数学八年级下册第十五章 四边形综合与测试复习练习题

京改版八年级数学下册第十五章四边形定向攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，在△ABC中，AC=BC=8，∠BCA=60°，直线AD⊥BC于点D，E是AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C按逆时针方向旋转60°得到FC，连接DF，则在点E的运动过程中，DF的最小值是（    ）

A．1 B．1.5 C．2 D．4

2、如图，将矩形纸片ABCD沿BD折叠，得到△BC′D，C′D与AB交于点E，若∠1＝40°，则∠2的度数为（　　）

A．25° B．20° C．15° D．10°

3、如图，以O为圆心，长为半径画弧别交于A、B两点，再分别以A、B为圆心，以长为半径画弧，两弧交于点C，分别连接、，则四边形一定是（    ）

A．梯形 B．菱形 C．矩形 D．正方形

4、下列图形中，是中心对称图形的是（　　）

A． B．

C． D．

5、将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若＝10°，则∠EAF的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°

6、若一个正多边形的每一个外角都等于36°，则这个正多边形的边数是（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

7、下列图形既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

8、在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使其与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（　　）

A． B． C． D．

9、如图，在矩形ABCD中，点O为对角线BD的中点，过点O作线段EF交AD于F，交BC于E，OB＝EB，点G为BD上一点，满足EG⊥FG，若∠DBC＝30°，则∠OGE的度数为（　　）

A．30° B．36° C．37.5° D．45°

10、勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是数形结合的重要纽带．数学家欧几里得利用如图验证了勾股定理：以直角三角形ABC的三条边为边长向外作正方形ACHI，正方形ABED，正方形BCGF，连接BI，CD，过点C作CJ⊥DE于点J，交AB于点K．设正方形ACHI的面积为S1，正方形BCGF的面积为S2，长方形AKJD的面积为S3，长方形KJEB的面积为S4，下列结论：①BI＝CD；②2S△ACD＝S1；③S1＋S4＝S2＋S3；④＋＝．其中正确的结论有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、在平行四边形ABCD中，若∠A=130°，则∠B=______，∠C=______，∠D=______．

2、如图，的度数为_______．

3、若点P(m﹣1，5)与点Q(﹣3，n)关于原点成中心对称，则m﹣n的值是___．

4、如图，直线l经过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1，3，则正方形ABCD的面积是 _____．

5、在平面直角坐标系中，点P(-3，7)关于原点对称的点的坐标是______．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、已知：如图，，，AD是BC上的高线，CE是AB边上的中线，于G．

（1）若，求线段AC的长；

（2）求证：．

2、如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是BC边上一点，连接AE，将∠B沿直线AE折叠，使点B落在点处．

（1）如图1，当点E与点C重合时，与AD交于点F，求证：FA＝FC；

（2）如图2，当点E不与点C重合，且点在对角线AC上时，求CE的长．

3、如图，在中，对角线AC、BD交于点O，AB=10，AD=8，AC⊥BC，求

（1）的面积；

（2）△AOD的周长．

4、如图，四边形ABCD是平行四边形，∠BAC＝90°．

（1）尺规作图：在BC上截取CE，使CE＝CD，连接DE与AC交于点F，过点F作线段AD的垂线交AD于点M；（不写作法，保留作图痕迹）

（2）在（1）的条件下，猜想线段FM和CF的数量关系，并证明你的结论．

5、如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，点E是边BC延长线上一点，连接AE、DE，过点C作CF⊥DE于点F，且DF＝EF．

（1）求证：AD＝CE．   

（2）若CD＝5，AC＝6，求△AEB的面积．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

取线段AC的中点G，连接EG，根据等边三角形的性质以及角的计算即可得出CD=CG以及∠FCD=∠ECG，由旋转的性质可得出EC=FC，由此即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△FCD≌△ECG，进而即可得出DF=GE，再根据点G为AC的中点，即可得出EG的最小值，此题得解．

