2021学年第十五章 四边形综合与测试同步达标检测题

京改版八年级数学下册第十五章四边形综合练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知中，，，CD是斜边AB上的中线，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

2、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（   ）

A． B． 

C． D．

3、下面图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

4、下列图标中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

5、如图，M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数是（   ）

A．120° B．118° C．110° D．108°

6、古典园林中的窗户是中国传统建筑装饰的重要组成部分，一窗一姿容，一窗一景致．下列窗户图案中，是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C．  D．

7、四边形的内角和与外角和的数量关系，正确的是（　　）

A．内角和比外角和大180° B．外角和比内角和大180°

C．内角和比外角和大360° D．内角和与外角和相等

8、下列图形中，是中心对称图形的是（   ）

A． B． C． D．

9、下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（    ）

A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等

C．测量对角线是否相等 D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等

10、如图，在矩形ABCD中，AB=1，BC=2，将其折叠，使AB边落在对角线AC上，得到折痕AE，则点E到点B的距离为（     ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、正方形的一条对角线长为4，则这个正方形面积是_________．

2、已知一个多边形的内角和与外角和的比是2：1，则它的边数为 _____．

3、坐标平面内的点P(m，﹣2020)与点Q(2021，n)关于原点对称，则m＋n＝_________．

4、如图，在数轴上，以单位长度为边长画一个正方形，点A对应的数是1，以点A为圆心，正方形对角线AB为半径画圆，圆与数轴的交点对应的数是 _____．

5、如图，在菱形纸片ABCD中，AB＝2，∠A＝60°，将菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则cos∠EFG的值为________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，四边形ABCD为平行四边形，∠BAD的平分线AF交CD于点E，交BC的延长线于点F．点E恰是CD的中点．

求证：（1）△ADE≌△FCE；

（2）BE⊥AF．

2、（教材重现）如图是数学教材第135页的部分截图．

在多边形中，三角形是最基本的图形．如图4.4.5所示，每一个多边形都可以分割成若干个三角形．

数一数每个多边形中三角形的个数，你能发现什么规律？

在多边形中，连接不相邻的两个顶点，所得到的线段称为多边形的对角线．

（问题思考）结合如图思考，从多边形的一个顶点出发，可以得到的对角线的数量，并填写表：

（问题探究）n边形有n个顶点，每个顶点分别连接对角线后，每条对角线重复连接了一次，由此可推导出，n边形共有 　   　对角线（用含有n的代数式表示）．

（问题拓展）

（1）已知平面上4个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 　   　条线段．

（2）已知平面上共有15个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 　   　条线段．

（3）已知平面上共有x个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 　   　条线段（用含有x的代数式表示，不必化简）．

3、如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．

（1）请在下面①②③三个网格图中分别涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形（3个图形中所涂三角形不同）；

（2）在④⑤两个网格图中分别涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形（2个图形中所涂三角形不同）．

4、如图，在中，过点作于点，点在边上，，连接，．

（1）求证：四边形是矩形；

（2）若，，，求证：平分．

5、如图，在平行四边形ABCD中，，点E、F分别是BC、AD的中点．

（1）求证：；

（2）当时，在不添加辅助线的情况下，直接写出图中等于的2倍的所有角．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

由题意根据三角形的内角和得到∠A=36°，由CD是斜边AB上的中线，得到CD=AD，根据等腰三角形的性质即可得到结论．

【详解】

解：∵∠ACB=90°，∠B=54°，
∴∠A=36°，
∵CD是斜边AB上的中线，
∴CD=AD，
∴∠ACD=∠A=36°.
故选：B．

【点睛】

本题考查直角三角形的性质与三角形的内角和，熟练掌握直角三角形的性质即直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．

2、C

【分析】

利用中心对称图形的定义：旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故A错误．

B、不是中心对称图形，故B错误．

C、是中心对称图形，故C正确．

D、不是中心对称图形，故D错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．

3、D

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则此图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，固定的点叫对称中心；理解两个概念是解答本题的关键．

4、B

【分析】

由题意直接根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得出答案．

【详解】

解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意．
故选：B．

【点睛】

本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

5、D

【分析】

由五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM=∠CBN，由∠BAM+∠ABP=∠APN，即可得出∠APN=∠ABC，即可得出结果．

