初中数学第十五章 四边形综合与测试一课一练

这是一份初中数学第十五章 四边形综合与测试一课一练，共31页。试卷主要包含了下列说法中正确的是，下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
京改版八年级数学下册第十五章四边形必考点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所形成的新四边形是（　　）
A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．三角形
2、下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）
A．1：2：3：4 B．1：4：2：3
C．1：2：2：1 D．3：2：3：2
3、平面直角坐标系内与点P关于原点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4、如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（ ）

A．A，B，C都不在 B．只有B
C．只有A，C D．A，B，C
5、下列说法中正确的是（ ）
A．从一个八边形的某个顶点出发共有8条对角线
B．已知C、D为线段AB上两点，若，则
C．“道路尽可能修直一点”，这是因为“两点确定一条直线”
D．用两个钉子把木条固定在墙上，用数学的知识解释是“两点之间线段最短”
6、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若D为斜边AB上的中点，AB的长为10，则DC的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
7、下列说法中，正确的是（ ）
A．若，，则
B．90′＝1.5°
C．过六边形的每一个顶点有4条对角线
D．疫情防控期间，要掌握进入校园人员的体温是否正常，可采用抽样调查
8、如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是（ ）

A．1 B．1.5 C．2 D．4
9、如图，菱形中，，．以为圆心，长为半径画，点为菱形内一点，连，，．若，且，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．
10、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，M，N分别是矩形ABCD的边AD，AB上的点，将矩形ABCD沿MN折叠，使点A恰好落在边BC上的点E处，连接MC，若AB＝8，AD＝16，BE＝4，则MC的长为________．

2、如图，正方形ABCD的边长为做正方形，使A，B，C，D是正方形各边的中点；做正方形，使是正方形各边的中点……以此类推，则正方形的边长为__________．


3、如图，将长方形ABCD按图中方式折叠，其中EF、EC为折痕，折叠后、、E在一直线上，已知∠BEC＝65°，那么∠AEF的度数是_____．

4、如图，在矩形中，，，点是线段上的一点（不与点，重合），将△沿折叠，使得点落在处，当△为等腰三角形时，的长为___________．

5、在矩形ABCD中，点E在AD边上，△BCE是以BE为一腰的等腰三角形，若AB＝4，BC＝5，则线段DE的长为 _____．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，已知△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F是BC的中点，求证：BD＝2EF．

2、如图，的对角线与相交于点O，过点B作BPAC，过点C作CPBD，与相交于点P．

（1）试判断四边形的形状，并说明理由；
（2）若将改为矩形，且，其他条件不变，求四边形的面积；
（3）要得到矩形，应满足的条件是_________（填上一个即可）．
3、如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝90°．
（1）尺规作图：在BC上截取CE，使CE＝CD，连接DE与AC交于点F，过点F作线段AD的垂线交AD于点M；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，猜想线段FM和CF的数量关系，并证明你的结论．

4、如图，在中，AD＞AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EFAB交BC于点E．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；
（2）若AB=5，AE=6，的面积为36，求DF的长．
5、如图1，在平面直角坐标系中，且；

（1）试说明是等腰三角形；
（2）已知．写出各点的坐标：A( ， )，B( ， )，C( ， )．
（3）在（2）的条件下，若一动点M从点B出发沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．
①若的一条边与BC平行，求此时点M的坐标；
②若点E是边AC的中点，在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时点Ｍ的坐标；若不能，请说明理由．

-参考答案-
一、单选题
1、B
【分析】
先画出图形，再根据三角形中位线定理得到所得四边形的对边平行且相等，那么其必为平行四边形，然后根据邻边互相垂直得出四边形是矩形．
【详解】
解：如图，∵、、、分别是、、、的中点，
∴，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形，
又与不一定相等，
与不一定相等，
矩形不一定是正方形，
故选：B．

【点睛】
本题考查了三角形中位线定理、矩形的判定等知识点，熟练掌握三角形中位线定理是解题关键．
2、D
【分析】
两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．
【详解】
解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．
故选：D．
【点睛】
本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．
3、C
【分析】
根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数求解即可．
【详解】
解：由题意，得
点P（-2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，-3），
故选：C．
【点睛】
本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．
4、D
【分析】
根据三角形边长然后利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，由直角三角形斜边上的中线性质即可得．
【详解】
解：如图所示：连接BD，

