得到．
【详解】
（1）补全图形如下图，

DM与ME之间的数量关系为DM=ME．
证明：连接AE，AD，
∵ ∠BAC=90°，AB=AC，

∴ ∠ABC=∠ACB=45°．
∴ ∠ABE=180°-∠ABC=135°．
∵ 由旋转，∠BCD=90°，
∴ ∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°．
∴ ∠ABE=∠ACD．
∵ AB=AC，BE=CD，
∴ △ABE ≌ △ACD．
∴ AE=AD．
∵ AM⊥DE于M，
∴ DM=EM．
（2）
证明：连接AD，AE，BM．
∵ AB=AC=1，∠BAC=90°，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∵ 由（1）得DM=EM，
∴ BM是△CDE的中位线．
∴ ，BM∥CD．
∴ ∠EBM=∠ECD=90°．
∵ ∠ABE=135°，
∴ ∠ABM=135°=∠ABE．
∵ N为BE中点，
∴ ．
∴ BM=BN．
∵ AB=AB，
∴ △ABN ≌ △ABM．
∴ AN=AM．
∵ 由（1），△ABE ≌ △ACD，
∴ ∠EAB=∠DAC，AD=AE．
∵ ∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°，
∴ ∠EAD=90°．
∵ DM=EM，
∴ ．
∴ ．

【点睛】
本题考查了旋转的性质和三角形全等的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键．
4、（1）见解析；（2）平行四边形DEFB的周长＝
【分析】
（1）证DE是△ABC的中位线，得DE∥BC，BC＝2DE，再证DE＝BF，即可得出四边形DEFB是平行四边形；
（2）由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，得BD＝EF，再由勾股定理求出BD＝10（cm），即可求解．
【详解】
（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，BC＝2DE，
∵CF＝3BF，
∴BC＝2BF，
∴DE＝BF，
∴四边形DEFB是平行四边形；
（2）解：由（1）得：BC＝2DE＝8（cm），BF＝DE＝4cm，四边形DEFB是平行四边形，
∴BD＝EF，
∵D是AC的中点，AC＝12cm，
∴CD＝AC＝6（cm），
∵∠ACB＝90°，
∴BD＝＝10（cm），
∴平行四边形DEFB的周长＝2（DE+BD）＝2（4+10）＝28（cm）．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理、勾股定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理，证明四边形DEFB为平行四边形是解题的关键．
5、（1）见解析；（2）
【分析】
（1）根据矩形的性质得到，由垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；
（2）由已知条件得到，由，即可得到：的值．
【详解】
（1）∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在与中，
，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【点睛】
本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．