初中数学北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试当堂达标检测题

京改版八年级数学下册第十五章四边形综合训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

2、若一个直角三角形的周长为，斜边上的中线长为1，则此直角三角形的面积为（    ）

A． B． C． D．

3、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（　　）

A．7 B．6 C．4 D．8

4、下列图案中，是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

5、如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点．已知∠B＝55°，则∠AEF的度数是（　　）

A．75° B．60° C．55° D．40°

6、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若D为斜边AB上的中点，AB的长为10，则DC的长为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

7、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（     ）

A． B． C． D．

8、在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（    ）

A． B． C． D．

9、四边形的内角和与外角和的数量关系，正确的是（　　）

A．内角和比外角和大180° B．外角和比内角和大180°

C．内角和比外角和大360° D．内角和与外角和相等

10、一个多边形每个外角都等于36°，则这个多边形是几边形（     ）

A．7 B．8 C．9 D．10

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，点A，B，C在⊙O上，四边形OABC是平行四边形，若对角线AC＝2，则的长为 _____．

2、点P（1，2）关于原点中心对称的点的坐标为_______．

3、在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB=6，EF=2，则BC的长为_____．

4、如图，平面直角坐标系中，有，，三点，以A，B，O三点为顶点的平行四边形的另一个顶点D的坐标为______．

5、如图，直线l1⊥l3，l2⊥l3，垂足分别为P、Q，一块含有45°的直角三角板的顶点A、B、C分别在直线l1、l2、线段PQ上，点O是斜边AB的中点，若PQ等于，则OQ的长等于 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、（探究发现）

（1）如图1，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝90°，则AE、AF、AB之间满足的数量关系是　   　．

（类比应用）

（2）如图2，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为边AC、AB上两点，若满足∠EDF＝60°，试探究AE、AF、AB之间满足的数量关系，并说明理由．

（拓展延伸）

（3）在△ABC中，AB＝AC＝5，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，E、F分别为直线AC、AB上两点，若满足CE＝1，∠EDF＝60°，请直接写出AF的长．

2、如图，已知矩形中，点，分别是，上的点，，且．

（1）求证：；

（2）若，求：的值．

3、已知：▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，M是AO的中点，N是CO的中点，求证：BM∥DN，BM=DN．

4、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．

（1）求证：AD＝CE．   

（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．

5、在如图所示的4×3网格中，每个小正方形的边长均为1，正方形顶点叫格点，连接两个网格格点的线段叫网格线段．点A固定在格点上．

（1）若a是图中能用网格线段表示的最小无理数，b是图中能用网格线段表示的最大无理数，则a＝　   　，b＝　   　，＝　   　；

（2）请在网格中画出顶点在格点上且边长为的所有菱形ABCD，你画出的菱形面积分别为 　   　，　   　．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

2、B

【分析】

根据直角三角形斜边上中线的性质，可得斜边为2，然后利用两直角边之间的关系以及勾股定理求出两直角边之积，从而确定面积．

【详解】

解：根据直角三角形斜边上中线的性质可知，斜边上的中线等于斜边的一半，得AC=2BD=2．

∵一个直角三角形的周长为3+，

∴AB+BC=3+-2=1+．

等式两边平方得（AB+BC）2= (1+) 2，

即AB2+BC2+2AB•BC=4+2，

∵AB2+BC2=AC2=4，

∴2AB•BC=2，AB•BC=，

即三角形的面积为×AB•BC=．

故选：B．

【点睛】

本题考查直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形的面积等知识点的理解和掌握，巧妙求出AC•BC的值是解此题的关键，值得学习应用．

3、A

【分析】

如图所示，连接AC，OB交于点D，先求出C和A的坐标，然后根据矩形的性质得到D是AC的中点，从而求出D点坐标为（2，1），再由当直线经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，进行求解即可．

【详解】

解：如图所示，连接AC，OB交于点D，

∵C是直线与y轴的交点，

∴点C的坐标为（0，2），

∵OA=4，

∴A点坐标为（4，0），

∵四边形OABC是矩形，

∴D是AC的中点，

∴D点坐标为（2，1），

当直线经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，

由题意得平移后的直线解析式为，

∴，

∴，

故选A．

【点睛】

本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．

4、B

【分析】

由题意依据一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形对各选项分析判断即可．

【详解】

解：A、C、D都是轴对称图形，只有B选项是中心对称图形.

故选：B.

