数学第十五章 四边形综合与测试同步训练题

京改版八年级数学下册第十五章四边形重点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

3、下列命题是真命题的是（    ）

A．五边形的内角和是720° B．三角形的任意两边之和大于第三边

C．内错角相等 D．对角线互相垂直的四边形是菱形

4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若D为斜边AB上的中点，AB的长为10，则DC的长为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

5、勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，长方形AKJD的面积为S3，长方形KJEB的面积为S4，下列结论：①BI＝CD；②2S△ACD＝S1；③S1＋S4＝S2＋S3；④＋＝．其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6、以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（    ）．

A． B． C． D．

7、四边形的内角和与外角和的数量关系，正确的是（　　）

A．内角和比外角和大180° B．外角和比内角和大180°

C．内角和比外角和大360° D．内角和与外角和相等

8、如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ）

A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD

C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC

9、下列图形中，既是中心对称图形也是轴对称图形的是（    ）

A．圆 B．平行四边形 C．直角三角形 D．等边三角形

10、下列说法中，不正确的是（    ）

A．四个角都相等的四边形是矩形

B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形

C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴

D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，以边长为2的正方形的中心O为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B两点，则线段AB长度的最小值为_________．

2、如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于O，EF过点O分别交AB，CD于E，F，已知AB＝8cm，AD＝5cm，那么图中阴影部分面积为_____cm2．

3、如图，平行四边形ABCD，AD＝5，AB＝8，点A的坐标为（－3，0）点C的坐标为______．

4、如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD的面积是 _____．

5、已知一直角三角形的两直角边长分别为6和8，则斜边上中线的长度是_____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、（教材重现）如图是数学教材第135页的部分截图．

在多边形中，三角形是最基本的图形．如图4.4.5所示，每一个多边形都可以分割成若干个三角形．

数一数每个多边形中三角形的个数，你能发现什么规律？

在多边形中，连接不相邻的两个顶点，所得到的线段称为多边形的对角线．

（问题思考）结合如图思考，从多边形的一个顶点出发，可以得到的对角线的数量，并填写表：

（问题探究）n边形有n个顶点，每个顶点分别连接对角线后，每条对角线重复连接了一次，由此可推导出，n边形共有 　   　对角线（用含有n的代数式表示）．

（问题拓展）

（1）已知平面上4个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 　   　条线段．

（2）已知平面上共有15个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 　   　条线段．

（3）已知平面上共有x个点，任意三点不在同一直线上，一共可以连接 　   　条线段（用含有x的代数式表示，不必化简）．

2、如图，的对角线与相交于点O，过点B作BPAC，过点C作CPBD，与相交于点P．

（1）试判断四边形的形状，并说明理由；

（2）若将改为矩形，且，其他条件不变，求四边形的面积；

（3）要得到矩形，应满足的条件是_________（填上一个即可）．

3、如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．

（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；

（2）若∠AFC=2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．

4、在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠D＝140°．

（1）如图①，若∠B＝∠C，则∠B＝　   　度；

（2）如图②，作∠BCD的平分线CE交AB于点E．若CE∥AD，求∠B的大小．

5、如图都是由边长为1的小等边三角形构成的网格图，每个网格图中有3个小等边三角形已涂上阴影．

（1）请在下面①②③三个网格图中分别涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个轴对称图形（3个图形中所涂三角形不同）；

（2）在④⑤两个网格图中分别涂上一个三角形，使得4个阴影小等边三角形组成一个中心对称图形（2个图形中所涂三角形不同）．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【详解】

A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；

故选B

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．

2、D

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解即可．

【详解】

解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项符合题意；

D．是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项不合题意．

故选D．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

3、B

【分析】

利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及菱形的判定分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：A、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；

C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，

故选：B．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及菱形的判定等知识，难度不大．

4、A

【分析】

利用直角三角形斜边的中线的性质可得答案．

【详解】

解：∵∠C=90°，若D为斜边AB上的中点，
∴CD=AB，
∵AB的长为10，
∴DC=5，
故选：A．

【点睛】

此题主要考查了直角三角形斜边的中线，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

5、C

【分析】

根据SAS证△ABI≌△ADC即可得证①正确，过点B作BM⊥IA，交IA的延长线于点M，根据边的关系得出S△ABI＝S1，即可得出②正确，过点C作CN⊥DA交DA的延长线于点N，证S1＝S3即可得证③正确，利用勾股定理可得出S1+S2＝S3+S4，即能判断④不正确．

