2021学年第十五章 四边形综合与测试当堂检测题

京改版八年级数学下册第十五章四边形专题练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使其与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（　　）

A． B． C． D．

2、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（　　）

A．180° B．360°

C．540° D．不能确定

3、在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，那么∠B与∠A的度数之比为（     ）

A．4：1 B．5：1 C．6：1 D．7：1

4、一个多边形每个外角都等于36°，则这个多边形是几边形（     ）

A．7 B．8 C．9 D．10

5、下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

6、如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（　　）

A．2 B．4 C．4或 D．2或

7、如图，M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数是（   ）

A．120° B．118° C．110° D．108°

8、如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ）

A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD

C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC

9、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

10、如图，小明从点A出发沿直线前进10m到达点B，向左转，后又沿直线前进10m到达点C，再向左转30°后沿直线前进10m到达点．．．照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了（    ）米．

A．80 B．100 C．120 D．140

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，M，N分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，将矩形ABCD沿MN折叠，使点A恰好落在边BC上的点E处，连接MC，若AB＝8，AD＝16，BE＝4，则MC的长为________．

2、菱形ABCD的周长为，对角线AC和BD相交于点O，AO：BO=1：2，则菱形ABCD的面积为________．

3、若点A（m，5）与点B（－4，n）关于原点成中心对称，则m＋n＝________．

4、将△ABC纸片沿DE按如图的方式折叠．若∠C＝50°，∠1＝85°，则∠2等于______．

5、如图，平行四边形ABCD，AD＝5，AB＝8，点A的坐标为（－3，0）点C的坐标为______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图1，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+m交x轴于点A（4，0），交y轴正半轴于点B，直线AC交y轴负半轴于点C，且BC＝AB．

（1）求线段AC的长度．

（2）P为线段AB（不含A，B两点）上一动点．

①如图2，过点P作y轴的平行线交线段AC于点Q，记四边形APOQ的面积为S，点P的横坐标为t，当S＝时，求t的值．

②M为线段BA延长线上一点，且AM＝BP，在直线AC上是否存在点N，使得△PMN是以PM为直角边的等腰直角三角形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2、（1）如图1，在△ABC中，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，试说明：∠E∠A；

（拓展应用）

（2）如图2，在四边形ABDC中，对角线AD平分∠BAC．

①若∠ACD＝130°，∠BCD＝50°，∠CBA＝40°，求∠CDA的度数；

②若∠ABD+∠CBD＝180°，∠ACB＝82°，写出∠CBD与∠CAD之间的数量关系．

3、如图，在中，AE平分，于点E，点F是BC的中点

（1）如图1，BE的延长线与AC边相交于点D，求证：

（2）如图2，中，，求线段EF的长．

4、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E恰是CD的中点．

求证：（1）△ADE≌△FCE；

（2）BE⊥AF．

5、（1）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣2b），其中a＝1，b＝2；

（2）如图，菱形ABCD中，AB＝AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．证明：四边形AECF是矩形．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

利用中心对称图形的定义判断即可．

【详解】

解：根据中心对称图形的定义可知，②满足条件．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，明确将一个图形绕一点旋转180°后与本身重合的图形叫做中心对称图形是解题的关键．

2、B

【分析】

设BE与DF交于点M，BE与AC交于点N，根据三角形的外角性质，可得 ，再根据四边形的内角和等于360°，即可求解．

【详解】

解：设BE与DF交于点M，BE与AC交于点N，

∵ ，

∴ ，

∵，

∴ ．

故选：B

【点睛】

本题主要考查了三角形的外角性质，多边形的内角和，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；四边形的内角和等于360°是解题的关键．

3、B

【分析】

根据平行四边形的性质先求出∠B的度数，即可得到答案．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠B=180°-∠A=150°，

∴∠B：∠A=5：1，

故选B．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形邻角互补．

4、D

【分析】

根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．

【详解】

解：∵360°÷36°=10，

∴这个多边形的边数是10．

故选D．

【点睛】

本题考查了多边形内角与外角，外角和的大小与多边形的边数无关，熟练掌握多边形内角与外角是解题关键．

5、A

【分析】

把一个图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐一判断即可.

【详解】

解：选项A中的图形是中心对称图形，故A符合题意；

选项B中的图形不是中心对称图形，故B不符合题意；

选项C中的图形不是中心对称图形，故C不符合题意；

选项D中的图形不是中心对称图形，故D不符合题意；

故选A

【点睛】

本题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解本题的关键.

6、D

【分析】

根据题意可知当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．

【详解】

解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA=PB时，△APE≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴BP=AE=6cm，AP=4cm，
∴BQ=AP=4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，
∴v的值为：4÷2=2cm/s；
②当AP=BP时，△AEP≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，
∵5÷2=2.5s，
∴2.5v=6，
∴v=．
故选：D．

【点睛】

本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

7、D

【分析】

由五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM=∠CBN，由∠BAM+∠ABP=∠APN，即可得出∠APN=∠ABC，即可得出结果．

【详解】

解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=
∴∠APN的度数为108°；
故选：D．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、多边形的内角和定理；熟练掌握五边形的形状，证明三角形全等是解决问题的关键．

8、D

【分析】

由矩形的四个角是直角可判断A，由菱形的对角线互相垂直可判断B，由正方形的对角线相等可判断C，由菱形的四条边相等可判断D，从而可得答案.