【详解】

解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=
∴∠APN的度数为108°；
故选：D．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、多边形的内角和定理；熟练掌握五边形的形状，证明三角形全等是解决问题的关键．

6、C

【分析】

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

7、D

【分析】

直接利用多边形内角和定理分别分析得出答案．

【详解】

解：A．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；

B．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；

C．六四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；

D．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述正确．

故选：D．

【点睛】

本题考查了四边形内角和和外角和，解题关键是熟记四边形内角和与外角和都是360°．

8、B

【分析】

根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【详解】

选项、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

9、D

【分析】

由平行四边形的判定与性质、矩形的判定分别对各个选项进行判断即可．

【详解】

解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，

∴对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，

∴选项A不符合题意；

B、∵两组对边分别相等是平行四边形，

∴选项B不符合题意；

C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，

∴对角线相等的四边形不是矩形，

∴选项C不符合题意；

D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，

∴对角线互相平分且相等，

∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，

∴选项D符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、解题的关键是熟记矩形的判定定理．

10、C

【分析】

由于AE是折痕，可得到AB=AF，BE=EF，再求解设BE=x，在Rt△EFC中利用勾股定理列出方程，通过解方程可得答案．

【详解】

解： 矩形ABCD，

设BE=x，

∵AE为折痕，

∴AB=AF=1，BE=EF=x，∠AFE=∠B=90°，

Rt△ABC中，

∴Rt△EFC中，，EC=2-x，

∴，

解得：，

则点E到点B的距离为：．

故选：C．

【点睛】

本题考查了勾股定理和矩形与折叠问题；二次根式的乘法运算，利用对折得到，再利用勾股定理列方程是解本题的关键．

二、填空题

1、8

【分析】

正方形边长相等设为，对角线长已知，利用勾股定理求解边长的平方，即为正方形的面积．

【详解】

解：设边长为，对角线为

故答案为：．

【点睛】

本题考察了正方形的性质以及勾股定理．解题的关键在于求解正方形的边长．

2、6

【分析】

根据多边形内角和公式及多边形外角和可直接进行求解．

【详解】

解：由题意得：，

解得：，

∴该多边形的边数为6；

故答案为6．

【点睛】

本题主要考查多边形的内角和及外角和，熟练掌握多边形内角和及外角和是解题的关键．

3、-1

【分析】

根据“关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数”求出m、n的值，然后相加计算即可得解．

【详解】

解：∵点P(m，-2020)与点Q(2021，n)关于原点对称，

∴m=﹣2021，n=2020，

∴m＋n=﹣1.

故答案为：-1.

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

4、或．

【分析】

根据正方形的面积公式得出面积为1，根据正方形面积公式为对角线AB乘积的一半求出正方形的对角线长，利用点A的位置，得出圆与数轴的交点对应的数即可．

【详解】

解：∵以单位长度为边长画一个正方形，

∴正方形面积为1，

∴，

∴AB=，

∵点A在1的位置，

∴圆与数轴的交点对应的数为或．

故答案为或．

【点睛】

本题考查数轴上点表示数，正方形性质，算术平方根，图形旋转，掌握数轴上点表示数，正方形性质，图形旋转特征是解题关键

5、

【分析】

根据题意连接BE，连接AE交FG于O，如图，利用菱形的性质得△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，再在在Rt△BCE中计算出BE=CE=，然后证明BE⊥AB，利用勾股定理计算出AE，从而得到OA的长；设AF=x，根据折叠的性质得到FE=FA=x，在Rt△BEF中利用勾股定理得到（2-x）2+（）2=x2，解得x，然后在Rt△AOF中利用勾股定理计算出OF，再利用余弦的定义求解即可．

【详解】

解：连接BE，连接AE交FG于O，如图，

∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°，
∴△BDC为等边三角形，∠ADC=120°，
∵E点为CD的中点，
∴CE=DE=1，BE⊥CD，
在Rt△BCE中，BE=CE=，
∵AB∥CD，
∴BE⊥AB，
∴．
∴，
设AF=x，
∵菱形纸片翻折，使点A落在CD的中点E处，
∴FE=FA=x，
∴BF=2-x，
在Rt△BEF中，（2-x）2+（）2=x2，