【点睛】

本题考查中心对称图形的识别，注意掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

5、C

【分析】

证EF是△ABC的中位线，得EF∥BC，再由平行线的性质即可求解．

【详解】

解：∵点E，F分别是AB，AC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥BC，

∴∠AEF=∠B=55°，

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理以及平行线的性质；熟练掌握三角形中位线定理，证出EF∥BC是解题的关键．

6、A

【分析】

利用直角三角形斜边的中线的性质可得答案．

【详解】

解：∵∠C=90°，若D为斜边AB上的中点，
∴CD=AB，
∵AB的长为10，
∴DC=5，
故选：A．

【点睛】

此题主要考查了直角三角形斜边的中线，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

7、A

【分析】

根据中心对称图形的概念（在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，则为中心对称图形）求解即可．

【详解】

解：B、C、D三个选项的图形旋转后，均不能与原来的图形重合，不符合题意，

A选项是中心对称图形．故本选项正确．

故选：A．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，深刻理解中心对称图形的概念是解题关键．

8、A

【分析】

关于原点成中心对称的两个点的坐标规律：横坐标与纵坐标都互为相反数，根据原理直接作答即可.

【详解】

解：点关于原点对称的点的坐标是：

故选A

【点睛】

本题考查的是关于原点成中心对称的两个点的坐标规律，掌握“关于原点成中心对称的两个点的坐标规律：横坐标与纵坐标都互为相反数”是解题的关键.

9、D

【分析】

直接利用多边形内角和定理分别分析得出答案．

【详解】

解：A．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；

B．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；

C．六四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；

D．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述正确．

故选：D．

【点睛】

本题考查了四边形内角和和外角和，解题关键是熟记四边形内角和与外角和都是360°．

10、D

【分析】

根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．

【详解】

解：∵360°÷36°=10，

∴这个多边形的边数是10．

故选D．

【点睛】

本题考查了多边形内角与外角，外角和的大小与多边形的边数无关，熟练掌握多边形内角与外角是解题关键．

二、填空题

1、

【分析】

连接OB，交AC于点D，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形，可得四边形OABC为菱形，根据菱形的性质可得：，，，根据等边三角形的判定得出为等边三角形，由此得出，在直角三角形中利用勾股定理即可确定圆的半径，然后代入弧长公式求解即可．

【详解】

解：如图所示，连接OB，交AC于点D，

∵四边形OABC为平行四边形，，

∴四边形OABC为菱形，

∴，，，

∵，

∴为等边三角形，

∴，

∴，

在中，设，则，

∴，

即，

解得：或（舍去），

∴的长为：，

故答案为：．

【点睛】

题目主要考查菱形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，弧长公式等，熟练掌握各个定理和公式是解题关键．

2、（-1，-2）

【分析】

平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y）．据此作答．

【详解】

解：根据中心对称的性质，得点P（1，2）关于原点中心对称的点的坐标为（-1，-2）．

故答案为：（-1，-2）．

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟知关于原点对称的点的坐标特征是解题的关键．

3、10或14或10

【分析】

利用BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，以及平行关系，分别求出、，通过和是否相交，分两类情况讨论，最后通过边之间的关系，求出的长即可．

【详解】

解： 四边形ABCD是平行四边形，

，，，

，，

BF平分∠ABC， CE平分∠BCD，

，，

，，

由等角对等边可知：，，

情况1：当与相交时，如下图所示：

，

，

，

情况2：当与不相交时，如下图所示：

，

，

故答案为：10或14．

【点睛】

本题主要是考查了平行四边形的性质，熟练运用平行关系+角平分线证边相等，是解决本题的关键，还要注意根据和是否相交，本题分两类情况，如果没考虑仔细，会漏掉一种情况．

4、（9，4）、（-3，4）、（3，-4）

【分析】

根据平行四边形的性质得出AD=BO=6，AD∥BO，根据平行线得出A和D的纵坐标相等，根据B的横坐标和BO的值即可求出D的横坐标．

【详解】

∵平行四边形ABCD的顶点A、B、O的坐标分别为（3，4）、（6，0）、（0，0），

∴AD=BO=6，AD∥BO，

∴D的横坐标是3+6=9，纵坐标是4，

即D的坐标是（9，4），

同理可得出D的坐标还有（-3，4）、（3，-4）．

故答案为：（9，4）、（-3，4）、（3，-4）．

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质和平行四边形的性质，注意：平行四边形的对边平行且相等．

5、

【分析】

由“AAS”可证△ACP≌△CBQ，可得AP＝CQ，PC＝BQ，由“AAS”可证△APO≌△BHO，可得AP＝BH，OP＝OH，由等腰直角三角形的性质和直角三角形的性质可求解．

