初中数学北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试课后测评

京改版八年级数学下册第十五章四边形专题攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（　　）

A．2 B．4 C．4或 D．2或

2、下面图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3、下列图形中不是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

4、下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

5、下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

6、下列图形中，是中心对称图形的是（   ）

A． B． C． D．

7、下列图形中，是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

8、下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

9、下列说法中正确的是（    ）

A．从一个八边形的某个顶点出发共有8条对角线

B．已知C、D为线段AB上两点，若，则

C．“道路尽可能修直一点”，这是因为“两点确定一条直线”

D．用两个钉子把木条固定在墙上，用数学的知识解释是“两点之间线段最短”

10、如图，M、N分别是正五边形ABCDE的边BC、CD上的点，且BM=CN，AM交BN于点P，则∠APN的度数是（   ）

A．120° B．118° C．110° D．108°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，的度数为_______．

2、一个多边形的内角和是它的外角和的两倍，则这个多边形的边数为 ___．

3、一个凸边形的边数与对角线条数的和小于20，且能被5整除，则______．

4、平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A(－3，0)，B(0，2)，C(3，0)，D(0，－2)，则四边形ABCD是__________．

5、已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在△ABC中，，，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且，连接DE，过点A作于M．

（1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明；

（2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得成立，并证明．

2、如图，在中，，D是边上的一点，过D作交于点E，，连接交于点F．

（1）求证：是的垂直平分线；

（2）若点D为的中点，且，求的长．

3、如图，在中，AD＞AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EFAB交BC于点E．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB=5，AE=6，的面积为36，求DF的长．

4、如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥BF，BE＝BF，EF与BC交于点G．

（1）求证：AE＝CF；

（2）若∠ABE＝62°，求∠GFC+∠BCF的值．

5、如图，□ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF．求证：AF＝EC．

-参考答案-

一、单选题

1、D

【分析】

根据题意可知当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．

【详解】

解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA=PB时，△APE≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴BP=AE=6cm，AP=4cm，
∴BQ=AP=4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，
∴v的值为：4÷2=2cm/s；
②当AP=BP时，△AEP≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，
∵5÷2=2.5s，
∴2.5v=6，
∴v=．
故选：D．

【点睛】

本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

2、D

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

A．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意；

D．既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项符合题意．

故选：D．

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则此图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；如果一个图形绕某一固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，固定的点叫对称中心；理解两个概念是解答本题的关键．

3、B

【分析】

根据中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A、是中心对称图形，故本选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项符合题意；

C、是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

4、A

【分析】

把一个图形绕某点旋转后能与自身重合，则这个图形是中心对称图形，根据中心对称图形的定义逐一判断即可.

【详解】

解：选项A中的图形是中心对称图形，故A符合题意；

选项B中的图形不是中心对称图形，故B不符合题意；

选项C中的图形不是中心对称图形，故C不符合题意；

选项D中的图形不是中心对称图形，故D不符合题意；

故选A

【点睛】

本题考查的是中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解本题的关键.

5、B

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解

【详解】

第一个图形是中心对称图形，又是轴对称图形，

第二个图形是中心对称图形，又是轴对称图形，

第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，

第四个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，

综上所述第一个和第二个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．

故选：B．

【点睛】

点睛本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

6、B

【分析】

根据中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【详解】

选项、、均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形，

选项能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形，

故选：．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

7、B

【分析】

根据中心对称图形的定义求解即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，不符合题意；

B、是中心对称图形，符合题意；

C、不是中心对称图形，不符合题意；

D、不是中心对称图形，不符合题意．

故选：B．

【点睛】

此题考查了中心对称图形，解题的关键是熟练掌握中心对称图形的定义．中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．

8、A

【分析】

中心对称图形是指绕一点旋转180°后得到的图形与原图形能够完全重合的图形，由此判断即可．

【详解】

解：根据中心对称图形的定义，可知A选项的图形为中心对称图形，

故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的基本定义是解题关键．

9、B

【分析】

根据n边形的某个顶点出发共有（n-3）条对角线即可判断A；根据线段的和差即可判断B；根据两点之间，线段最短即可判断C；根据两点确定一条直线即可判断D．

【详解】

解：A、从一个八边形的某个顶点出发共有5条对角线，说法错误，不符合题意；

B、已知C、D为线段AB上两点，若AC=BD，则AD=BC，说法正确，符合题意；

C、“道路尽可能修直一点”，这是因为“两点之间，线段最短”，说法错误，不符合题意；

D、用两个钉子把木条固定在墙上，用数学的知识解释是“两点确定一条直线”，说法错误，不符合题意；

故选B．

【点睛】

本题主要考查了多边形对角线问题，线段的和差，两点之间，线段最短，两点确定一条直线等等，熟知相关知识是解题的关键．

10、D

【分析】

由五边形的性质得出AB=BC，∠ABM=∠C，证明△ABM≌△BCN，得出∠BAM=∠CBN，由∠BAM+∠ABP=∠APN，即可得出∠APN=∠ABC，即可得出结果．