解得:，
在Rt△AOF中，，
∴．
故答案为: ．

【点睛】

本题考查了折叠的性质以及菱形的性质，注意掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．

三、解答题

1、（1）见解析；（2）见解析．

【分析】

（1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，得出∠D＝∠ECF，则可证明△ADE≌△FCE（ASA）；

（2）由平行四边形的性质证出AB＝BF，由全等三角形的性质得出AE＝FE，由等腰三角形的性质可得出结论．

【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠D＝∠ECF，

∵E为CD的中点，

∴ED＝EC，

在△ADE和△FCE中，

，

∴△ADE≌△FCE（ASA）；

（2）∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AB＝CD，AD∥BC，

∴∠FAD＝∠AFB，

又∵AF平分∠BAD，

∴∠FAD＝∠FAB．

∴∠AFB＝∠FAB．

∴AB＝BF，

∵△ADE≌△FCE，

∴AE＝FE，

∴BE⊥AF．

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，角平分线的定义，等腰三角形的性质与判定，熟知相关知识是解题的关键．

2、规律为：多边形的边数减去2，就是多边形中的三角形的个数； 2条，3条，9条，条；条；（1）6；（2）105；（3）

【分析】

通过观察多边形边数与其分割的三角形个数，即可发现规律

利用规律，多边形的边数一个顶点出发的对角线数，直接填写表格即可

先求出所有顶点得到的对角线之和，最后除以2即可得到边形的对角线条数

（1）根据题意，四边形一个顶点可以得到一条，四个点共4条，再去除一半，加上四个点单独连接的4条线段，即可得到答案．

（2）根据规律可以发现：十五边形的每个点可以得到12条，15点有180条，去掉一半，加上15个点组成的十五边形的的15条边，即可得到答案．

（3）通过上述两小题，即可以找到对应的规律，利用规律进行求解即可．

【详解】

由图可以直接发现：多边形的边数与其分割的三角形个数相差2，故规律为：多边形的边数减去2，就是多边形中的三角形的个数．

利用上图规律，便可以知道从五边形的一个顶点出发，得到2条对角线；六边形的一个顶点出发，得到3条对角线；十二边形的一个顶点出发，得到9条对角线；边形的一个顶点出发，得到条对角线．

边形的一个顶点可以得到条对角线，故个顶点共有，由于每条对角线重复连接了一次，故n边形共有条对角线

（1）解：有四个点可以组成四边形，每个点可以得到1条对角线，四个点共4条，

每条对角线重复连接了一次，

对角线条数为2，

四边形的边数为4，

一共可以连接2+4=6条线段．

（2）解：有15个点可以组成十五边形，每个点可以得到12条对角线，四个点共180条，

每条对角线重复连接了一次，

对角线条数为90，

四边形的边数为15，

一共可以连接90+15=105条线段．

（3）解：由前面题的规律可知：有个点可以组成边形，每个点可以得到条对角线，四个点共条，

每条对角线重复连接了一次，

对角线条数为，

四边形的边数为，

一共可以连接条线段．

【点睛】

本题主要是考察了图形类的规律问题以及列代数式，根据题意，找到对角线与多边形的边数关系是解决本题的关键，另外，注意本题是问的点与点之间可连接的线段数，不要只算对角线的条数．

3、（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；

（2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案．

【详解】

解：（1）如图所示：①②③都是轴对称图形；

（2）如图所示：④⑤都是中心对称图形．

．

【点睛】

此题主要考查了利用轴对称设计图案、利用旋转设计图案，正确掌握相关定义是解题关键．

4、（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）先证明四边形是平行四边形，结合，从而可得结论；

（2）先证明，再求解 证明证明从而可得结论.

【详解】

（1）证明：四边形是平行四边形，

．即

，，

四边形是平行四边形．

，

，

四边形是矩形；

（2）四边形是平行四边形，

，

．

四边形是矩形；

在中，由勾股定理，得，

，

，

，

即平分．

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，角平分线的定义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定，证明四边形是平行四边形是解（1）的关键，证明是解（2）的关键.

5、（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）先证明再证明从而可得结论；

（2）证明是等边三角形，再分别求解 从而可得答案.

【详解】

证明（1） 平行四边形ABCD中，，

点E、F分别是BC、AD的中点，

（2） ，

是等边三角形，

四边形是平行四边形，

而

，

所以等于的2倍的角有：

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，平行四边形的性质，证明“是等边三角形”是解（2）的关键.