初中数学北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试综合训练题

京改版八年级数学下册第十五章四边形专项攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，且满足，则这个四边形是（    ）

A．任意四边形 B．平行四边形 C．对角线相等的四边形 D．对角线垂直的四边形

2、下列说法中正确的是（    ）

A．从一个八边形的某个顶点出发共有8条对角线

B．已知C、D为线段AB上两点，若，则

C．“道路尽可能修直一点”，这是因为“两点确定一条直线”

D．用两个钉子把木条固定在墙上，用数学的知识解释是“两点之间线段最短”

3、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

4、如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ）

A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD

C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC

5、如图，点E是△ABC内一点，∠AEB＝90°，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，点F是边BC的中点．若AB＝6，EF＝1，则线段AC的长为（　　）

A．7 B． C．8 D．9

6、下列图形中，是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

7、下列各APP标识的图案是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

8、如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为（　　）

A．180° B．360°

C．540° D．不能确定

9、如图，已知是平分线上的一点，，，是的中点，，如果是上一个动点，则的最小值为（       ）

A． B． C． D．

10、在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BN、CM为高，P为BC的中点，连接MN、MP、NP，则结论：①NP＝MP；②AN：AB＝AM：AC；③BN＝2AN；④当∠ABC＝60°时，MN∥BC，一定正确的有（    ）

A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①④

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、若一个多边形的内角和是外角和的倍，则它的边数是_______．

2、一个多边形的内角和为1080°，则它是______边形．

3、如图，将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．若AF＝5，BF＝3，则AC的长为 _____．

4、如图是中国古代建筑中的一个正六边形的窗户，则它的内角和为 _____．

5、在平面直角坐标系中，与点(2，-7)关于y轴对称的点的坐标为____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在矩形中，为对角线．

（1）用尺规完成以下作图：在上找一点，使，连接，作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）在（1）所作的图形中，若，求的度数．

2、如图，□ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF．求证：AF＝EC．

3、在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，过点D作DE⊥AB，交BC于点E，连接AE，取AE的中点P，连接DP，CP．

（1）观察猜想：  如图（1），DP与CP之间的数量关系是 　   ，DP与CP之间的位置关系是 　   ．

（2）类比探究： 将图（1）中的△BDE绕点B逆时针旋转45°，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请就图（2）的情形给出证明；若不成立，请说明理由．

（3）问题解决： 若BC＝3BD＝3，  将图（1）中的△BDE绕点B在平面内自由旋转，当BE⊥AB时，请直接写出线段CP的长．

4、如图，把矩形纸片放入直角坐标系中，使分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接，且．

（1）求所在直线的解析式；

（2）将纸片折叠，使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积；

（3）若过一定点M的任意一条直线总能把矩形的面积分为相等的两部分，则点M的坐标为________．

5、如图，一次函数y=－ x＋3的图像分别与x轴、y轴交于点A，B，以线段AB为边在第一象限内作等腰直角三角形ABC，∠BAC=90°，

（1）求过B，C两点的直线的解析式．

（2）作正方形ABDC，求点D的坐标．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据完全平方公式分解因式得到a=b，c=d，利用边的位置关系得到该四边形的形状．

【详解】

解：，

，

，

，

∴a=b，c=d，

∵四边形四条边长分别是a，b，c，d，其中a，b为对边，

∴c、d是对边，

∴该四边形是平行四边形，

故选：B．

【点睛】

此题考查了完全平方公式分解因式，平行四边形的判定方法，熟练掌握完全平方公式分解因式是解题的关键．

2、B

【分析】

根据n边形的某个顶点出发共有（n-3）条对角线即可判断A；根据线段的和差即可判断B；根据两点之间，线段最短即可判断C；根据两点确定一条直线即可判断D．

【详解】

解：A、从一个八边形的某个顶点出发共有5条对角线，说法错误，不符合题意；

B、已知C、D为线段AB上两点，若AC=BD，则AD=BC，说法正确，符合题意；

C、“道路尽可能修直一点”，这是因为“两点之间，线段最短”，说法错误，不符合题意；

D、用两个钉子把木条固定在墙上，用数学的知识解释是“两点确定一条直线”，说法错误，不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题主要考查了多边形对角线问题，线段的和差，两点之间，线段最短，两点确定一条直线等等，熟知相关知识是解题的关键．

3、B

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）是解题关键．

4、D

【分析】

由矩形的四个角是直角可判断A，由菱形的对角线互相垂直可判断B，由正方形的对角线相等可判断C，由菱形的四条边相等可判断D，从而可得答案.

【详解】

解：当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°，正确，故A不符合题意；

当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD，正确，故B不符合题意；

当▱ABCD是正方形时，AC＝BD，正确，故C不符合题意；

当▱ABCD是菱形时，AB＝BC，故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键.