∵，，，
∴，
∴为直角三角形，
∵D为AC中点，
∴，
∵覆盖半径为300 ，
∴A、B、C三个点都被覆盖，
故选：D．
【点睛】
题目主要考查勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，综合运用两个定理是解题关键．
5、B
【分析】
根据n边形的某个顶点出发共有（n-3）条对角线即可判断A；根据线段的和差即可判断B；根据两点之间，线段最短即可判断C；根据两点确定一条直线即可判断D．
【详解】
解：A、从一个八边形的某个顶点出发共有5条对角线，说法错误，不符合题意；
B、已知C、D为线段AB上两点，若AC=BD，则AD=BC，说法正确，符合题意；

C、“道路尽可能修直一点”，这是因为“两点之间，线段最短”，说法错误，不符合题意；
D、用两个钉子把木条固定在墙上，用数学的知识解释是“两点确定一条直线”，说法错误，不符合题意；
故选B．
【点睛】
本题主要考查了多边形对角线问题，线段的和差，两点之间，线段最短，两点确定一条直线等等，熟知相关知识是解题的关键．
6、A
【分析】
利用直角三角形斜边的中线的性质可得答案．
【详解】
解：∵∠C=90°，若D为斜边AB上的中点，
∴CD=AB，
∵AB的长为10，
∴DC=5，
故选：A．
【点睛】
此题主要考查了直角三角形斜边的中线，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．
7、B
【分析】
由等式的基本性质可判断A，由 可判断B，由过边形的一个顶点可作条对角线可判断C，由全面调查与抽样调查的含义可判断D，从而可得答案.
【详解】
解：若，则故A不符合题意；
90′＝故B符合题意；
过六边形的每一个顶点有3条对角线，故C不符合题意；
疫情防控期间，要掌握进入校园人员的体温是否正常，事关重大，一定采用全面调查，故D不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查的是等式的基本性质，角度的换算，多边形的对角线问题，全面调查与抽样调查的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键.
8、C
【分析】
取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．
【详解】
解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．

∵AC=BC=8，∠BCA=60°，
∴△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD=CG=AB=4，∠ACD=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠FCD=∠ECG，
在△FCD和△ECG中，
，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF=GE．
当EG∥BC时，EG最小，
∵点G为AC的中点，
∴此时EG=DF=CD=BC=2．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF=GE，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．
9、C
【分析】
过点P作交于点M，由菱形得，，由，得，，故可得，，根据SAS证明，求出，即可求出．
【详解】

如图，过点P作交于点M，
∵四边形ABCD是菱形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
在与中，
，
∴，
∴，
在中，，
∴，
，即，
解得：，
∴．
故选：C．
【点睛】
此题主要考查了菱形的性质以及求不规则图形的面积等知识，掌握扇形的面积公式是解答此题的关键．
10、C
【分析】
利用中心对称图形的定义：旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．
【详解】
解：A、不是中心对称图形，故A错误．
B、不是中心对称图形，故B错误．
C、是中心对称图形，故C正确．
D、不是中心对称图形，故D错误．
故选：C．
【点睛】
本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．
二、填空题
1、10
【分析】
过E作EF⊥AD于F，根据矩形ABCD沿MN折叠，使点A恰好落在边BC上的点E处，得出△ANM≌△ENM，可得AM=EM，根据矩形ABCD，得出∠B=∠A=∠D=90°，再证四边形ABEF为矩形，得出AF=BE=4，FE=AB=8，设AM=EM=m，FM=m-4，根据勾股定理，即，解方程m=10即可．
【详解】
解：过E作EF⊥AD于F，
∵矩形ABCD沿MN折叠，使点A恰好落在边BC上的点E处，
∴△ANM≌△ENM，
∴AM=EM，
∵矩形ABCD，
∴∠B=∠A=∠D=90°，
∵FE⊥AD，
∴∠AFE=∠B=∠A=90°，
∴四边形ABEF为矩形，
∴AF=BE=4，FE=AB=8，
设AM=EM=m，FM=m-4

