初中北京课改版第十五章 四边形综合与测试同步达标检测题

京改版八年级数学下册第十五章四边形重点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列命题是真命题的是（    ）

A．五边形的内角和是720° B．三角形的任意两边之和大于第三边

C．内错角相等 D．对角线互相垂直的四边形是菱形

2、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若D为斜边AB上的中点，AB的长为10，则DC的长为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

3、如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为（　　）

A． B． C．4.5 D．4.3

4、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

5、如图，已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点，且∠DAE=∠B=80º，那么∠CDE的度数为（    ）

A．20º B．25º C．30º D．35º

6、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（    ）

A．16 B．24 C．32 D．40

7、平行四边形中，，则的度数是（    ）

A． B． C． D．

8、如图菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝8，AC＝6，则AB的长是（    ）

A．5 B．6 C．8 D．10

9、如图，在平面直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个动点，点C是y轴正半轴上的点，于点C．已知，．点B到原点的最大距离为（    ）

A．22 B．18 C．14 D．10

10、如图，四边形ABCD中，∠A=60°，AD=2，AB=3，点M，N分别为线段BC，AB上的动点（含端点，但点M不与点B重合），点E，F分别为DM，MN的中点，则EF长度的最大值为（ ）

A． B． C． D．

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如果一个多边形的内角和等于外角和的2倍，那么这个多边形的边数n=____

2、已知一个正多边形的内角和为1080°，那么从它的一个顶点出发可以引 _____条对角线．

3、一个多边形的内角和是它的外角和的两倍，则这个多边形的边数为 ___．

4、若正边形的每个内角都等于120°，则这个正边形的边数为________．

5、在平行四边形ABCD中，若∠A=130°，则∠B=______，∠C=______，∠D=______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝140°．

（1）如图①，若∠B＝∠C，则∠B＝　   　度；

（2）如图②，作∠BCD的平分线CE交AB于点E．若CE∥AD，求∠B的大小．

2、已知：在中，点、点、点分别是、、的中点，连接、．

（1）如图1，若，求证：四边形为菱形；

（2）如图2，过作交延长线于点，连接，，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中所有与面积相等的平行四边形．

3、在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，P是直线BD上一动点，以AP为边向右侧作等边APE（A，P，E按逆时针排列），点E的位置随点P的位置变化而变化．

（1）如图1，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD内部或边上时，连接CE，则BP与CE的数量关系是     ，BC与CE的位置关系是     ；

（2）如图2，当点P在线段BD上，且点E在菱形ABCD外部时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由；

（3）当点P在直线BD上时，其他条件不变，连接BE．若AB＝2，BE＝2，请直接写出APE的面积．

4、已知：如图，，，AD是BC上的高线，CE是AB边上的中线，于G．

（1）若，求线段AC的长；

（2）求证：．

5、如图，已知△ABC中，D是AB上一点，AD＝AC，AE⊥CD，垂足是E，F是BC的中点，求证：BD＝2EF．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及菱形的判定分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：A、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；

C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，

故选：B．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及菱形的判定等知识，难度不大．

2、A

【分析】

利用直角三角形斜边的中线的性质可得答案．

【详解】

解：∵∠C=90°，若D为斜边AB上的中点，
∴CD=AB，
∵AB的长为10，
∴DC=5，
故选：A．

【点睛】

此题主要考查了直角三角形斜边的中线，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

3、A

【分析】

根据正方形的四条边都相等可得BC＝DC，每一个角都是直角可得∠B＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△CBE≌△DCF，得∠BCE＝∠CDF，进一步得∠DHC＝∠DHE＝90°，从而知GH＝DE，利用勾股定理求出DE的长即可得出答案．

【详解】

解：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝DC，

在△CBE和△DCF中，

，

∴△CBE≌△DCF（SAS），

∴∠BCE＝∠CDF，

∵∠BCE+∠DCH＝90°，

∴∠CDF+∠DCH＝90°，

∴∠DHC＝∠DHE＝90°，

∵点G为DE的中点，

∴GH＝DE，

∵AD＝AB＝6，AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，

∴，

∴GH＝．

故选A．

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

4、C

【分析】

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

5、C

【分析】

依题意得出AE=AB=AD，∠ADE=50°，又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°，∠CDE=∠ADC-∠ADE，从而求解．

【详解】

∵ADBC，
∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°，
∴AE=AB=AD，
在三角形AED中，AE=AD，∠DAE=80°，
∴∠ADE=50°，
又∵∠B=80°，
∴∠ADC=80°，
∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°．
故选：C．

【点睛】

考查菱形的边的性质，同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质，解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数．

6、C

【分析】

由中点的定义可得AE=CE，AD=BD，根据三角形中位线的性质可得DE//BC，DE=BC，根据平行线的性质可得∠ADE=∠ABC=90°，利用ASA可证明△MBD≌△EDA，可得MD=AE，DE=MB，即可证明四边形DMBE是平行四边形，可得MD=BE，进而可得四边形DMBE的周长为2DE+2MD=BC+AC，即可得答案．