5、C

【分析】

根据直角三角形的性质求出DE，由EF=1，得到DF，再根据三角形中位线定理即可求出线段AC的长．

【详解】

解：∵∠AEB＝90，D是边AB的中点，AB＝6，

∴DE＝AB＝3，

∵EF＝1，

∴DF＝DE+EF＝3+1＝4．

∵D是边AB的中点，点F是边BC的中点，

∴DF是ABC的中位线，

∴AC＝2DF＝8．

故选：C．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，三角形中位线定理，求出DF的长是解题的关键．

6、B

【分析】

根据中心对称图形的定义求解即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、是中心对称图形，符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意．

故选：B．

【点睛】

此题考查了中心对称图形，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．

7、C

【分析】

根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【详解】

A、图形关于中心旋转180°不能完全重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、图形关于中心旋转180°不能完全重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、图形关于中心旋转180°能完全重合，所以是中心对称图形，故本选项符合题意；

D、图形关于中心旋转180°不能完全重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

8、B

【分析】

设BE与DF交于点M，BE与AC交于点N，根据三角形的外角性质，可得 ，再根据四边形的内角和等于360°，即可求解．

【详解】

解：设BE与DF交于点M，BE与AC交于点N，

∵ ，

∴ ，

∵，

∴ ．

故选：B

【点睛】

本题主要考查了三角形的外角性质，多边形的内角和，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；四边形的内角和等于360°是解题的关键．

9、C

【分析】

根据题意由角平分线先得到是含有角的直角三角形，结合直角三角形斜边上中线的性质进而得到OP，DP的值，再根据角平分线的性质以及垂线段最短等相关内容即可得到PC的最小值．

【详解】

解：∵点P是∠AOB平分线上的一点，，

∴，

∵PD⊥OA，M是OP的中点，

∴，

∴

∵点C是OB上一个动点

∴当时，PC的值最小，

∵OP平分∠AOB，PD⊥OA，

∴最小值，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了角平分线的性质、含有角的直角三角形的选择，直角三角形斜边上中线的性质、垂线段最短等相关内容，熟练掌握相关性质定理是解决本题的关键．

10、C

【分析】

利用直角三角形斜边上的中线的性质即可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正确．

【详解】

∵CM、BN分别是高

∴△CMB、△BNC均是直角三角形

∵点P是BC的中点

∴PM、PN分别是两个直角三角形斜边BC上的中线

∴

故①正确

∵∠BAC=60゜

∴∠ABN=∠ACM=90゜−∠BAC=30゜

∴AB=2AN，AC=2AM

∴AN：AB=AM：AC=1：2

即②正确

在Rt△ABN中，由勾股定理得：

故③错误

当∠ABC=60゜时，△ABC是等边三角形

∵CM⊥AB，BN⊥AC

∴M、N分别是AB、AC的中点

∴MN是△ABC的中位线

∴MN∥BC

故④正确

即正确的结论有①②④

故选：C

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键．

二、填空题

1、

【分析】

根据多边形的内角和公式（n−2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．

【详解】

解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n−2）•180°＝2×360°，
解得n＝6．
答：这个多边形的边数是6．
故答案为：6．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．

2、八

【分析】

根据多边形的内角和公式求解即可．n边形的内角的和等于： (n大于等于3且n为整数）．

【详解】

解：设该多边形的边数为n，

根据题意，得，

解得，

∴这个多边形为八边形，

故答案为：八．

【点睛】

此题考查了多边形的内角和，解题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式．

3、

【分析】

根据矩形的性质得到∠B＝90°，根据勾股定理得到，根据折叠的性质得到CF＝AF＝5，根据勾股定理即可得到结论．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B＝90°，

∵AF＝5，BF＝3，

∴，

∵将矩形ABCD折叠，使点C与点A重合，折痕为EF．

∴CF＝AF＝5，

∴BC＝BF+CF＝8，

∴，

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了矩形与折叠问题，勾股定理，解题的关键在于能够熟练掌握折叠的性质．

4、720°720度

【分析】

根据多边形内角和可直接进行求解．

【详解】

解：由题意得：该正六边形的内角和为；

故答案为720°．

【点睛】

本题主要考查多边形内角和，熟练掌握多边形内角和公式是解题的关键．

5、（-2，-7）

【分析】

根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．

【详解】

解：点（2，-7）关于y轴对称的点的坐标是（-2，-7）．

故答案为：（-2，-7）．

【点睛】

解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

三、解答题

1、（1）图形见解析；（2）

【分析】

（1）利用尺规根据题意即可完成作图；
（2）结合（1）根据等腰三角形的性质和三角形外角定理可得的度数．

【详解】

（1）如图，点E和点F即为所求；

 

（2）∵，∠ABD=68°，
∴∠AEB=∠AEB=68°

∴∠EAB=180°-68°-68°=44°，
∴∠EAD=90°-44°=46°，
∵AF平分∠DAE，
∴∠FAE=∠DAE=23°，
∴

【点睛】

题考查了尺规作图-作角平分线，矩形的性质，熟练掌握5种基本作图是解决此类问题的关键．

2、证明见解析

【分析】

先证明再证明可得四边形是平行四边形，于是可得结论.