【详解】

解：取线段AC的中点G，连接EG，如图所示．

∵AC=BC=8，∠BCA=60°，
∴△ABC为等边三角形，且AD为△ABC的对称轴，
∴CD=CG=AB=4，∠ACD=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠FCD=∠ECG，
在△FCD和△ECG中，

，
∴△FCD≌△ECG（SAS），
∴DF=GE．
当EG∥BC时，EG最小，
∵点G为AC的中点，
∴此时EG=DF=CD=BC=2．
故选：C．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质以及全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，解题的关键是通过全等三角形的性质找出DF=GE，本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据全等三角形的性质找出相等的边是关键．

2、D

【分析】

根据矩形的性质，可得∠ABD＝40°，∠DBC＝50°，根据折叠可得∠DBC′＝∠DBC＝50°，最后根据∠2＝∠DB C′−∠DBA进行计算即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC＝90°，CD∥AB，
∴∠ABD=∠1＝40°，

∴∠DBC＝∠ABC-∠ABD=50°，
由折叠可得∠DB C′＝∠DBC＝50°，
∴∠2＝∠DB C′−∠DBA＝50°−40°＝10°，
故选D．

【点睛】

本题考查了长方形性质，平行线性质，折叠性质，角的有关计算的应用，关键是求出∠DBC′和∠DBA的度数．

3、B

【分析】

根据题意得到，然后根据菱形的判定方法求解即可．

【详解】

解：由题意可得：，

∴四边形是菱形．

故选：B．

【点睛】

此题考查了菱形的判定，解题的关键是熟练掌握菱形的判定方法．菱形的判定定理：①四条边都相等四边形是菱形；②一组邻边相等的平行四边形是菱形；③对角线垂直的平行四边形是菱形．

4、D

【分析】

把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【详解】

A、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

B、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故此选项不合题意；

D、是中心对称图形，故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】

本题考查了中心对称图形的概念，理解概念并知道一些常见的中心对称图形是关键．

5、A

【分析】

可以设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠可得∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，用α，β表示∠DAF＝10°+β，∠BAE＝10°+α，根据四边形ABCD是矩形，利用∠DAB＝90°，列方程10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，求出α+β＝30°即可求解．

【详解】

解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，

根据折叠性质可知：

∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，

∵∠B′AD′＝10°，

∴∠DAF＝10°+β，

∠BAE＝10°+α，

∵四边形ABCD是矩形

∴∠DAB＝90°，

∴10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，

∴α+β＝30°，

∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′，

＝10°+α+β，

＝10°+30°，

＝40°．

则∠EAF的度数为40°．

故选：A．

【点睛】

本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．

6、D

【分析】

根据多边形外角和定理求出正多边形的边数．

【详解】

∵正多边形的每一个外角都等于36°，

∴正多边形的边数＝＝10．

故选：D．

【点睛】

本题考查了多边形内角与外角，根据外角和的大小与多边形的边数无关，由外角和求正多边形的边数，是常见的题目，需要熟练掌握．

7、D

【分析】

一个图形绕着某固定点旋转180度后能够与原来的图形重合，则称这个图形是中心对称图形，这个固定点叫做对称中心；如果一个图形沿着某条直线对折后，直线两旁的部分能够重合，则称这个图形是轴对称图形，这条直线叫做对称轴；根据这两个概念逐项判断即可．

【详解】

A、既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故不符合题意；

B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；

C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；

D、既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意．

【点睛】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的识别，掌握它们的概念是关键．

8、B

【分析】

利用中心对称图形的定义判断即可．

【详解】

解：根据中心对称图形的定义可知，②满足条件．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，明确将一个图形绕一点旋转180°后与本身重合的图形叫做中心对称图形是解题的关键．

9、C

【分析】

根据矩形和平行线的性质，得；根据等腰三角形和三角形内角和性质，得；根据全等三角形性质，通过证明，得；根据直角三角形斜边中线、等腰三角形、三角形内角和性质，推导得，再根据余角的性质计算，即可得到答案．

【详解】

∵矩形ABCD

∴

∴

∵OB＝EB，

∴

∴

∵点O为对角线BD的中点，

∴

和中

∴

∴

∵EG⊥FG，即

∴

∴

∴

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形、平行线、全等三角形、等腰三角形、三角形内角和、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握矩形、全等三角形、等腰三角形、直角三角形斜边中线的性质，从而完成求解．