在Rt△FEM中，根据勾股定理，即，
解得m=10，
∴MD=AD-AM=16-10=6，
在Rt△MDC中，
∴MC=．
故答案为10．
【点睛】
本题考查折叠轴对称性质，矩形判定与性质，勾股定理，掌握折叠轴对称性质，矩形判定与性质，勾股定理是解题关键．
2、
【分析】
利用正方形ABCD的及勾股定理，求出的长，再根据勾股定理求出和的长，找出规律，即可得出正方形的边长．
【详解】
解：∵A，B，C，D是正方形各边的中点
∴，
∵正方形ABCD的边长为，即AB=，
∴，解得：，
∴==2，
同理==2，
==4 …，
∴，
∴=，
∴的边长为
故答案为：．
【点睛】
本题考查了正方形性质、勾股定理的应用，解此题的关键是能根据计算结果得出规律，本题具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
3、25°
【分析】
利用翻折变换的性质即可解决．
【详解】
解：由折叠可知，∠EF＝∠AEF，∠EC＝∠BEC＝65°，
∵∠EF+∠AEF+∠EC+∠BEC＝180°，
∴∠EF+∠AEF＝50°，
∴∠AEF＝25°，
故答案为：25°．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．
4、或
【分析】
根据题意分，，三种情况讨论，构造直角三角形，利用勾股定理解决问题．
【详解】
解：∵四边形是矩形
∴，
∵将△沿折叠，使得点落在处，
∴
，，
设，则
①当时，如图

过点作，则四边形为矩形

，
在中


在中

即
解得

②当时，如图，设交于点，

设

垂直平分


在中
即
在中，
即
联立，解得

③当时，如图，

又
垂直平分

垂直平分
此时重合，不符合题意
综上所述，或
故答案为：或
【点睛】
本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，分类讨论是解题的关键．
5、2.5或2．
【分析】
需要分类讨论：①BE1＝E1C，此时点E1是BC的中垂线与AD的交点；②BE＝BC，在直角△ABE中，利用勾股定理求得AE的长度，然后求得DE的长度即可．
【详解】
解：①当BE1＝E1C时，点E1是BC的中垂线与AD的交点，；
②当BC＝BE＝5时，在直角△ABE中，AB＝4，则，
∴．
综上所述，线段DE的长为2.5或2．
故答案是：2.5或2．

【点睛】
本题考查矩形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，在此题中，没有确定等腰三角形的底边，所以需要分类讨论，以防漏解．
三、解答题
1、见解析．
【分析】
先证明 再证明EF是△CDB的中位线，从而可得结论.
【详解】
证明：∵AD＝AC，AE⊥CD
∴CE＝ED
∵F是BC的中点
∴EF是△CDB的中位线
∴BD＝2EF
【点睛】
本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是解题的关键.
2、（1）平行四边形，理由见解析；（2）四边形的面积为24；（3）AB=BC或AC⊥BD等（答案不唯一）
【分析】
（1）利用平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可证明．
（2）利用矩形的性质，得到对角线互相平分，进而证明四边形是菱形，分别求出菱形的对角线长度，利用对角线乘积的一半，求解面积即可．
（3）添加的条件只要可以证明即可得到矩形．
【详解】
解：（1）四边形BPCO是平行四边形，


∵BP∥AC，CP∥BD，
∴四边形BPCO是平行四边形．
（2）连接OP．
∵四边形ABCD是矩形，
∴OB=BD，OC=AC，AC=BD，∠ABC=90°，
∴OB=OC．
又四边形BPCO是平行四边形，
∴□BPCO是菱形．


∴OP⊥BC.
又∵AB⊥BC，
∴OP∥AB.
又∵AC∥BP，
四边形是平行四边形，
∴OP=AB=6.
∴S菱形BPCO=．
（3）AB=BC或AC⊥BD等（答案不唯一）．
当AB=BC时，为菱形，此时有：，利用含有的平行四边形为矩形，即可得到矩形，
当AC⊥BD时，利用含有的平行四边形为矩形，即可得到矩形．
【点睛】
本题主要是考查了平行四边形、矩形和菱形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质，是求解该类问题的关键．
3、（1）图形见解析；（2），证明见解析
【分析】
（1）以C为圆心CD长为半径画弧于BC交点即为E；连DE与AC交点即为F；过F作AD的垂直平分线与AD交点即为M；
（2）证明DF平分，再利用角平分线的性质判定即可．
【详解】
（1）图形如下：

