初中数学北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试习题

京改版八年级数学下册第十五章四边形专题练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

2、已知，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．设有以下条件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AO＝CO，BO＝DO；④四边形ABCD是矩形；⑤四边形ABCD是菱形；⑥四边形ABCD是正方形．那么，下列推理不成立的是（　　）

A．①④⇒⑥ B．①③⇒⑤ C．①②⇒⑥ D．②③⇒④

3、如图菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O，若BD＝8，AC＝6，则AB的长是（    ）

A．5 B．6 C．8 D．10

4、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若D为斜边AB上的中点，AB的长为10，则DC的长为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

5、如图，A，B，C是某社区的三栋楼，若在AC中点D处建一个5G基站，其覆盖半径为300 m，则这三栋楼中在该5G基站覆盖范围内的是（    ）

A．A，B，C都不在 B．只有B

C．只有A，C D．A，B，C

6、下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

7、下列四个图形中，为中心对称图形的是（　　）

A．  B． 

C．  D．

8、如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（    ）

A．当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B．当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD

C．当▱ABCD是正方形时，AC＝BD D．当▱ABCD是菱形时，AB＝AC

9、下图是文易同学答的试卷，文易同学应得（    ）

A．40分 B．60分 C．80分 D．100分

10、如图，小明从点A出发沿直线前进10m到达点B，向左转，后又沿直线前进10m到达点C，再向左转30°后沿直线前进10m到达点．．．照这样走下去，小明第一次回到出发点A，一共走了（    ）米．

A．80 B．100 C．120 D．140

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、四边形的外角度数之比为1：2：3：4，则它最大的内角度数为_____．

2、正五边形的一个内角与一个外角的比______．

3、在平面直角坐标系中，点（－2，5）关于原点对称的点的坐标是___________．

4、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，点E在BC的延长线上，则阴影部分的面积为 _____．

5、如图，正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为 _____．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BE平分∠ABC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，

（1）如图1，求证：CD＝BE

（2）如图2，过点A作AF⊥BE，写出AF，BD，CD之间的数量关系并说明理由．

2、如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．

3、（1）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣2b），其中a＝1，b＝2；

（2）如图，菱形ABCD中，AB＝AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．证明：四边形AECF是矩形．

4、我们知道正多边形的定义是：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．

（1）如图①，在各边相等的四边形ABCD中，当AC＝BD时，四边形ABCD 　   　正四边形；（填“是”或“不是”）

（2）如图②，在各边相等的五边形ABCDE中，AC＝CE＝EB＝BD＝DA，求证：五边形ABCDE是正五边形；

（3）如图③，在各边相等的五边形ABCDE中，减少相等对角线的条数也能判定它是正五边形，问：至少需要几条对角线相等才能判定它是正五边形？请说明理由．

5、如图，□ABCD中，点E、F分别在AB、CD上，且BE＝DF．求证：AF＝EC．

-参考答案-

一、单选题

1、B

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念对各图形分析判断后利用排除法求解

【详解】

第一个图形是中心对称图形，又是轴对称图形，

第二个图形是中心对称图形，又是轴对称图形，

第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，

第四个图形不是中心对称图形，是轴对称图形，

综上所述第一个和第二个图形既是中心对称图形，又是轴对称图形．

故选：B．

【点睛】

点睛本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2、C

【分析】

根据已知条件以及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定条件，对选项进行分析判断即可．

【详解】

解：A、①④可以说明，一组邻边相等的矩形是正方形，故A正确．

B、③可以说明四边形是平行四边形，再由①，一组临边相等的平行四边形是菱形，故B正确．

C、①②，只能说明两组邻边分别相等，可能是菱形，但菱形不一定是正方形，故C错误．

D、③可以说明四边形是平行四边形，再由②可得：对角线相等的平行四边形为矩形，故D正确．

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了特殊四边形的判定，熟练掌握各类四边形的判定条件，是解决本题的关键．

3、A

【分析】

由菱形的性质可得OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，由勾股定理求出AB．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，BD=8，

∴OA=OC=3，OB=OD=4，AO⊥BO，

在Rt△AOB中，由勾股定理得：，

故选：A．

【点睛】

本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握菱形对角线互相垂直且平分的性质是解题的关键．

4、A

【分析】

利用直角三角形斜边的中线的性质可得答案．

【详解】

解：∵∠C=90°，若D为斜边AB上的中点，
∴CD=AB，
∵AB的长为10，
∴DC=5，
故选：A．

【点睛】

此题主要考查了直角三角形斜边的中线，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

5、D

【分析】

根据三角形边长然后利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，由直角三角形斜边上的中线性质即可得．

【详解】

解：如图所示：连接BD，

∵，，，

∴，

∴为直角三角形，

∵D为AC中点，

∴，

∵覆盖半径为300 ，

∴A、B、C三个点都被覆盖，

故选：D．

【点睛】

题目主要考查勾股定理逆定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解题意，综合运用两个定理是解题关键．

6、C

【分析】

根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．

【详解】

解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

7、B

【分析】

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心．

【详解】

解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以是中心对称图形；

选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形；

故选：B．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形定义，关键是找出对称中心．

8、D

【分析】

由矩形的四个角是直角可判断A，由菱形的对角线互相垂直可判断B，由正方形的对角线相等可判断C，由菱形的四条边相等可判断D，从而可得答案.