【详解】

解：当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°，正确，故A不符合题意；

当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD，正确，故B不符合题意；

当▱ABCD是正方形时，AC＝BD，正确，故C不符合题意；

当▱ABCD是菱形时，AB＝BC，故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键.

9、C

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

10、C

【分析】

由小明第一次回到出发点A，则小明走过的路程刚好是一个多边形的周长，由多边形的外角和为，每次的转向的角度的大小刚好是多边形的一个外角，则先求解多边形的边数，从而可得答案.

【详解】

解：由 可得：小明第一次回到出发点A，

一个要走米，

故选C

【点睛】

本题考查的是多边形的外角和的应用，掌握“由多边形的外角和为得到一共要走12个10米”是解本题的关键.

二、填空题

1、10

【分析】

过E作EF⊥AD于F，根据矩形ABCD沿MN折叠，使点A恰好落在边BC上的点E处，得出△ANM≌△ENM，可得AM=EM，根据矩形ABCD，得出∠B=∠A=∠D=90°，再证四边形ABEF为矩形，得出AF=BE=4，FE=AB=8，设AM=EM=m，FM=m-4，根据勾股定理，即，解方程m=10即可．

【详解】

解：过E作EF⊥AD于F，

∵矩形ABCD沿MN折叠，使点A恰好落在边BC上的点E处，

∴△ANM≌△ENM，

∴AM=EM，

∵矩形ABCD，

∴∠B=∠A=∠D=90°， 

∵FE⊥AD，

∴∠AFE=∠B=∠A=90°，

∴四边形ABEF为矩形，

∴AF=BE=4，FE=AB=8，

设AM=EM=m，FM=m-4

在Rt△FEM中，根据勾股定理，即，

解得m=10，

∴MD=AD-AM=16-10=6，

在Rt△MDC中，

∴MC=．

故答案为10．

【点睛】

本题考查折叠轴对称性质，矩形判定与性质，勾股定理，掌握折叠轴对称性质，矩形判定与性质，勾股定理是解题关键．

2、4

【分析】

根据菱形的性质求得边长，根据AO：BO=1：2，求得对角线的长，进而根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解．

【详解】

解：如图

四边形是菱形

，

菱形ABCD的周长为，

AO：BO=1：2，

故答案为：4

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．

3、

【分析】

根据关于原点对称的点的坐标特征：关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数，进行求解即可．

【详解】

解：∵点A（m，5）与点B（－4，n）关于原点成中心对称，

∴m=4，n=-5，

∴m+n=-5+4=-1，

故答案为：-1．

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称点的坐标特征，代数式求值，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．

4、

【分析】

利用三角形的内角和定理以及折叠的性质，求出，，利用四边形内角和为，即可求出∠2．

【详解】

解：在中，，

在中，，

由折叠性质可知： ，

四边形的内角和为，

，

，，

，

，，且∠1＝85°，

，

故答案为：．

【点睛】

本题主要是考查了三角形和四边形的内角和定理，熟练利用三角形内角和定理，求出两角之和，最后利用四边形的内角和求得某角的度数，这是解决该题的关键．

5、（8，4）

【分析】

先根据勾股定理得到OD的长，即可得到点D的坐标，再根据平行四边形的性质和平行x轴两点坐标特征即可得到点C的坐标．

【详解】

解：∵点A的坐标为（－3，0），

在Rt△ADO中，AD＝5， AO=3，，

∴OD==，

∴D(0，4)，

∵平行四边形ABCD，

∴AB=CD=8，AB∥CD，

∵AB在x轴上，

∴CD∥x轴，

∴C、D两点的纵坐标相同，

∴C(8，4) ．

故答案为（8，4）．

【点睛】

本题考查平行四边形性质，勾股定理，平行x轴两点坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．

三、解答题

1、（1）；（2）①；②存在一点或，使是以MN为直角边的等腰直角三角形．

【分析】

（1）把代入一次函数解析式即可确定一次函数解析式为，得到，由勾股定理确定，求出，即求得，在中，利用勾股定理即可得出结果；

（2）①设，利用待定系数法直线AC的解析式为，由，根据代入数值即可求出t的值；

②当N点在轴下方时，得到，设，过P点作直线轴，作，，根据全等三角形的判定定理可得：，得到，，再证明，得到，，求得，则，根据，得到，列出方程求出a即可得到点N的坐标；当N点在x轴上方时，点与N关于对称，得到点N’的坐标．

