初中北京课改版第十五章 四边形综合与测试课堂检测

京改版八年级数学下册第十五章四边形定向测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、已知，四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．设有以下条件：①AB＝AD；②AC＝BD；③AO＝CO，BO＝DO；④四边形ABCD是矩形；⑤四边形ABCD是菱形；⑥四边形ABCD是正方形．那么，下列推理不成立的是（　　）

A．①④⇒⑥ B．①③⇒⑤ C．①②⇒⑥ D．②③⇒④

2、下列图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

3、以下分别是回收、节水、绿色包装、低碳4个标志，其中是中心对称图形的是（    ）．

A． B． C． D．

4、菱形ABCD的周长是8cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线BD的长是（　　）

A．cm B．2cm C．1cm D．2cm

5、下列图案中，是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

6、直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（　　）

A．6 B．6.5 C．10 D．13

7、如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　）

A．AB=BE B．DE⊥DC C．∠ADB=90° D．CE⊥DE

8、如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，点E在线段AD上，且AE＝6cm，动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q在线段BC上．以vcm/s的速度由点B向点C运动，当△EAP与△PBQ全等时，v的值为（　　）

A．2 B．4 C．4或 D．2或

9、下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

10、 “垃圾分类，利国利民”，在2019年7月1日起上海开始正式实施垃圾分类，到2020年底先行先试的46个重点城市，要基本建成垃圾分类处理系统．以下四类垃圾分类标志的图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A．可回收物 B．有害垃圾 C．厨余垃圾 D．其他垃圾

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、在四边形ABCD中，若AB//CD，BC_____AD，则四边形ABCD为平行四边形．

2、如图，的度数为_______．

3、在平面直角坐标系中，与点(2，-7)关于y轴对称的点的坐标为____．

4、如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2，E为BC边上一动点，F、G为AD边上两个动点，且∠FEG＝30°，则线段FG的长度最大值为 _____．

5、若一个菱形的两条对角线的长为3和4，则菱形的面积为___________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知：如图，在中，，，．

求证：互相平分．

如图，将矩形纸片ABCD沿对角线AC折叠，使点B落在点E处，AE交CD于点F，且已知AB=8，BC=4

（1）判断△ACF的形状，并说明理由；

（2）求△ACF的面积；

2、如图，将□ABCD的边DC延长到点E，使CE=DC，连接AE，交BC于点F，连接AC、BE．

（1）求证：四边形ABEC是平行四边形；

（2）若∠AFC=2∠ADC，求证：四边形ABEC是矩形．

3、如图：在中，，，点为的中点，点为直线上的动点（不与点，重合），连接，，以为边在的上方作等边，连接．

（1）是________三角形；

（2）如图1，当点在边上时，运用（1）中的结论证明；

（3）如图2，当点在的延长线上时，（2）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由．

4、如图，把矩形纸片放入直角坐标系中，使分别落在x轴，y轴的正半轴上，连接，且．

（1）求所在直线的解析式；

（2）将纸片折叠，使点A与点C重合（折痕为），求折叠后纸片重叠部分的面积；

（3）若过一定点M的任意一条直线总能把矩形的面积分为相等的两部分，则点M的坐标为________．

5、（1）先化简，再求值：（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣2b），其中a＝1，b＝2；

（2）如图，菱形ABCD中，AB＝AC，E、F分别是BC、AD的中点，连接AE、CF．证明：四边形AECF是矩形．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

根据已知条件以及正方形、菱形、矩形、平行四边形的判定条件，对选项进行分析判断即可．

【详解】

解：A、①④可以说明，一组邻边相等的矩形是正方形，故A正确．

B、③可以说明四边形是平行四边形，再由①，一组临边相等的平行四边形是菱形，故B正确．

C、①②，只能说明两组邻边分别相等，可能是菱形，但菱形不一定是正方形，故C错误．

D、③可以说明四边形是平行四边形，再由②可得：对角线相等的平行四边形为矩形，故D正确．

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了特殊四边形的判定，熟练掌握各类四边形的判定条件，是解决本题的关键．

2、B

【详解】

A.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

B. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，故符合题意；

C.是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意；

D.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；

故选B

【点睛】

本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键．在平面内，一个图形经过中心对称能与原来的图形重合，这个图形叫做叫做中心对称图形；一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形．

3、C

【分析】

根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出答案．

【详解】

解：A、此图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、此图形是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、此图形不是中心对称图形，故此选项不符合题意．
故选：C．

【点睛】

此题主要考查了中心对称图形的定义，关键是找出图形的对称中心．

4、B

【分析】

由菱形的性质得AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，再证△ABC是等边三角形，得AC＝AB＝2（cm），则OA＝1（cm），然后由勾股定理求出OB＝（cm），即可求解．

【详解】

解：∵菱形ABCD的周长为8cm，

∴AB＝BC＝2（cm），OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，

∵∠ABC＝60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴AC＝AB＝2cm，

∴OA＝1（cm），

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OB＝＝＝（cm），

∴BD＝2OB＝2（cm），

故选：B．

【点睛】

此题考查了菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，勾股定理，等边三角形的性质和判定方法．

5、B

【分析】

由题意依据一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形对各选项分析判断即可．

【详解】

解：A、C、D都是轴对称图形，只有B选项是中心对称图形.