【详解】

解：当▱ABCD是矩形时，∠ABC＝90°，正确，故A不符合题意；

当▱ABCD是菱形时，AC⊥BD，正确，故B不符合题意；

当▱ABCD是正方形时，AC＝BD，正确，故C不符合题意；

当▱ABCD是菱形时，AB＝BC，故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是矩形，菱形，正方形的性质，熟练的记忆矩形，菱形，正方形的性质是解本题的关键.

9、B

【分析】

分别根据菱形的判定与性质、正方形的判定、矩形的判定与性质进行判断即可．

【详解】

解：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知（1）是正确的；

（2）根据根据对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形可知（2）是正确的；

（3）根据对角线相等的平行四边形是矩形可知（3）是正确的；

（4）根据菱形的对角线互相垂直，不一定相等可知（4）是错误的；

（5）根据矩形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，并且矩形的对角线相等且互相平分可知，矩形的对称中心到四个顶点的距离相等是正确的，

∴文易同学答对3道题，得60分，

故选：B．

【点睛】

本题考查菱形的判定与性质、正方形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解答的关键

10、C

【分析】

由小明第一次回到出发点A，则小明走过的路程刚好是一个多边形的周长，由多边形的外角和为，每次的转向的角度的大小刚好是多边形的一个外角，则先求解多边形的边数，从而可得答案.

【详解】

解：由 可得：小明第一次回到出发点A，

一个要走米，

故选C

【点睛】

本题考查的是多边形的外角和的应用，掌握“由多边形的外角和为得到一共要走12个10米”是解本题的关键.

二、填空题

1、144°度
 

【分析】

先根据四边形的四个外角的度数之比分别求出四个外角，再根据多边形外角与内角的关系分别求出它们的内角，即可得到答案．

【详解】

解：∵四边形的四个外角的度数之比为1：2：3：4，

∴四个外角的度数分别为：360°×；

360°×；

360°×；

360°×；

∴它最大的内角度数为：．

故答案为：144°．

【点睛】

本题考查了多边形的外角和，以及邻补角的定义，解题的关键是掌握多边形的外角和为360°，从而进行计算．

2、

【分析】

根据公式分别求出一个内角与一个外角的度数，即可得到答案．

【详解】

解：正五边形的一个内角的度数为，正五边形的一个外角的度数为，

∴正五边形的一个内角与一个外角的比为，

故答案为：．

【点睛】

此题考查了正五边形的内角度数及外角度数，熟记多边形的内角和与外角和公式是解题的关键．

3、（2，-5）

【分析】

根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y）．

【详解】

解：根据中心对称的性质，得点P（-2，5）关于原点对称点的点的坐标是（2，-5）．

故答案为：（2，-5）．

【点睛】

本题主要考查了关于原点对称的点坐标的关系，是需要识记的基本问题．记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆，比较简单．

4、##

【分析】

求出的度数，利用计算即可．

【详解】

∵四边形ABCD是正方形，

∴，

∴，，

∴，

∴．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了正方形的性质和扇形面积公式，计算扇形面积时，应该先求出弧所在圆的半径以及弧所对的圆心角的度数．

5、

【分析】

由正方形的对称性可知，PB＝PD，当B、P、E共线时PD+PE最小，求出BE即可．

【详解】

解：∵正方形中B与D关于AC对称，

∴PB＝PD，

∴PD+PE＝PB+PE＝BE，此时PD+PE最小，

∵正方形ABCD的面积为18，△ABE是等边三角形，

∴BE＝3，

∴PD+PE最小值是3，

故答案为：3．

【点睛】

本题考查轴对称求最短距离，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．

三、解答题

1、（1）证明见解析；（2）BD= CD+2AF，理由见解析

【分析】

（1）延长BA与CD的延长线交于点G，先证明△ABE≌△ACG得到BE=CG，由BD是∠ABC的角平分线，得到∠GBD=∠CBD，即可证明△BDG≌△BDC得到CD=GD，则；

（2）如图所示，连接AD，取BE中点H，连接AH，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，，则，再由∠BAC=90°，AB=AC，得到∠ABC=45°，根据BD平分∠ABC，即可推出∠AHF=∠ABH+∠BAH=45°，从而得到AF=HF，则DH=2AF，由此即可推出BD=BH+HD=BH+2AF=CD+2AF．