【详解】

解：①∵四边形ACHI和四边形ABED都是正方形，

∴AI＝AC，AB＝AD，∠IAC＝∠BAD＝90°，

∴∠IAC+∠CAB＝∠BAD+∠CAB，

即∠IAB＝∠CAD，

在△ABI和△ADC中，

，

∴△ABI≌△ADC（SAS），

∴BI＝CD，

故①正确；

②过点B作BM⊥IA，交IA的延长线于点M，

∴∠BMA＝90°，

∵四边形ACHI是正方形，

∴AI＝AC，∠IAC＝90°，S1＝AC2，

∴∠CAM＝90°，

又∵∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠CAM＝∠BMA＝90°，

∴四边形AMBC是矩形，

∴BM＝AC，

∵S△ABI＝AI•BM＝AI•AC＝AC2＝S1，

由①知△ABI≌△ADC，

∴S△ACD＝S△ABI＝S1，

即2S△ACD＝S1，

故②正确；

③过点C作CN⊥DA交DA的延长线于点N，

∴∠CNA＝90°，

∵四边形AKJD是矩形，

∴∠KAD＝∠AKJ＝90°，S3＝AD•AK，

∴∠NAK＝∠AKC＝90°，

∴∠CNA＝∠NAK＝∠AKC＝90°，

∴四边形AKCN是矩形，

∴CN＝AK，

∴S△ACD＝AD•CN＝AD•AK＝S3，

即2S△ACD＝S3，

由②知2S△ACD＝S1，

∴S1＝S3，

在Rt△ACB中，AB2＝BC2+AC2，

∴S3+S4＝S1+S2，

又∵S1＝S3，

∴S1+S4＝S2+S3， 

即③正确；

④在Rt△ACB中，BC2+AC2＝AB2，

∴S3+S4＝S1+S2，

∴，

故④错误；

综上，共有3个正确的结论，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查勾股定理，正方形的性质，矩形性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质是解题的关键．

6、C

【分析】

根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出答案．

【详解】

解：A、此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形的定义，关键是找出图形的对称中心．

7、D

【分析】

直接利用多边形内角和定理分别分析得出答案．

【详解】

解：A．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；

B．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；

C．六四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述错误；

D．四边形的内角和与外角和相等，都等于360°，故本选项表述正确．

故选：D．

【点睛】

本题考查了四边形内角和和外角和，解题关键是熟记四边形内角和与外角和都是360°．

8、D

【分析】

由矩形的四个角是直角可判断A，由菱形的对角线互相垂直可判断B，由正方形的对角线相等可判断C，由菱形的四条边相等可判断D，从而可得答案.

【详解】

解：当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°，正确，故A不符合题意；

当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD，正确，故B不符合题意；

当▱ABCD是正方形时，AC＝BD，正确，故C不符合题意；

当▱ABCD是菱形时，AB＝BC，故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键.

9、A

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：A．圆既是中心对称图形也是轴对称图形，故此选项符合题意；

B．平行四边形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．直角三角形既不是中心对称图形，也不一定是轴对称图形，不符合题意；
D．等边三角形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：A．

【点睛】

本题考查中心对称图形和轴对称图形的知识，关键是掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．

10、D

【分析】

根据矩形的判定，正方形的性质，菱形和平行四边形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】

解：A、四个角都相等的四边形是矩形，说法正确；

B、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，说法正确；

C、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，说法正确；

D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原说法错误；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，熟练掌握特殊平行四边形相关的判定与性质是解答本题的关键．

二、填空题

1、

【分析】

根据正方形的对角线平分一组对角线可得∠OCD=∠ODB=45°，正方形的对角线互相垂直平分且相等可得∠COD=90°，OC=OD，然后根据同角的余角相等求出∠COA=∠DOB，再利用“ASA”证明△COA和△DOB全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB，从而得到△AOB是等腰直角三角形，再根据垂线段最短可得OA⊥CD时，OA最小，然后求出OA，再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍解答．