10、C

【分析】

根据SAS证△ABI≌△ADC即可得证①正确，过点B作BM⊥IA，交IA的延长线于点M，根据边的关系得出S△ABI＝S1，即可得出②正确，过点C作CN⊥DA交DA的延长线于点N，证S1＝S3即可得证③正确，利用勾股定理可得出S1+S2＝S3+S4，即能判断④不正确．

【详解】

解：①∵四边形ACHI和四边形ABED都是正方形，

∴AI＝AC，AB＝AD，∠IAC＝∠BAD＝90°，

∴∠IAC+∠CAB＝∠BAD+∠CAB，

即∠IAB＝∠CAD，

在△ABI和△ADC中，

，

∴△ABI≌△ADC（SAS），

∴BI＝CD，

故①正确；

②过点B作BM⊥IA，交IA的延长线于点M，

∴∠BMA＝90°，

∵四边形ACHI是正方形，

∴AI＝AC，∠IAC＝90°，S1＝AC2，

∴∠CAM＝90°，

又∵∠ACB＝90°，

∴∠ACB＝∠CAM＝∠BMA＝90°，

∴四边形AMBC是矩形，

∴BM＝AC，

∵S△ABI＝AI•BM＝AI•AC＝AC2＝S1，

由①知△ABI≌△ADC，

∴S△ACD＝S△ABI＝S1，

即2S△ACD＝S1，

故②正确；

③过点C作CN⊥DA交DA的延长线于点N，

∴∠CNA＝90°，

∵四边形AKJD是矩形，

∴∠KAD＝∠AKJ＝90°，S3＝AD•AK，

∴∠NAK＝∠AKC＝90°，

∴∠CNA＝∠NAK＝∠AKC＝90°，

∴四边形AKCN是矩形，

∴CN＝AK，

∴S△ACD＝AD•CN＝AD•AK＝S3，

即2S△ACD＝S3，

由②知2S△ACD＝S1，

∴S1＝S3，

在Rt△ACB中，AB2＝BC2+AC2，

∴S3+S4＝S1+S2，

又∵S1＝S3，

∴S1+S4＝S2+S3， 

即③正确；

④在Rt△ACB中，BC2+AC2＝AB2，

∴S3+S4＝S1+S2，

∴，

故④错误；

综上，共有3个正确的结论，

故选：C．

【点睛】

本题主要考查勾股定理，正方形的性质，矩形性质，全等三角形的判定和性质等知识，熟练掌握勾股定理和全等三角形的判定和性质是解题的关键．

二、填空题

1、           

【分析】

利用平行四边形的性质：邻角互补，对角相等，即可求得答案．

【详解】

解：在平行四边形ABCD中，、是的邻角，是的对角，

，，

故答案为： ，，．

【点睛】

本题主要是考查了平行四边形的性质：对角相等，邻角互补，熟练掌握平行四边形的性质，求解决本题的关键．

2、

【分析】

根据三角形外角的性质和四边形内角和等于360°可得∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．

【详解】

解：如图，

∵∠1=∠D+∠F，∠2=∠A+∠E，∠1+∠2+∠B+∠C=360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=360°．
故答案为：．

【点睛】

本题考查了四边形的内角和，三角形的外角的性质，掌握三角形外角的性质是解题的关键．

3、9

【分析】

根据关于原点对称点的坐标特征求出、的值，再代入计算即可．

【详解】

解：点与点关于原点成中心对称，

，，

即，，

，

故答案为：9．

【点睛】

本题考查关于原点对称的点坐标特征，解题的关键是掌握关于原点对称的点坐标特征，即纵坐标互为相反数，横坐标也互为相反数．

4、10

【分析】

根据正方形的性质，结合题意易求证，，，即可利用“ASA”证明，得出．最后根据勾股定理可求出，即正方形的面积为10．

【详解】

∵四边形ABCD是正方形，

∴，，

∴．

根据题意可知：，，

∴，，

∴在和中，，

∴，

∴．

∵在中，，

∴正方形ABCD的面积是10．

故答案为：10．

【点睛】

本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理．利用数形结合的思想是解答本题的关键．

5、 (3，-7)