【详解】

（1）把代入得：，

一次函数解析式为，

令，得，

∴，

在中，，，

，

∴，

∵，

∴，

∴，

在中，

；

（2）①设，

∴P在线段AB上，

∴，

设直线AC的解析式为，代入，得：

，

∴，

∴，

又∵轴，则，

∴，

，

又∵，

∴得．

②如图所示，当N点在轴下方时，

∵，

∴，

∴，

∵是以PM为直角边的等腰直角三角形，

当时，，，

设，

过P点作直线轴，作，，

∴，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，，

∵，，

∴，

在与中，

，

∴，

∴，，

∴，作，则，

∵，

∴，

∴M在直线AB上，

∴

，

∴，

∴．

当N点在x轴上方时，如图所示：

点与关于对称，

则，即，

综上：存在一点或，使是以MN为直角边的等腰直角三角形．

【点睛】

题目主要是考查一次函数的综合题，待定系数法求函数解析式，直线所成三角形的面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定及性质，中心对称的点的性质，熟练掌握各知识点综合运用是解题的关键．

2、（1）见解析；（2）①∠CDA＝20°；②∠CAD+41°＝∠CBD．

【分析】

（1）由三角形外角的性质可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠ECD＝∠E+∠EBC；由角平分线的性质可得，，利用等量代换，即可求得∠A与∠E的关系；

（2）①根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答；②设∠CBD=a，根据已知条件得到∠ABC=180°-2a，根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可解答．

【详解】

（1）证明：∵∠ACD是△ABC的外角

∴∠ACD＝∠A+∠ABC

∵CE平分∠ACD

∴

又∵∠ECD＝∠E+∠EBC

∴

∵BE平分∠ABC

∴

∴

∴；

（2）①∵∠ACD＝130°，∠BCD＝50°

∴∠ACB＝∠ACD﹣∠BCD＝130°﹣50°＝80°

∵∠CBA＝40°

∴∠BAC＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣80°﹣40°＝60°

∵AD平分∠BAC

∴

∴∠CDA＝180°﹣∠CAD﹣∠ACD＝20°；

②∠CAD+41°＝∠CBD

设∠CBD＝α

∵∠ABD+∠CBD＝180°

∴∠ABC＝180°﹣2α

∵∠ACB＝82°

∴∠CAB＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣（180°﹣2α）﹣82°＝2α﹣82°

∵AD平分∠BAC

∴∠CAD＝∠CAB＝α﹣41°

∴∠CAD+41°＝∠CBD．

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角与外角、三角形内角和定理、角平分线等知识点，掌握三角形内角和是180°是解答本题的关键．

3、（1）见解析；（2）2

【分析】

（1）利用ASA定理证明△AEB≌△AED，得到BE=ED，AD=AB，根据三角形中位线定理解答；

（2）分别延长BE、AC交于点H，仿照（1）的过程解答．

【详解】

解：（1）证明：∵AE平分，，

∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，

在△AEB和△AED中，

，

∴△AEB≌△AED（ASA）

∴BE=ED，AD=AB，

∵点F是BC的中点，

∴BF=FC，

∴EF是△BCD的中位线，

∴EF=CD=(AC-AD)=(AC-AB)；

（2）解：分别延长BE、AC交于点H，

∵AE平分，，

∴∠BAE=∠DAE，∠AEB=∠AED=90°，

在△AEB和△AEH中，

，

∴△AEB≌△AEH（ASA）

∴BE=EH，AH=AB=9，

∵点F是BC的中点，

∴BF=FC，

∴EF是△BCD的中位线，

∴EF=CH=(AH-AC)=2．

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．

4、（1）见解析；（2）见解析．

【分析】

（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠D＝∠ECF，则可证明△ADE≌△FCE（ASA）；

（2）由平行四边形的性质证出AB＝BF，由全等三角形的性质得出AE＝FE，由等腰三角形的性质可得出结论．

【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠D＝∠ECF，

∵E为CD的中点，

∴ED＝EC，

在△ADE和△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（ASA）；

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB＝CD，AD∥BC，

∴∠FAD＝∠AFB，

又∵AF平分∠BAD，

∴∠FAD＝∠FAB．

∴∠AFB＝∠FAB．

∴AB＝BF，

∵△ADE≌△FCE，

∴AE＝FE，

∴BE⊥AF．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．

5、（1），0；（2）证明见解析．

【分析】

（1）根据整式的乘法运算法则先去括号，然后合并同类项化简，然后代入求解即可；

（2）首先根据菱形的性质得到，，然后根据E、F分别是BC、AD的中点，得出，根据一组对边平行且相等证明出四边形AECF是平行四边形，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可证明出四边形AECF是矩形．

【详解】

（1）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣2b）

将a＝1，b＝2代入得：原式＝；

（2）如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，

∴，且，

又∵E、F分别是BC、AD的中点，

∴，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AB＝AC，E是BC的中点，

∴，即，

∴平行四边形AECF是矩形．

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，代数式求值问题，菱形的性质和矩形的判定，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则，菱形的性质和矩形的判定定理．