【详解】

解：如图，

∵四边形CDEF是正方形，

，

，

，

在与中，

，

，

∴OA=OB，
∵∠AOB=90°，
∴△AOB是等腰直角三角形，
由勾股定理得： ,

要使AB最小，只要OA取最小值即可，
根据垂线段最短，OA⊥CD时，OA最小，
∵正方形CDEF，
∴FC⊥CD，OD=OF，
∴CA=DA，
∴OA=,

∴AB=．

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，垂线段最短，勾股定理，熟记各性质并求出三角形全等，然后求出△AOB是等腰直角三角形是解题的关键．

2、10

【分析】

利用矩形性质，求证，将阴影部分的面积转为的面积，最后利用中线平分三角形的面积，求出的面积，即可得到阴影部分的面积．

【详解】

解：四边形为矩形，

，，，

，

在与中，

，

阴影部分的面积最后转化为了的面积，

中，，

平分，

阴影部分的面积：，

故答案为：10．

【点睛】

本题主要是考查了矩形的性质以全等三角形的判定与性质以及中线平分三角形面积，熟练利用矩形性质，证明三角形全等，将阴影部分面积转化为其他图形的面积，这是解决本题的关键．
 

3、（8，4）

【分析】

先根据勾股定理得到OD的长，即可得到点D的坐标，再根据平行四边形的性质和平行x轴两点坐标特征即可得到点C的坐标．

【详解】

解：∵点A的坐标为（－3，0），

在Rt△ADO中，AD＝5， AO=3，，

∴OD==，

∴D(0，4)，

∵平行四边形ABCD，

∴AB=CD=8，AB∥CD，

∵AB在x轴上，

∴CD∥x轴，

∴C、D两点的纵坐标相同，

∴C(8，4) ．

故答案为（8，4）．

【点睛】

本题考查平行四边形性质，勾股定理，平行x轴两点坐标特征，解答本题的关键是熟练掌握平行于x轴的直线上的点的纵坐标相同，平行于y轴的直线上的点的横坐标相同．

4、10

【分析】

根据正方形的性质，结合题意易求证，，，即可利用“ASA”证明，得出．最后根据勾股定理可求出，即正方形的面积为10．

【详解】

∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

∴．

根据题意可知：，，

∴，，

∴在和中，，

∴，

∴．

∵在中，，

∴正方形ABCD的面积是10．

故答案为：10．

【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．

5、5

【分析】

直角三角形中，斜边长为斜边中线长的2倍，所以求斜边上中线的长求斜边长即可．

【详解】

解：在直角三角形中，两直角边长分别为6和8，

则斜边长＝＝10，

∴斜边中线长为×10＝5，

故答案为 5．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，根据勾股定理求得斜边长是解题的关键．

三、解答题

1、规律为：多边形的边数减去2，就是多边形中的三角形的个数； 2条，3条，9条，条；条；（1）6；（2）105；（3）

【分析】

通过观察多边形边数与其分割的三角形个数，即可发现规律

利用规律，多边形的边数一个顶点出发的对角线数，直接填写表格即可

先求出所有顶点得到的对角线之和，最后除以2即可得到边形的对角线条数

（1）根据题意，四边形一个顶点可以得到一条，四个点共4条，再去除一半，加上四个点单独连接的4条线段，即可得到答案．

（2）根据规律可以发现：十五边形的每个点可以得到12条，15点有180条，去掉一半，加上15个点组成的十五边形的的15条边，即可得到答案．

（3）通过上述两小题，即可以找到对应的规律，利用规律进行求解即可．

【详解】

由图可以直接发现：多边形的边数与其分割的三角形个数相差2，故规律为：多边形的边数减去2，就是多边形中的三角形的个数．

利用上图规律，便可以知道从五边形的一个顶点出发，得到2条对角线；六边形的一个顶点出发，得到3条对角线；十二边形的一个顶点出发，得到9条对角线；边形的一个顶点出发，得到条对角线．