【详解】

∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴AE=CE，AD=BD，DE为△ABC的中位线，

∴DE//BC，DE=BC，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ADE=∠ABC=90°，

在△MBD和△EDA中，，

∴△MBD≌△EDA，

∴MD=AE，DE=MB，

∵DE//MB，

∴四边形DMBE是平行四边形，

∴MD=BE，

∵AC＝18，BC＝14，

∴四边形DMBE的周长=2DE+2MD=BC+AC=18+14=32．

故选：C．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

7、B

【分析】

根据平行四边形对角相等，即可求出的度数．

【详解】

解：如图所示，

∵四边形是平行四边形，

∴，

∴，

∴．

故：B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质，解题的关键是掌握平行四边形的性质．

8、A

【分析】

由菱形的性质可得OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，由勾股定理求出AB．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，

∴OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：，

故选：A．

【点睛】

本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键．

9、B

【分析】

首先取AC的中点E，连接BE，OE，OB，可求得OE与BE的长，然后由三角形三边关系，求得点B到原点的最大距离．

【详解】

解：取AC的中点E，连接BE，OE，OB，

∵∠AOC＝90°，AC＝16，

∴OE＝CEAC＝8，

∵BC⊥AC，BC＝6，

∴BE10，

若点O，E，B不在一条直线上，则OB＜OE+BE＝18．

若点O，E，B在一条直线上，则OB＝OE+BE＝18，

∴当O，E，B三点在一条直线上时，OB取得最大值，最大值为18．

故选：B

【点睛】

此题考查了直角三角形斜边上的中线的性质以及三角形三边关系．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．

10、A

【分析】

根据三角形的中位线定理得出EF=DN，从而可知DN最大时，EF最大，因为N与B重合时DN最大，此时根据勾股定理求得DN，从而求得EF的最大值． 连接DB，过点D作DH⊥AB交AB于点H，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解即可；

【详解】

解：∵ED=EM，MF=FN，

∴EF=DN，

∴DN最大时，EF最大，

 ∴N与B重合时DN=DB最大，

在Rt△ADH中， ∵∠A=60°

∴AH=2×=1，DH=，

∴BH=AB﹣AH=3﹣1=2，

∴DB=，

∴EFmax=DB=，

∴EF的最大值为．

故选A

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，利用中位线求得EF=DN是解题的关键．

二、填空题

1、6

【分析】

根据多边形内角和公式（n-2）×180°及多边形外角和始终为360°可列出方程求解问题．

【详解】

解：由题意得：

（n-2）×180°=360°×2，

解得：n=6；

故答案为6．

【点睛】

本题主要考查多边形内角和及外角和，熟练掌握多边形的内角和公式及外角和是解题的关键．

2、

【分析】

设这个正多边形有条边，再建立方程 解方程求解结合从边形的一个顶点出发可以引条对角线，从而可得答案.

【详解】

解：设这个正多边形有条边，则

解得：

所以从一个正八边形的一个顶点出发可以引条对角线，

故答案为：

【点睛】

本题考查的是正多边形的内角和定理的应用，正多边形的对角线问题，掌握“多边形的内角和公式为 从边形的一个顶点出发可以引条对角线”是解本题的关键.

3、6

【分析】

根据内角和等于外角和的2倍则内角和是720°利用多边形内角和公式得到关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．

【详解】

解：根据题意，得

（n﹣2）•180＝360×2，

解得：n＝6．

故这个多边形的边数为6．

故答案为：6．

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．

4、6

【分析】

多边形的内角和可以表示成，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成，列方程可求解．

【详解】

解：设所求正边形边数为，

则，

解得，

故答案是：6．

【点睛】

本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题的关键是要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．

5、           

【分析】

利用平行四边形的性质：邻角互补，对角相等，即可求得答案．

【详解】

解：在平行四边形ABCD中，、是的邻角，是的对角，

，，

故答案为： ，，．

【点睛】

本题主要是考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，熟练掌握平行四边形的性质，求解决本题的关键．

三、解答题

1、（1）60；（2）40°．

【分析】

（1）根据四边形内角和为360°解决问题；

（2）由CE//AD推出∠DCE+∠D＝180°，所以∠DCE＝40°，根据CE平分∠BCD，推出∠BCD＝80°，再根据四边形内角和为360°求出∠B度数；

【详解】

（1）∵∠A＝100°，∠D＝140°，

∴∠B＝∠C＝＝60°，

故答案为60；

（2）∵CE//AD，

∠DCE+∠D＝180°，

∴∠DCE＝40°，

∵CE平分∠BCD，

∴∠BCD＝80°，

∴∠B＝360°﹣（100°+140°+80°）＝40°．

【点睛】

本题考查了多边形内角与外角以及平行线的性质，熟练运用多边形内角性质和平行线的性质是解题的关键．

2、（1）证明见详解；（2）与面积相等的平行四边形有、、、．

【分析】

（1）根据三角形中位线定理可得：，，，，依据平行四边形的判定定理可得四边形DECF为平行四边形，再由，可得，依据菱形的判定定理即可证明；

（2）根据三角形中位线定理及平行四边形的判定定理可得四边形DEFB、DECF、ADFE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出与各平行四边形面积之间的关系，再根据平行四边形的判定得出四边形EGCF是平行四边形，根据其性质得到，根据等底同高可得，据此即可得出与面积相等的平行四边形．

