数学八年级下册第十五章 四边形综合与测试课时练习

京改版八年级数学下册第十五章四边形重点解析

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，已知正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝CF＝2，CE与DF交于点H，点G为DE的中点，连接GH，则GH的长为（　　）

A． B． C．4.5 D．4.3

2、如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝18，BC＝14，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE，BE，点M在CB的延长线上，连接DM，若∠MDB＝∠A，则四边形DMBE的周长为（    ）

A．16 B．24 C．32 D．40

3、下图是文易同学答的试卷，文易同学应得（    ）

A．40分 B．60分 C．80分 D．100分

4、下列各APP标识的图案是中心对称图形的是（　　）

A． B． C． D．

5、下列命题是真命题的是（    ）

A．五边形的内角和是720° B．三角形的任意两边之和大于第三边

C．内错角相等 D．对角线互相垂直的四边形是菱形

6、如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ）

A．2.5 B．2 C． D．

7、下列图案中，是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

8、如图，在△ABC中，点E，F分别是AB，AC的中点．已知∠B＝55°，则∠AEF的度数是（　　）

A．75° B．60° C．55° D．40°

9、下列说法中，正确的是（    ）

A．若，，则

B．90′＝1.5°

C．过六边形的每一个顶点有4条对角线

D．疫情防控期间，要掌握进入校园人员的体温是否正常，可采用抽样调查

10、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的点A和点C分别落在x轴和y轴正半轴上，AO＝4，直线l：y＝3x+2经过点C，将直线l向下平移m个单位，设直线可将矩形OABC的面积平分，则m的值为（　　）

A．7 B．6 C．4 D．8

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是________．

2、在矩形ABCD中，点E在AD边上，△BCE是以BE为一腰的等腰三角形，若AB＝4，BC＝5，则线段DE的长为 _____．

3、点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，已知BC＝12，则DE＝_____

4、过五边形一个顶点的对角线共有________条．

5、一个多边形的内角和是它的外角和的两倍，则这个多边形的边数为 ___．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，四边形ABCD是平行四边形，，且分别交对角线于点E、F，连接ED、BF．

（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；

（2）若AE＝EF，请直接写出图2中面积等于四边形ABCD的面积的的所有三角形．

2、如图，在△ABC中，，，延长CB，并将射线CB绕点C逆时针旋转90°得到射线l，D为射线l上一动点，点E在线段CB的延长线上，且，连接DE，过点A作于M．

（1）依题意补全图1，并用等式表示线段DM与ME之间的数量关系，并证明；

（2）取BE的中点N，连接AN，添加一个条件：CD的长为_______，使得成立，并证明．

3、如图1，在平面直角坐标系中，且；

（1）试说明是等腰三角形；

（2）已知．写出各点的坐标：A(       ，       )，B(       ，       )，C(       ，       )．

（3）在（2）的条件下，若一动点M从点B出发沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．

①若的一条边与BC平行，求此时点M的坐标；

②若点E是边AC的中点，在点M运动的过程中，能否成为等腰三角形？若能，求出此时点Ｍ的坐标；若不能，请说明理由．

4、如图，在菱形ABCD中，点E，F分别是边AB和BC上的点，且BE＝BF．求证：∠DEF＝∠DFE．

5、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．

（1）在图1中，画一个三边长都是有理数的直角三角形；

（2）在图2中，画一个以BC为斜边的直角三角形，使它们的三边长都是无理数且都不相等；

（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积是10．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

根据正方形的四条边都相等可得BC＝DC，每一个角都是直角可得∠B＝∠DCF＝90°，然后利用“边角边”证明△CBE≌△DCF，得∠BCE＝∠CDF，进一步得∠DHC＝∠DHE＝90°，从而知GH＝DE，利用勾股定理求出DE的长即可得出答案．

【详解】

解：∵四边形ABCD为正方形，

∴∠B＝∠DCF＝90°，BC＝DC，

在△CBE和△DCF中，

，

∴△CBE≌△DCF（SAS），

∴∠BCE＝∠CDF，

∵∠BCE+∠DCH＝90°，

∴∠CDF+∠DCH＝90°，

∴∠DHC＝∠DHE＝90°，

∵点G为DE的中点，

∴GH＝DE，

∵AD＝AB＝6，AE＝AB﹣BE＝6﹣2＝4，

∴，

∴GH＝．

故选A．

【点睛】

本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，直角三角形斜边上的中线，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．