【分析】

根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，可得答案．

【详解】

解：在平面直角坐标系中，点P（-3，7）关于原点对称的点的坐标是（3，-7），

故答案为：（3，-7）．

【点睛】

本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数．

三、解答题

1、（1）；（2）见解析

【分析】

（1）根据30°角所对直角边等于斜边的一半，得到AD=3，根据等腰直角三角形，得到CD=AD=3，根据勾股定理，得到AC的长即可；

（2）根据斜边上的中线等于斜边的一半，得到DE=DC，根据等腰三角形三线合一性质，证明即可．

【详解】

（1）

，

；

（2）连接DE

，

，

，，

，

，

．

【点睛】

本题考查了30°角的性质，等腰直角三角形的性质，斜边上中线的性质，等腰三角形三线合一性质，熟练掌握性质是解题的关键．

2、（1）见解析；（2）CE=．

【分析】

（1）根据平行线的性质及折叠性质证明∠FAC=∠FCA即可．

（2）由题意可得，根据勾股定理求出AC=5，进而求出B'C=2，设CE= x．然后在Rt△中，根据勾股定理EC2=2+2列方程求解即可；

【详解】

解：（1）如图1，

∵四边形ABCD是矩形，

∴ADBC，

∴∠FAC=∠ACB，

∵∠ACB=∠ACF，

∴∠FAC=∠FCA，

∴FA=FC．

 （2）∵，如图2， 设CE= x，

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=90°，

∴AC2=AB2+BC2= 32+42=25，

∴AC=5，

由折叠可知：，，，

∴=5-3=2，

在Rt△中，EC2=2+2

∴x2=（4-x）2+22，

∴x=，

∴CE=．

【点睛】

本题属于矩形折叠问题，考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．

3、（1）48（2）

【分析】

（1）利用勾股定理先求出高AC，故可求解面积；

（2）根据平行四边形的性质求出AO，再利用勾股定理求出OB的长，故可求解．

【详解】

解：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，且AD=8

∴BC=AD=8

∵AC⊥BC

∴∠ACB=90°

在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2=AB2-BC2

∴

∴

（2）∵四边形ABCD是平行四边形，且AC=6

∴

∵∠ACB=90°，BC=8

∴，

∴

∴．

【点睛】

此题主要考查平行四边形的性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及勾股定理的应用．

4、（1）图形见解析；（2），证明见解析

【分析】

（1）以C为圆心CD长为半径画弧于BC交点即为E；连DE与AC交点即为F；过F作AD的垂直平分线与AD交点即为M；

（2）证明DF平分，再利用角平分线的性质判定即可．

【详解】

（1）图形如下：

（2），证明如下：

由（1）可得：,CE＝CD

∴

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AD∥BC，AB∥CD

∴,

∴

即DF平分

∵∠BAC＝90°

∴

∴

【点睛】

本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行四边形的判定与性质．

5、（1）见解析；（2）39

【分析】

（1）首先根据CF⊥DE，DF＝EF得出CF为DE的中垂线，然后根据垂直平分线的性质得到CD＝CE，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到CD＝AD，即可证明AD＝CE；

（2）由（1）得CD＝CE=AB=5，由勾股定理求出BC，然后结合三角形的面积公式进行计算．

【详解】

（1）证明：∵DF＝EF 

∴点F为DE的中点

又∵CF⊥DE 

∴CF为DE的中垂线

∴CD＝CE

又∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

CD是斜边AB上的中线

∴CD＝=AD

∴AD＝CE

（2）解：由（1）得CD＝CE==5

∴AB=10 

∴在Rt△ABC中，BC==8

∴EB=EC+BC=13

∴ ．

【点睛】

此题考查了垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式等知识，解题的关键是熟练掌握垂直平分线的判定和性质，直角三角形性质，三角形面积公式．