边形的一个顶点可以得到条对角线，故个顶点共有，由于每条对角线重复连接了一次，故n边形共有条对角线

（1）解：有四个点可以组成四边形，每个点可以得到1条对角线，四个点共4条，

每条对角线重复连接了一次，

对角线条数为2，

四边形的边数为4，

一共可以连接2+4=6条线段．

（2）解：有15个点可以组成十五边形，每个点可以得到12条对角线，四个点共180条，

每条对角线重复连接了一次，

对角线条数为90，

四边形的边数为15，

一共可以连接90+15=105条线段．

（3）解：由前面题的规律可知：有个点可以组成边形，每个点可以得到条对角线，四个点共条，

每条对角线重复连接了一次，

对角线条数为，

四边形的边数为，

一共可以连接条线段．

【点睛】

本题主要是考察了图形类的规律问题以及列代数式，根据题意，找到对角线与多边形的边数关系是解决本题的关键，另外，注意本题是问的点与点之间可连接的线段数，不要只算对角线的条数．

2、（1）平行四边形，理由见解析；（2）四边形的面积为24；（3）AB=BC或AC⊥BD等（答案不唯一）

【分析】

（1）利用平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，即可证明．

（2）利用矩形的性质，得到对角线互相平分，进而证明四边形是菱形，分别求出菱形的对角线长度，利用对角线乘积的一半，求解面积即可．

（3）添加的条件只要可以证明即可得到矩形．

【详解】

解：（1）四边形BPCO是平行四边形，

∵BP∥AC，CP∥BD，

∴四边形BPCO是平行四边形．

（2）连接OP．          

∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=BD，OC=AC，AC=BD，∠ABC=90°，

∴OB=OC．   

又四边形BPCO是平行四边形，

∴□BPCO是菱形．

∴OP⊥BC.

又∵AB⊥BC，

∴OP∥AB.

又∵AC∥BP，

四边形是平行四边形，

∴OP=AB=6.    

∴S菱形BPCO=．     

（3）AB=BC或AC⊥BD等（答案不唯一）．

当AB=BC时，为菱形，此时有：，利用含有的平行四边形为矩形，即可得到矩形，

当AC⊥BD时，利用含有的平行四边形为矩形，即可得到矩形．

【点睛】

本题主要是考查了平行四边形、矩形和菱形的判定和性质，熟练掌握特殊四边形的判定和性质，是求解该类问题的关键．

3、（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【分析】

（1）根据平行四边形的性质得到，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可；

（2）由（1）得的结论得四边形ABEC是平行四边形，再通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，可得结论．

【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，AB=CD，

∵CE=DC，

∴AB=EC，，

∴四边形ABEC是平行四边形；

（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，

∴FA=FE，FB=FC．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠D．

又∵∠AFC=2∠ADC，

∴∠AFC=2∠ABC．

∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，

∴∠ABC=∠BAF，

∴FA=FB，

∴FA=FE=FB=FC，

∴AE=BC，

∴四边形ABEC是矩形．

【点睛】

本题考查的是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形，再通过角的关系证矩形．

4、（1）60；（2）40°．

【分析】

（1）根据四边形内角和为360°解决问题；

（2）由CE//AD推出∠DCE+∠D＝180°，所以∠DCE＝40°，根据CE平分∠BCD，推出∠BCD＝80°，再根据四边形内角和为360°求出∠B度数；

【详解】

（1）∵∠A＝100°，∠D＝140°，

∴∠B＝∠C＝＝60°，

故答案为60；

（2）∵CE//AD，

∠DCE+∠D＝180°，

∴∠DCE＝40°，

∵CE平分∠BCD，

∴∠BCD＝80°，

∴∠B＝360°﹣（100°+140°+80°）＝40°．

【点睛】

本题考查了多边形内角与外角以及平行线的性质，熟练运用多边形内角性质和平行线的性质是解题的关键．

5、（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）直接利用轴对称图形的性质得出符合题意的答案；

（2）直接利用中心对称图形的性质得出符合题意的答案．

【详解】

解：（1）如图所示：①②③都是轴对称图形；

（2）如图所示：④⑤都是中心对称图形．

．

【点睛】

此题主要考查了利用轴对称设计图案、利用旋转设计图案，正确掌握相关定义是解题关键．