【详解】

解：∵五边形ABCDE为正五边形，
∴AB=BC，∠ABM=∠C，
在△ABM和△BCN中
，
∴△ABM≌△BCN（SAS），
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠BAM+∠ABP=∠APN，
∴∠CBN+∠ABP=∠APN=∠ABC=
∴∠APN的度数为108°；
故选：D．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定与性质、多边形的内角和定理；熟练掌握五边形的形状，证明三角形全等是解决问题的关键．

二、填空题

1、

【分析】

根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

【详解】

解：如图，

∵∠1=∠D+∠F，∠2=∠A+∠E，∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：．

【点睛】

本题考查了四边形的内角和，三角形的外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．

2、6

【分析】

根据内角和等于外角和的2倍则内角和是720°利用多边形内角和公式得到关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．

【详解】

解：根据题意，得

（n﹣2）•180＝360×2，

解得：n＝6．

故这个多边形的边数为6．

故答案为：6．

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．

3、5或6

【分析】

先把多边形的边数与对角线的条数之和因式分解，列不等式得出，两个连续整式的积小于40根据能被5整除，当n=5，能被5整除，当n-1=5，n=6，能被5整除即可 ．

【详解】

解：＜20，

∴，

∵能被5整除，

当n=5，能被5整除，

当n-1=5，n=6，能被5整除，

故答案为5或6．

【点睛】

本题考查因式分解，熟记n边形对角线条数的公式，列不等式，根据条件进行讨论是解题关键．

4、菱形

【分析】

先在坐标系中画出四边形ABCD，由A、B、C、D的坐标即可得到OA=OC=3，OB=OD=2，再由AC⊥BD，即可得到答案．

【详解】

解：图象如图所示：

∵A（-3，0）、B（0，2）、C（3，0）、D（0，-2），

∴OA=OC=3，OB=OD=2，

∴四边形ABCD为平行四边形，

∵AC⊥BD，

∴四边形ABCD为菱形，

故答案为：菱形．

【点睛】

本题主要考查了菱形的判定，坐标与图形，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的判定条件．

5、5

【分析】

直角三角形中，斜边长为斜边中线长的2倍，所以求斜边上中线的长求斜边长即可．

【详解】

解：在直角三角形中，两直角边长分别为6和8，

则斜边长＝＝10，

∴斜边中线长为×10＝5，

故答案为 5．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，根据勾股定理求得斜边长是解题的关键．

三、解答题

1、（1）DM=ME，见解析；（2），见解析

【分析】

（1）补全图形，连接AE、AD，通过∠ABE=∠ACD，AB=AC，BE=CD，证明 △ABE ≌ △ACD，得AE=AD，再利用AM⊥DE于M，即可得到DM=EM．

（2）连接AD，AE，BM ，可求出，当时，可得，由（1）得DM=EM，可知BM是△CDE的中位线从而得到，BM∥CD，得到∠ABM=135°=∠ABE．因为N为BE中点，可知从而证明△ABN ≌ △ABM得到AN=AM，由（1），△ABE ≌ △ACD，可证明∠EAB=∠DAC，AD=AE进而得到∠EAD=90°，又因为DM=EM，即可得到．

【详解】

（1）补全图形如下图，

DM与ME之间的数量关系为DM=ME．          

证明：连接AE，AD，

∵ ∠BAC=90°，AB=AC，

∴ ∠ABC=∠ACB=45°．

∴ ∠ABE=180°-∠ABC=135°．

∵ 由旋转，∠BCD=90°，

∴ ∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°．

∴ ∠ABE=∠ACD．

∵ AB=AC，BE=CD，

∴ △ABE ≌ △ACD．       

∴ AE=AD．

∵ AM⊥DE于M，

∴ DM=EM．                              

（2）                                   

证明：连接AD，AE，BM．

∵ AB=AC=1，∠BAC=90°，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∵ 由（1）得DM=EM，