【详解】

解：如图，连接PO，并延长交l2于点H，

∵l1⊥l3，l2⊥l3，

∴l1∥l3，∠APC＝∠BQC＝∠ACB＝90°，

∴∠PAC+∠ACP＝90°＝∠ACP+∠BCQ，

∴∠PAC＝∠BCQ，

在△ACP和△CBQ中，

，

∴△ACP≌△CBQ（AAS），

∴AP＝CQ，PC＝BQ，

∴PC+CQ＝AP+BQ＝PQ＝，

∵AP∥BQ，

∴∠OAP＝∠OBH，

∵点O是斜边AB的中点，

∴AO＝BO，

在△APO和△BHO中，

，

∴△APO≌△BHO（AAS），

∴AP＝BH，OP＝OH，

∴BH+BQ＝AP+BQ＝PQ，

∴PQ＝QH＝，

∵∠PQH＝90°，

∴PH＝PQ＝12，

∵OP＝OH，∠PQH＝90°，

∴OQ＝PH＝6．

故答案为：6

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理，等腰三角形和直角三角形的性质定理是解题的关键．

三、解答题

1、（1）AB＝AF+AE；（2）AE+AF＝AB，理由见解析；（3）或

【分析】

（1）证明△BDF≌OADE，可得BF＝AE，从而证明AB＝AF+AE；

（2）取AB中点G，连接DG，利用ASA证明△GDF≌△ADE，得到GF＝AE，可得AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF；

（3）分两种情况：当点E在线段AC上时或当点E在AC延长线上时，取AC的中点H，连接DH，同理证明△ADF≌△HDE，得到AF＝HE，从而求解．

【详解】

（1）

如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠C＝45°，

∵D为BC中点，

∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD＝45°，AD＝BD＝CD，

∴∠ADB＝∠ADF+∠BDF＝90°，

∵∠EDF＝∠ADE+∠ADF＝90°，

∴∠BDF＝∠ADE，

∵BD＝AD，∠B＝∠CAD＝45°，

∴△BDF≌△ADE（ASA），

∴BF＝AE，

∴AB＝AF+BF＝AF+AE；

故答案为：AB＝AF+AE；

（2）

AE+AF＝AB．理由是：

如图2，取AB中点G，连接DG，

∵点G是斜边中点，

∴DG＝AG＝BG＝AB，

∵AB＝AC，∠BAC＝120°，点D为BC的中点，

∴∠BAD＝∠CAD＝60°，

∴∠GDA＝∠BAD＝60°，即∠GDF+∠FDA＝60°，

又∵∠FAD+∠ADE＝∠FDE＝60°，

∴∠GDF＝∠ADE，

∵DG＝AG，∠BAD＝60°，

∴△ADG为等边三角形，

∴∠AGD＝∠CAD＝60°，GD＝AD，

∴△GDF≌△ADE（ASA），

∴GF＝AE，

∴AG＝AB＝AF+FG＝AE+AF，

∴AE+AF＝AB；

（3）

当点E在线段AC上时，如图3，取AC的中点H，连接DH，

当AB＝AC＝5，CE＝1，∠EDF＝60°时，

AE＝4，此时F在BA的延长线上，

同（2）可得：△ADF≌△HDE （ASA），

∴AF＝HE，

∵AH＝CH＝AC＝，CE＝1，

∴，

当点E在AC延长线上时，如图4，

同理可得：；

综上：AF的长为或．

【点睛】

本题考查三角形综合问题，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键

2、（1）见解析；（2）

【分析】

（1）根据矩形的性质得到，由垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；

（2）由已知条件得到，由，即可得到：的值．

【详解】

（1）∵四边形是矩形，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

在与中，

，

∴，

∴；

（2）∵，

∴，

∵，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．

3、见解析

【分析】

连接，根据平行四边形的性质可得AO=OC，DO=OB，由M是AO的中点，N是CO的中点，进而可得MO=ON,进而即可证明四边形是平行四边形，即可得证．

【详解】

如图，连接，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AO=OC，DO=OB．

∵M为AO的中点，N为CO的中点，

即

∴MO=ON．

四边形是平行四边形，

∴BM∥DN，BM=DN．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．

4、（1）见解析；（2）39

【分析】

（1）首先根据CF⊥DE，DF＝EF得出CF为DE的中垂线，然后根据垂直平分线的性质得到CD＝CE，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝AD，即可证明AD＝CE；

（2）由（1）得CD＝CE=AB=5，由勾股定理求出BC，然后结合三角形的面积公式进行计算．

【详解】

（1）证明：∵DF＝EF 

∴点F为DE的中点

又∵CF⊥DE 

∴CF为DE的中垂线

∴CD＝CE

又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

CD是斜边AB上的中线

∴CD＝=AD

∴AD＝CE

（2）解：由（1）得CD＝CE==5

∴AB=10 

∴在Rt△ABC中，BC==8

∴EB=EC+BC=13

∴ ．

【点睛】

此题考查了垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式．

5、（1），2，；（2）4或5．

【分析】

（1）借助网格得出最大的无理数以及最小的无理数，进而求出即可；

（2）根据要求周长边长为的菱形即可．

【详解】

解：（1）由题意得：a=，b=2，
∴；
故答案为：，2，；

（2）如图1，2中，菱形ABCD即为所求．
菱形ABCD的面积为=×4×2=4或菱形ABCD的面积=×=5，
故答案为：4或5．

【点睛】

本题考查作图-应用与设计作图，无理数，勾股定理，菱形的性质等知识，解题的关键是理解题意，正确作出图形解决问题．