2、C

【分析】

由中点的定义可得AE=CE，AD=BD，根据三角形中位线的性质可得DE//BC，DE=BC，根据平行线的性质可得∠ADE=∠ABC=90°，利用ASA可证明△MBD≌△EDA，可得MD=AE，DE=MB，即可证明四边形DMBE是平行四边形，可得MD=BE，进而可得四边形DMBE的周长为2DE+2MD=BC+AC，即可得答案．

【详解】

∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴AE=CE，AD=BD，DE为△ABC的中位线，

∴DE//BC，DE=BC，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ADE=∠ABC=90°，

在△MBD和△EDA中，，

∴△MBD≌△EDA，

∴MD=AE，DE=MB，

∵DE//MB，

∴四边形DMBE是平行四边形，

∴MD=BE，

∵AC＝18，BC＝14，

∴四边形DMBE的周长=2DE+2MD=BC+AC=18+14=32．

故选：C．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质、三角形中位线的性质及平行四边形的判定与性质，三角形中位线平行于第三边且等于第三边的一半；有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．

3、B

【分析】

分别根据菱形的判定与性质、正方形的判定、矩形的判定与性质进行判断即可．

【详解】

解：（1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知（1）是正确的；

（2）根据根据对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形可知（2）是正确的；

（3）根据对角线相等的平行四边形是矩形可知（3）是正确的；

（4）根据菱形的对角线互相垂直，不一定相等可知（4）是错误的；

（5）根据矩形是中心对称图形，对角线的交点是对称中心，并且矩形的对角线相等且互相平分可知，矩形的对称中心到四个顶点的距离相等是正确的，

∴文易同学答对3道题，得60分，

故选：B．

【点睛】

本题考查菱形的判定与性质、正方形的判定、矩形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解答的关键

4、C

【分析】

根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．

【详解】

A、图形关于中心旋转180°不能完全重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

B、图形关于中心旋转180°不能完全重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、图形关于中心旋转180°能完全重合，所以是中心对称图形，故本选项符合题意；

D、图形关于中心旋转180°不能完全重合，所以不是中心对称图形，故本选项不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

5、B

【分析】

利用多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及菱形的判定分别判断后即可确定正确的选项．

【详解】

解：A、五边形的内角和为540°，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

B、三角形的任意两边之和大于第三边，正确，是真命题，符合题意；

C、两直线平行，内错角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；

D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故原命题错误，是假命题，不符合题意，

故选：B．

【点睛】

本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解多边形的内角和公式、三角形的三边关系、平行线的性质及菱形的判定等知识，难度不大．

6、D

【分析】

利用矩形的性质，求证明，进而在中利用勾股定理求出的长度，弧长就是的长度，利用数轴上的点表示，求出弧与数轴交点表示的实数即可．

【详解】

解：四边形OABC是矩形，

，

在中，由勾股定理可知：，

，

弧长为，故在数轴上表示的数为，

故选：．

【点睛】

本题主要是考查了矩形的性质、勾股定理解三角形以及数轴上的点的表示，熟练利用矩形性质，得到直角三角形，然后通过勾股定理求边长，是解决该类问题的关键．

7、B

【分析】

由题意依据一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形对各选项分析判断即可．

【详解】

解：A、C、D都是轴对称图形，只有B选项是中心对称图形.

故选：B.

【点睛】

本题考查中心对称图形的识别，注意掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

8、C

【分析】

证EF是△ABC的中位线，得EF∥BC，再由平行线的性质即可求解．

【详解】

解：∵点E，F分别是AB，AC的中点，

∴EF是△ABC的中位线，

∴EF∥BC，

∴∠AEF=∠B=55°，

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形中位线定理以及平行线的性质；熟练掌握三角形中位线定理，证出EF∥BC是解题的关键．

9、B

【分析】

由等式的基本性质可判断A，由 可判断B，由过边形的一个顶点可作条对角线可判断C，由全面调查与抽样调查的含义可判断D，从而可得答案.

【详解】

解：若，则故A不符合题意；

90′＝故B符合题意；

过六边形的每一个顶点有3条对角线，故C不符合题意；

疫情防控期间，要掌握进入校园人员的体温是否正常，事关重大，一定采用全面调查，故D不符合题意；

故选：B．

【点睛】

本题考查的是等式的基本性质，角度的换算，多边形的对角线问题，全面调查与抽样调查的含义，掌握以上基础知识是解本题的关键.