故选：B.

【点睛】

本题考查中心对称图形的识别，注意掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

6、B

【分析】

根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．

【详解】

解：∵直角三角形两直角边长为5和12，

∴斜边＝，

∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查勾股定理及直角三角形斜边中线定理，熟练掌握勾股定理及直角三角形斜边中线定理是解题的关键．

7、B

【分析】

先证明四边形BCED为平行四边形，再根据矩形的判定进行解答．

【详解】

解：∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AD∥BC，且AD=BC，

又∵AD=DE，

∴DE∥BC，且DE=BC，

∴四边形BCED为平行四边形，

A、∵AB=BE，DE=AD，

∴BD⊥AE，

∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；

B、∵DE⊥DC，

∴∠EDB=90°+∠CDB＞90°，

∴四边形DBCE不能为矩形，故本选项符合题意；

C、∵∠ADB=90°，

∴∠EDB=90°，

∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意；

D、∵CE⊥DE，

∴∠CED=90°，

∴□DBCE为矩形，故本选项不符合题意．

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定和性质、矩形的判定等知识，判定四边形BCED为平行四边形是解题的关键．

8、D

【分析】

根据题意可知当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：①当EA=PB时，△APE≌△BQP，②当AP=BP时，△AEP≌△BQP，分别按照全等三角形的性质及行程问题的基本数量关系求解即可．

【详解】

解：当△EAP与△PBQ全等时，有两种情况：
①当EA=PB时，△APE≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴BP=AE=6cm，AP=4cm，
∴BQ=AP=4cm；
∵动点P在线段AB上，从点A出发以2cm/s的速度向点B运动，
∴点P和点Q的运动时间为：4÷2=2s，
∴v的值为：4÷2=2cm/s；
②当AP=BP时，△AEP≌△BQP（SAS），
∵AB=10cm，AE=6cm，
∴AP=BP=5cm，BQ=AE=6cm，
∵5÷2=2.5s，
∴2.5v=6，
∴v=．
故选：D．

【点睛】

本题考查矩形的性质及全等三角形的判定与性质等知识点，注意数形结合和分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．

9、C

【分析】

根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

C、是中心对称图形，故此选项符合题意；

D、不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选C．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形的识别，解题的关键在于能够熟练掌握中心对称图形的定义：

把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

10、B

【分析】

由题意根据轴对称图形和中心对称图形的定义对各选项进行判断，即可得出答案．

【详解】

解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】

本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念，注意掌握判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

二、填空题

1、

【分析】

根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可解决问题．

【详解】

解：根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可知：

∵AB//CD，BC//AD，

∴四边形ABCD为平行四边形．

故答案为：//．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．

2、

【分析】

根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

【详解】

解：如图，

∵∠1=∠D+∠F，∠2=∠A+∠E，∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：．

【点睛】

本题考查了四边形的内角和，三角形的外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．

3、（-2，-7）

【分析】

根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”解答即可．

【详解】

解：点（2，-7）关于y轴对称的点的坐标是（-2，-7）．

故答案为：（-2，-7）．

【点睛】

解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；（3）关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．

4、

【分析】

如图所示，在中，FG边的高为AB=2，∠FEG=30°，为定角定高的三角形，故当E与B点或C点重合，G与D点重合或F与A点重合时，FG的长度最大，则由矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2可知，∠ABD=60°，故∠ABF=60°-30°=30°，则AF=，则FG=AD-AF=．

【详解】

如图所示，在中，FG边的高为AB=2，∠FEG=30°，为定角定高的三角形

故当E与B点或C点重合，G与D点重合或F与A点重合时，FG的长度最大

∵矩形ABCD中，AB＝2，AD＝2

∴∠ABD=60°

∴∠ABF=60°-30°=30°

∴AF=

∴FG=AD-AF=．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了四边形中动点问题，图解法数学思想依据是数形结合思想． 它的应用能使复杂问题简单化、 抽象问题具体化． 特殊四边形的几何问题， 很多困难源于问题中的可动点． 如何合理运用各动点之间的关系，同学们往往缺乏思路， 常常导致思维混乱．实际上求解特殊四边形的动点问题，关键是是利用图解法抓住它运动中的某一瞬间，寻找合理的代数关系式， 确定运动变化过程中的数量关系， 图形位置关系， 分类画出符合题设条件的图形进行讨论， 就能找到解决的途径， 有效避免思维混乱．

5、6

【分析】

由题意直接由菱形的面积等于对角线乘积的一半进行计算即可．

【详解】

解：菱形的面积.

故答案为：6.