【详解】

解：（1）如图所示，延长BA与CD的延长线交于点G，

∵∠BAC=90°，

∴∠CAG=90°，

∵CD⊥BE，

∴∠EDC=∠GDB=∠BAE=90°，

又∵∠AEB=∠DEC，

∴∠ABE=∠DCE，

在△ABE和△ACG中，

，

∴△ABE≌△ACG（ASA），

∴BE=CG，

∵BD是∠ABC的角平分线，

∴∠GBD=∠CBD，

在△BDG和△BDC中，

，

∴△BDG≌△BDC（ASA），

∴CD=GD，

∴；

（2）BD= CD+2AF，理由如下：

如图所示，连接AD，取BE中点H，连接AH，

由（1）得CD=GD，，

∵△BAE和△CAG都是直角三角形，H为BE中点，D为CG中点，

∴，，

∴，

∴∠ABH=∠BAH，

∵∠BAC=90°，AB=AC，

∴∠ABC=45°，

又∵BD平分∠ABC，

∴∠ABH=∠BAH=22.5°，

∴∠AHF=∠ABH+∠BAH=45°，

∵AF⊥DH，

∴HF=DF，∠AFH=90°，

∴∠HAF=45°，

∴AF=HF，

∴DH=2AF，

∴BD=BH+HD=BH+2AF=CD+2AF．

【点睛】

．本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定条件．

2、见解析

【分析】

根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，再由BE=BF，可推出AE=CF，即可利用SAS证明△ADE≌△CDF得到DE=DF，则∠DEF=∠DFE．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，

∵BE=BF，

∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴DE=DF，

∴∠DEF=∠DFE．

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．

3、（1），0；（2）证明见解析．

【分析】

（1）根据整式的乘法运算法则先去括号，然后合并同类项化简，然后代入求解即可；

（2）首先根据菱形的性质得到，，然后根据E、F分别是BC、AD的中点，得出，根据一组对边平行且相等证明出四边形AECF是平行四边形，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可证明出四边形AECF是矩形．

【详解】

（1）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣2b）

将a＝1，b＝2代入得：原式＝；

（2）如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，

∴，且，

又∵E、F分别是BC、AD的中点，

∴，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AB＝AC，E是BC的中点，

∴，即，

∴平行四边形AECF是矩形．

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，代数式求值问题，菱形的性质和矩形的判定，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则，菱形的性质和矩形的判定定理．

4、（1）是；（2）见解析；（3）至少需要3条对角线相等才能判定它是正五边形，见解析

【分析】

（1）根据对角线相等的菱形是正方形，证明即可；

（2）由SSS证明△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌△EAB得出∠ABC=∠BCD=∠CDE=∠DEA=∠EAB，即可得出结论；

（3）由SSS证明△ABE≌△BCA≌△DEC得出∠BAE=∠CBA=∠EDC，∠AEB=∠ABE=∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC，由SSS证明△ACE≌△BEC得出∠ACE=∠CEB，∠CEA=∠CAE=∠EBC=∠ECB，由四边形ABCE内角和为360°得出∠ABC+∠ECB=180°，证出AB∥CE，由平行线的性质得出∠ABE=∠BEC，∠BAC=∠ACE，证出∠BAE=3∠ABE，同理：∠CBA=∠D=∠AED=∠BCD=3∠ABE=∠BAE，即可得出结论；

【详解】

（1）解：结论：四边形ABCD是正四边形．

理由：∵AB＝BC＝CD＝DA，

∴四边形ABCD是菱形，

∵AC＝BD，

∴四边形ABCD是正方形．

∴四边形ABCD是正四边形．

故答案为：是．

（2）证明：∵凸五边形ABCDE的各条边都相等，

∴AB＝BC＝CD＝DE＝EA，

在△ABC、△BCD、△CDE、△DEA、△EAB中，

∴△ABC≌△BCD≌△CDE≌△DEA≌EAB（SSS），

∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEA＝∠EAB，

∴五边形ABCDE是正五边形；

（3）解：结论：至少需要3条对角线相等才能判定它是正五边形．

若AC＝BE＝CE，五边形ABCDE是正五边形，理由如下：

在△ABE、△BCA和△DEC中，

，

∴△ABE≌△BCA≌△DEC（SSS），

∴∠BAE＝∠CBA＝∠EDC，∠AEB＝∠ABE＝∠BAC＝∠BCA＝∠DCE＝∠DEC，

在△ACE和△BEC中，

∴△ACE≌△BEC（SSS），

∴∠ACE＝∠CEB，∠CEA＝∠CAE＝∠EBC＝∠ECB，

∵四边形ABCE内角和为360°，

∴∠ABC+∠ECB＝180°，

∴AB∥CE，

∴∠ABE＝∠BEC，∠BAC＝∠ACE，

∴∠CAE＝∠CEA＝2∠ABE，

∴∠BAE＝3∠ABE，

同理：∠CBA＝∠D＝∠AED＝∠BCD＝3∠ABE＝∠BAE，

∴五边形ABCDE是正五边形；

【点睛】

本题是四边形综合题目，考查了正多边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．

5、证明见解析

【分析】

先证明再证明可得四边形是平行四边形，于是可得结论.

【详解】

解： □ABCD，

BE＝DF，

∴AE=CF，AE//CF

四边形是平行四边形，

【点睛】

本题考查的是平行四边形的判定与性质，掌握“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”是解本题的关键.