10、A

【分析】

如图所示，连接AC，OB交于点D，先求出C和A的坐标，然后根据矩形的性质得到D是AC的中点，从而求出D点坐标为（2，1），再由当直线经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，进行求解即可．

【详解】

解：如图所示，连接AC，OB交于点D，

∵C是直线与y轴的交点，

∴点C的坐标为（0，2），

∵OA=4，

∴A点坐标为（4，0），

∵四边形OABC是矩形，

∴D是AC的中点，

∴D点坐标为（2，1），

当直线经过点D时，可将矩形OABC的面积平分，

由题意得平移后的直线解析式为，

∴，

∴，

故选A．

【点睛】

本题主要考查了一次函数与几何综合，一次函数的平移，矩形的性质，解题的关键在于能够熟知过矩形中心的直线平分矩形面积．

二、填空题

1、（-3，-1）

【分析】

由题意直接根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反进行分析即可得出答案.

【详解】

解：在平面直角坐标系中，与点关于原点对称的点的坐标是（-3，-1）.

故答案为：（-3，-1）.

【点睛】

本题考查的是关于原点的对称的点的坐标，注意掌握平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数．

2、2.5或2．

【分析】

需要分类讨论：①BE1＝E1C，此时点E1是BC的中垂线与AD的交点；②BE＝BC，在直角△ABE中，利用勾股定理求得AE的长度，然后求得DE的长度即可．

【详解】

解：①当BE1＝E1C时，点E1是BC的中垂线与AD的交点，；

②当BC＝BE＝5时，在直角△ABE中，AB＝4，则，

∴．

综上所述，线段DE的长为2.5或2．

故答案是：2.5或2．

【点睛】

本题考查矩形的性质和等腰三角形的性质，勾股定理，在此题中，没有确定等腰三角形的底边，所以需要分类讨论，以防漏解．

3、6

【分析】

根据三角形的中位线等于第三边的一半进行计算即可．

【详解】

解：∵D、E分别是△ABC边AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

∵BC=12，

∴DE=BC=6，

故答案为6．

【点睛】

本题主要考查了三角形中位线定理，熟知三角形中位线定理是解题的关键．

4、2

【分析】

画出图形，直接观察即可解答．

【详解】

解：如图所示，过五边形一个顶点的对角线共有2条；

故答案为：2

．

【点睛】

本题考查了多边形对角线的条数，解题关键是明确过n边形的顶点可引出（n-3）条对角线．

5、6

【分析】

根据内角和等于外角和的2倍则内角和是720°利用多边形内角和公式得到关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．

【详解】

解：根据题意，得

（n﹣2）•180＝360×2，

解得：n＝6．

故这个多边形的边数为6．

故答案为：6．

【点睛】

本题主要考查了多边形的内角和以及外角和，已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．

三、解答题

1、（1）证明见解析；（2）

【分析】

（1）先证明再证明可得从而有 于是可得结论；

（2）先证明再证明，从而可得结论.

【详解】

证明：（1） 四边形ABCD是平行四边形，

，

四边形BEDF是平行四边形.

（2）由（1）得：

四边形BEDF是平行四边形, 四边形ABCD是平行四边形，

，

【点睛】

本题考查的是平行四边形的判定与性质，熟练的运用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形是证明的关键，第（2）问先确定面积为平行四边形ABCD的的三角形是解题的关键.

2、（1）DM=ME，见解析；（2），见解析

【分析】

（1）补全图形，连接AE、AD，通过∠ABE=∠ACD，AB=AC，BE=CD，证明 △ABE ≌ △ACD，得AE=AD，再利用AM⊥DE于M，即可得到DM=EM．

（2）连接AD，AE，BM ，可求出，当时，可得，由（1）得DM=EM，可知BM是△CDE的中位线从而得到，BM∥CD，得到∠ABM=135°=∠ABE．因为N为BE中点，可知从而证明△ABN ≌ △ABM得到AN=AM，由（1），△ABE ≌ △ACD，可证明∠EAB=∠DAC，AD=AE进而得到∠EAD=90°，又因为DM=EM，即可得到．