【点睛】

本题考查菱形的性质，熟练掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．

三、解答题

1、证明见解析

【分析】

连接,由三角形中位线定理可得，，可证四边形ADEF是平行四边形，由平行四边形的性质可得AE，DF互相平分；

【详解】

证明：连接,

∵AD＝DB，BE＝EC，

∴，

∵BE＝EC，AF＝FC，

∴，

∴四边形ADEF是平行四边形，

∴AE，DF互相平分．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质判定和性质及三角形中位线定理，灵活运用这些性质是解题的关键．

(1)△ACF是等腰三角形，理由见解析；(2)10；(3)

2、（1）证明见解析；（2）证明见解析；

【分析】

（1）根据平行四边形的性质得到，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，，利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”判断即可；

（2）由（1）得的结论得四边形ABEC是平行四边形，再通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，可得结论．

【详解】

证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴，AB=CD，

∵CE=DC，

∴AB=EC，，

∴四边形ABEC是平行四边形；

（2）∵由（1）知，四边形ABEC是平行四边形，

∴FA=FE，FB=FC．

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴∠ABC=∠D．

又∵∠AFC=2∠ADC，

∴∠AFC=2∠ABC．

∵∠AFC=∠ABC+∠BAF，

∴∠ABC=∠BAF，

∴FA=FB，

∴FA=FE=FB=FC，

∴AE=BC，

∴四边形ABEC是矩形．

【点睛】

本题考查的是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，关键是先由平行四边形的性质证三角形全等，然后推出平行四边形，再通过角的关系证矩形．

3、（1）等边；（2）见解析；（3）成立，理由见解析

【分析】

（1）根据含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明，即可证明△OBC是等边三角形；
（2）先证明，即可利用SAS证明，得到；

（3）先证明，即可利用SAS证明，得到．

【详解】

（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，O是AB的中点，

∴，

∴△OBC是等边三角形，

故答案为：等边；

（2）由（1）可知，，，

是等边三角形，

，，

，即，

在和中

，

，

；

（3）成立，

证明：由（1）可知，，，

是等边三角形，

，，

，即，

在和中

，

，

．

【点睛】

本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．

4、（1）；（2）10；（3）（4，2）．

【分析】

（1）首先根据勾股定理求出OC=4，OA=8，然后利用待定系数法求解所在直线的解析式即可；

（2）首先由折叠的性质得到AE=CE，然后在Rt△OCE中，根据勾股定理求出AE=CE=5，然后根据等腰三角形的性质求出CF=CE=5，最后根据三角形面积公式求解即可；

（3）根据矩形的中心对称性质可得点M为矩形ABCD对角线的交点，然后根据中点坐标公式求解即可．

【详解】

解：（1）∵OA=2CO，

设OC=x，则OA=2x

在Rt△AOC中，由勾股定理可得OC2+OA2=AC2，

∴x2+（2x）2=（4）2

解得x=4（x=﹣4舍去）

∴OC=4，OA=8

∴A（8，0），C（0，4）

设直线AC解析式为y=kx+b，

∴，解得，

∴直线AC解析式为y=﹣x+4；

（2）由折叠得AE=CE，

设AE=CE=y，则OE=8﹣y，

在Rt△OCE中，由勾股定理可得OE2+OC2=CE2，

∴（8﹣y）2+42=y2

解得y=5

∴AE=CE=5

在矩形OABC中，

∵BCOA，

∴∠CFE=∠AEF，

由折叠得∠AEF=∠CEF，

∴∠CFE=∠CEF

∴CF=CE=5

∴S△CEF=CF•OC=×5×4=10

即重叠部分的面积为10；

（3）∵矩形是一个中心对称图形，对称中心是对角线的交点，

∴任何一个经过对角线交点的直线都把矩形的面积平分，

所以点M即为矩形ABCD对角线的交点，即M点为AC的中点，

∵A（8，0），C（0，4），

∴M点坐标为（4，2）．

【点睛】

此题考查了矩形的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数表达式等知识，，解题的关键是熟练掌握矩形的性质，勾股定理，待定系数法求一次函数表达式．

5、（1），0；（2）证明见解析．

【分析】

（1）根据整式的乘法运算法则先去括号，然后合并同类项化简，然后代入求解即可；

（2）首先根据菱形的性质得到，，然后根据E、F分别是BC、AD的中点，得出，根据一组对边平行且相等证明出四边形AECF是平行四边形，然后根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可证明出四边形AECF是矩形．

【详解】

（1）（a+b）（a﹣b）﹣a（a﹣2b）

将a＝1，b＝2代入得：原式＝；

（2）如图所示，

∵四边形ABCD是菱形，

∴，且，

又∵E、F分别是BC、AD的中点，

∴，

∴四边形AECF是平行四边形，

∵AB＝AC，E是BC的中点，

∴，即，

∴平行四边形AECF是矩形．

【点睛】

此题考查了整式的混合运算，代数式求值问题，菱形的性质和矩形的判定，解题的关键是熟练掌握整式的混合运算法则，菱形的性质和矩形的判定定理．