（2），证明如下：
由（1）可得：,CE＝CD
∴
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AB∥CD
∴,
∴
即DF平分
∵∠BAC＝90°
∴
∴
【点睛】
本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．
4、（1）见解析；（2）2.5．
【分析】
（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质说明∠ABF=∠AFB、可得AB=AF，同理可得AB=AF，再由AF∥BE可得四边形ABEF是菱形；
（2）过A作AH⊥BE垂足为E，根据菱形的性质可得AO=EO、BO=FO，AF=EF=AB=5，AE⊥BF，利用勾股定理可得AO的长，进而可得AE长，利用菱形的面积公式计算出AH的长，然后根据ABCD的面积公式求出AD,最后根据线段的和差即可解答．
【详解】
（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，即AF//BE
∴∠FBE=∠AFB，
∵∠ABC的平分线交AD于点F，
∴∠ABF=∠EBF，
∴∠ABF=∠AFB，
∴AB=AF，
又∵AB//EF，AF//BE
∴四边形ABEF是平行四边形，
∵AB=AF，
∴四边形ABEF是菱形；
（2）如图：过A作AH⊥BE垂足为H，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO=EO，BO=FO，AF=AB=5，AE⊥BF，
∵AE=6，
∴AO=3，
∴BO=
∴BF=8，
∴S菱形ABEF=AE·BF=×8×6=24，
∴BE·AH=24，
∴AH=;
∵S平行四边形ABCD=BC·AH=36，
∴BC=
∵平行四边形ABCD
∴AD=BC=
∴FD=AD-AF=-5=2.5．
．
【点睛】
本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及面积的问题，灵活利用菱形的判定与性质、平行四边形的性质成为解答本题的关键．
5、（1）见解析；（2）12，0；-8，0；0，16；（3）①当M的坐标为（2，0）或（4，0）时，△OMN的一条边与BC平行；②当M的坐标为（0，10）或（12，0）或（，0）时，，△MOE是等腰三角形．

【分析】
（1）设，，，则，由勾股定理求出，即可得出结论；
（2）由的面积求出m的值，从而得到、、的长，即可得到A、B、C的坐标；
（3）①分当时，；当时，；得出方程，解方程即可；
②由直角三角形的性质得出，根据题意得出为等腰三角形，有3种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可．
【详解】
解：（1）证明：设，，，则，
在中，，
，
∴是等腰三角形；
（2）∵，，
∴，
∴，，，．
∴A点坐标为（12，0），B点坐标为（-8，0），C点坐标为（0，16），
故答案为：12，0；-8，0；0，16；
（3）①如图3-1所示，
当MN∥BC时，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵MN∥BC，
∴∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，
∴∠AMN=∠ANM，
∴AM=AN，
∴AM=BM，
∴M为AB的中点，
∵，
∴，
∴，
∴点M的坐标为（2，0）；

如图3-2所示，当ON∥BC时，
同理可得，
∴，
∴M点的坐标为（4，0）；
∴综上所述，当M的坐标为（2，0）或（4，0）时，△OMN的一条边与BC平行；

②如图3-3所示，当OM=OE时，
∵E是AC的中点，∠AOC=90°，，
∴，
∴此时M的坐标为（0，10）；

如图3-4所示，当时，
∴此时M点与A点重合，
∴M点的坐标为（12，0）；

如图3-5所示，当OM=ME时，过点E作EF⊥x轴于F，
∵OE=AE，EF⊥OA，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴M点的坐标为（，0）；
综上所述，当M的坐标为（0，10）或（12，0）或（，0）时，，△MOE是等腰三角形．

【点睛】
本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的直线，三角形面积等等，解题的关键在于能够利用数形结合和分类讨论的思想求解．