【详解】

（1）补全图形如下图，

DM与ME之间的数量关系为DM=ME．          

证明：连接AE，AD，

∵ ∠BAC=90°，AB=AC，

∴ ∠ABC=∠ACB=45°．

∴ ∠ABE=180°-∠ABC=135°．

∵ 由旋转，∠BCD=90°，

∴ ∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°．

∴ ∠ABE=∠ACD．

∵ AB=AC，BE=CD，

∴ △ABE ≌ △ACD．       

∴ AE=AD．

∵ AM⊥DE于M，

∴ DM=EM．                              

（2）                                   

证明：连接AD，AE，BM．

∵ AB=AC=1，∠BAC=90°，

∴ ．

∵ ，

∴ ．

∵ 由（1）得DM=EM，

∴ BM是△CDE的中位线． 

∴ ，BM∥CD．

∴ ∠EBM=∠ECD=90°．

∵ ∠ABE=135°，

∴ ∠ABM=135°=∠ABE．

∵ N为BE中点，

∴ ．

∴ BM=BN． 

∵ AB=AB，

∴ △ABN ≌ △ABM．

∴ AN=AM．

∵ 由（1），△ABE ≌ △ACD，

∴ ∠EAB=∠DAC，AD=AE．

∵ ∠BAC=∠DAC+∠DAB=90°，

∴ ∠EAD=90°．

∵ DM=EM，

∴ ．

∴ ．                            

【点睛】

本题考查了旋转的性质和三角形全等的判定及性质，熟练掌握三角形全等的判定及性质是解题的关键．

3、（1）见解析；（2）12，0；-8，0；0，16；（3）①当M的坐标为（2，0）或（4，0）时，△OMN的一条边与BC平行；②当M的坐标为（0，10）或（12，0）或（，0）时，，△MOE是等腰三角形．
 

【分析】

（1）设，，，则，由勾股定理求出，即可得出结论；

（2）由的面积求出m的值，从而得到、、的长，即可得到A、B、C的坐标；

（3）①分当时，；当时，；得出方程，解方程即可；

②由直角三角形的性质得出，根据题意得出为等腰三角形，有3种可能：如果；如果；如果；分别得出方程，解方程即可．

【详解】

解：（1）证明：设，，，则，

在中，，

，

∴是等腰三角形；

（2）∵，，

∴，

∴，，，．

∴A点坐标为（12，0），B点坐标为（-8，0），C点坐标为（0，16），

故答案为：12，0；-8，0；0，16；

（3）①如图3-1所示，

当MN∥BC时，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB，

∵MN∥BC，

∴∠AMN=∠ABC，∠ANM=∠ACB，

∴∠AMN=∠ANM，

∴AM=AN，

∴AM=BM，

∴M为AB的中点，

∵，

∴，

∴，

∴点M的坐标为（2，0）；

如图3-2所示，当ON∥BC时，

同理可得，

∴，

∴M点的坐标为（4，0）；

∴综上所述，当M的坐标为（2，0）或（4，0）时，△OMN的一条边与BC平行；
 

②如图3-3所示，当OM=OE时，

∵E是AC的中点，∠AOC=90°，，

∴，

∴此时M的坐标为（0，10）；

如图3-4所示，当时，

∴此时M点与A点重合，

∴M点的坐标为（12，0）；

如图3-5所示，当OM=ME时，过点E作EF⊥x轴于F，

∵OE=AE，EF⊥OA，

∴，

∴，

设，则，

∵，

∴，

解得，

∴M点的坐标为（，0）；

综上所述，当M的坐标为（0，10）或（12，0）或（，0）时，，△MOE是等腰三角形．

【点睛】

本题主要考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，直角三角形斜边上的直线，三角形面积等等，解题的关键在于能够利用数形结合和分类讨论的思想求解．

4、见解析

【分析】

根据菱形的性质可得AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，再由BE=BF，可推出AE=CF，即可利用SAS证明△ADE≌△CDF得到DE=DF，则∠DEF=∠DFE．

【详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=CD=AD，∠A=∠C，

∵BE=BF，

∴AB-BE=BC-BF，即AE=CF，

∴△ADE≌△CDF（SAS），

∴DE=DF，

∴∠DEF=∠DFE．

【点睛】

本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握菱形的性质．

5、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【分析】

（1）如图，AB=4，BC=3，，利用勾股定理逆定理即可得到△ABC是直角三角形；

（2）如图， ，，利用勾股定理逆定理即可得到△ABC是直角三角形；

（3）如图， ，则，∠ABC=90°，即可得到四边形ABCD是正方形，．

【详解】

解：（1）如图所示，AB=4，BC=3，，

∴，

∴△ABC是直角三角形；

（2）如图所示， ，

∴，

∴△ABC是直角三角形；

（3）如图所示，， ，

∴，

∴∠ABC=90°，

∴四边形ABCD是正方形，

∴．

【点睛】

本题主要考查了有理数与无理数，正方形的判定，勾股定理和勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键．