∴ BM是△CDE的中位线． 

∴ ，BM∥CD．

∴ ∠EBM=∠ECD=90°．

∵ ∠ABE=135°，

∴ ∠ABM=135°=∠ABE．

∵ N为BE中点，

∴ ．

∴ BM=BN． 

∵ AB=AB，

∴ △ABN ≌ △ABM．

∴ AN=AM．

∵ 由（1），△ABE ≌ △ACD，

∴ ∠EAB=∠DAC，AD=AE．

∵ ∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°，

∴ ∠EAD=90°．

∵ DM=EM，

∴ ．

∴ ．                            

【点睛】

本题考查了旋转的性质和三角形全等的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键．

2、（1）见解析；（2）6

【分析】

（1）由BC=BD，可得∠BCD=∠BDC，再由及，可得∠ECD=∠EDC，则有EC=ED，从而可得点B、E在线段CD的垂直平分线上，从而可得结论；

（2）由D点是AB的中点及BC=BD，可得△BDC是等边三角形，从而由30度的直角三角形的性质可分别求得EC、BE，由AE=BE，即可求得AC的长．

【详解】

（1）∵BC=BD

∴∠BCD=∠BDC，点B在线段CD的垂直平分线上

∵，

∴∠BCD+∠ECD=∠EDC+∠BDC

∴∠ECD=∠EDC

∴EC=ED

∴点E在线段CD的垂直平分线上

∴BE是线段CD的垂直平分线

（2）D点是AB的中点，∠ACB=90゜

∴CD是Rt△ABC斜边上的中线

∴CD=BD

∴CD=BC=BD

∴△BDC是等边三角形

∴∠BCD=∠DBC=60゜

∴∠ECF=90゜－60゜=30゜

由（1）知，BF⊥CD

∴EC=2EF=2，

∴BE=2EC=4

∵DE⊥AB，点D为AB的中点

∴AE=BE=4

∴AC=AE+EC=4+2=6

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，直角三角形斜边上的中线的性质，30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定与性质；题目虽不难，但涉及的知识点比较多，灵活运用这些知识是解题的关键．

3、（1）见解析；（2）2.5．

【分析】

（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质说明∠ABF=∠AFB、可得AB=AF，同理可得AB=AF，再由AF∥BE可得四边形ABEF是菱形；

（2）过A作AH⊥BE垂足为E，根据菱形的性质可得AO=EO、BO=FO，AF=EF=AB=5，AE⊥BF，利用勾股定理可得AO的长，进而可得AE长，利用菱形的面积公式计算出AH的长，然后根据ABCD的面积公式求出AD,最后根据线段的和差即可解答．

【详解】

（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，即AF//BE

∴∠FBE=∠AFB，

∵∠ABC的平分线交AD于点F，

∴∠ABF=∠EBF，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

又∵AB//EF，AF//BE

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AB=AF，

∴四边形ABEF是菱形；

（2）如图：过A作AH⊥BE垂足为H，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO=EO，BO=FO，AF=AB=5，AE⊥BF，

∵AE=6，

∴AO=3，

∴BO=

∴BF=8，

∴S菱形ABEF=AE·BF=×8×6=24，

∴BE·AH=24，

∴AH=;

∵S平行四边形ABCD=BC·AH=36，

∴BC=

∵平行四边形ABCD

∴AD=BC=

∴FD=AD-AF=-5=2.5．

．

【点睛】

本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及面积的问题，灵活利用菱形的判定与性质、平行四边形的性质成为解答本题的关键．

4、（1）证明见解析；（2）73°．

【分析】

（1）根据正方形的性质及各角之间的关系可得：，由全等三角形的判定定理可得，再根据其性质即可得证；

（2）根据垂直及等腰三角形的性质可得，再由三角形的外角的性质可得，由此计算即可．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

∵，

∴，

∵°，，

∴，

在和中，

，

∴，

∴；

（2）解：∵BE⊥BF，

∴，

又∵，

∴，

∵四边形ABCD是正方形，

∴，

∵，

∴，

∴．

∴的值为．

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定和性质，正方形的性质，三角形的外角性质，理解题意，熟练运用各个定理性质是解题关键．

5、证明见解析

【分析】

先证明再证明可得四边形是平行四边形，于是可得结论.

【详解】

解： □ABCD，

BE＝DF，

∴AE=CF，AE//CF

四边形是平行四边形，

【点睛】

本题考查的是平行四边形的判定与性质，掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”是解本题的关键.