【详解】

解：（1）∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

∴，，，，

∴四边形DECF为平行四边形，

∵，

，

∴四边形DECF为菱形；

（2）∵D、E、F分别是AB、AC、BC的中点，

∴，，，，， ，

且，，，

∴四边形DEFB、DECF、ADFE是平行四边形，

∴，

∵，，

∴四边形EGCF是平行四边形，

∴，

∴，

∴

∴与面积相等的平行四边形有、、、．

【点睛】

题目主要考查菱形及平行四边形的判定定理和性质，中位线的性质等，熟练掌握平行四边形及菱形的判定定理及性质是解题关键．

3、（1）BP＝CE，CE⊥BC；（2）仍然成立，见解析；（3）31

【分析】

（1）连接AC，根据菱形的性质和等边三角形的性质证明△BAP≌△CAE即可证得结论；

（2）（1）中的结论成立，用（1）中的方法证明△BAP≌△CAE即可；

（3）分两种情形：当点P在BD的延长线上时或点P在线段DB的延长线上时，连接AC交BD于点O，由∠BCE＝90°，根据勾股定理求出CE的长即得到BP的长，再求AO、PO、PD的长及等边三角形APE的边长可得结论．

【详解】

解：（1）如图1，连接AC，延长CE交AD于点H，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB＝BC，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAC＝60°；

∵△APE是等边三角形，

∴AP＝AE，∠PAE＝60°，

∴∠BAP＝∠CAE＝60°﹣∠PAC，

∴△BAP≌△CAE（SAS），

∴BP＝CE；

∵四边形ABCD是菱形，

∴∠ABP＝∠ABC＝30°，

∴∠ABP＝∠ACE＝30°，

∵∠ACB＝60°，

∴∠BCE＝60°+30°＝90°，

∴CE⊥BC；

故答案为：BP＝CE，CE⊥BC；

（2）（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立，理由如下：

如图2中，连接AC，设CE与AD交于H，

∵菱形ABCD，∠ABC＝60°，

∴△ABC和△ACD都是等边三角形，

∴AB＝AC，∠BAD＝120°，∠BAP＝120°+∠DAP，

∵△APE是等边三角形，

∴AP＝AE，∠PAE＝60°，

∴∠CAE＝60°+60°+∠DAP＝120°+∠DAP，

∴∠BAP＝∠CAE，

∴△ABP≌△ACE（SAS），

∴BP＝CE，∠ACE＝∠ABD＝30°，

∴∠DCE＝30°，

∵∠ADC＝60°，

∴∠DCE+∠ADC＝90°，

∴∠CHD＝90°，

∴CE⊥AD；

∴（1）中的结论：BP＝CE，CE⊥AD 仍然成立；

（3）如图3中，当点P在BD的延长线上时，连接AC交BD于点O，连接CE，BE，作EF⊥AP于F，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD   BD平分∠ABC，

∵∠ABC＝60°，AB＝2，

∴∠ABO＝30°，

∴AO＝AB＝，OB＝AO＝3，

∴BD＝6，

由（2）知CE⊥AD，

∵AD∥BC，

∴CE⊥BC，

∵BE＝2，BC＝AB＝2，

∴CE＝＝8，

由（2）知BP＝CE＝8，

∴DP＝2，

∴OP＝5，

∴AP＝＝＝2，

∵△APE是等边三角形，

∴S△AEP＝×（2）2＝7，

如图4中，当点P在DB的延长线上时，同法可得AP＝＝＝2，

∴S△AEP＝×（2）2＝31，

【点睛】

此题是四边形的综合题，重点考查菱形的性质、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，解题的关键是正确地作出解题所需要的辅助线，将菱形的性质与三角形全等的条件联系起来，此题难度较大，属于考试压轴题．

4、（1）；（2）见解析

【分析】

（1）根据30°角所对直角边等于斜边的一半，得到AD=3，根据等腰直角三角形，得到CD=AD=3，根据勾股定理，得到AC的长即可；

（2）根据斜边上的中线等于斜边的一半，得到DE=DC，根据等腰三角形三线合一性质，证明即可．

【详解】

（1）

，

；

（2）连接DE

，

，

，，

，

，

．

【点睛】

本题考查了30°角的性质，等腰直角三角形的性质，斜边上中线的性质，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握性质是解题的关键．

5、见解析．

【分析】

先证明 再证明EF是△CDB的中位线，从而可得结论.

【详解】

证明：∵AD＝AC，AE⊥CD

∴CE＝ED

∵F是BC的中点

∴EF是△CDB的中位线

∴BD＝2EF

【点睛】

本题考查的是等腰三角形的性质，三角形的中位线的性质，掌握“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”是解题的关键.