【详解】

解： □ABCD，

BE＝DF，

∴AE=CF，AE//CF

四边形是平行四边形，

【点睛】

本题考查的是平行四边形的判定与性质，掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”是解本题的关键.

3、（1）PD＝PC，PD⊥PC；（2）成立，见解析；（3）2或4

【分析】

（1）根据直角三角形斜边中线的性质，可得，根据角之间的关系即可，即可求解；

（2）过点P作PT⊥AB交BC的延长线于T，交AC于点O，根据全等三角形的判定与性质求解即可；

（3）分两种情况，当点E在BC的上方时和当点E在BC的下方时，过点P作PQ⊥BC于Q，利用等腰直角三角形的性质求得，即可求解．

【详解】

解：（1）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴，

∵，

∴，

∵点P为AE的中点，

∴，

∴，，

∴，

∴

故答案为：，．

（2）结论成立．理由如下：

过点P作PT⊥AB交BC的延长线于T，交AC于点O．

则

∴，

∴，，

由勾股定理可得：

∴

∴

∴

∵点P为AE的中点，

∴

∴

在中，，

∴，

∴

∴

∴，

∴

∴，

∴．

（3）如图3﹣1中，当点E在BC的上方时，过点P作PQ⊥BC于Q．

则，

∴

∵

∴

由（2）可得，，，∴为等腰直角三角形

∴

∴

由勾股定理得，

如图3﹣2中，当点E在BC的下方时，同法可得PC＝PD＝2．

综上所述，PC的长为4或2．

【点睛】

此题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，做辅助线，构造出全等三角形．

4、（1）；（2）10；（3）（4，2）．

【分析】

（1）首先根据勾股定理求出OC=4，OA=8，然后利用待定系数法求解所在直线的解析式即可；

（2）首先由折叠的性质得到AE=CE，然后在Rt△OCE中，根据勾股定理求出AE=CE=5，然后根据等腰三角形的性质求出CF=CE=5，最后根据三角形面积公式求解即可；

（3）根据矩形的中心对称性质可得点M为矩形ABCD对角线的交点，然后根据中点坐标公式求解即可．

【详解】

解：（1）∵OA=2CO，

设OC=x，则OA=2x

在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC2+OA2=AC2，

∴x2+（2x）2=（4）2

解得x=4（x=﹣4舍去）

∴OC=4，OA=8

∴A（8，0），C（0，4）

设直线AC解析式为y=kx+b，

∴，解得，

∴直线AC解析式为y=﹣x+4；

（2）由折叠得AE=CE，

设AE=CE=y，则OE=8﹣y，

在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE2+OC2=CE2，

∴（8﹣y）2+42=y2

解得y=5

∴AE=CE=5

在矩形OABC中，

∵BCOA，

∴∠CFE=∠AEF，

由折叠得∠AEF=∠CEF，

∴∠CFE=∠CEF

∴CF=CE=5

∴S△CEF=CF•OC=×5×4=10

即重叠部分的面积为10；

（3）∵矩形是一个中心对称图形，对称中心是对角线的交点，

∴任何一个经过对角线交点的直线都把矩形的面积平分，

所以点M即为矩形ABCD对角线的交点，即M点为AC的中点，

∵A（8，0），C（0，4），

∴M点坐标为（4，2）．

【点睛】

此题考查了矩形的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数表达式等知识，，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数表达式．

5、（1），（2）(3，7)

【分析】

（1）先根据一次函数的解析式求出A、B两点的坐标，再作CE⊥x轴于点E，由全等三角形的判定定理可得出△ABO≌△CAE，由全等三角形的性质可知OA=CE，故可得出C点坐标，再用待定系数法即可求出直线BC的解析式；

（2）由正方形的性质以及△ABO≌△CAE，同理可得△ABO≌△BDM，进而可得点D的坐标．

【详解】

（1）∵一次函数y=-x+3中，

令x=0得：y=3，令y=0，解得x=4，

∴B的坐标是(0，3)，A的坐标是(4，0)，

如图，作CE⊥x轴于点E，

∵∠BAC=90°，

∴∠OAB+∠CAE=90°，

又∵∠CAE+∠ACE=90°，

∴∠ACE=∠BAO．

在△ABO与△CAE中，

，

∴△ABO≌△CAE(AAS)，

∴OB=AE=3，OA=CE=4，OE=OA+AE=7，

则点C的坐标是(7，4)，

设直线BC的解析式是y=kx+b(k≠0)，

根据题意得：，

解得，

∴直线BC的解析式是y=x+3．

（2）如图，作DM⊥y轴于点M，

∵四边形ABDC为正方形，由（1）知△ABO≌△CAE，

同理可得：△ABO≌△BDM，

∴DM=OB=3，BM=OA=4，OM=OB+BM=7，

则点D的坐标是(3，7)．

【点睛】

本题考查的是一次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数的解析式、全等三角形的判定与性质，正方形的性质，解题的关键是根据题意作出辅助线，构造出全等三角形．