北京课改版八年级下册第十五章 四边形综合与测试习题

京改版八年级数学下册第十五章四边形定向训练

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，若∠AOD＝120°，AC＝16，则AB的长为（　　）

A．16 B．12 C．8 D．4

2、下列说法中，不正确的是（    ）

A．四个角都相等的四边形是矩形

B．对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形

C．正方形的对角线所在的直线是它的对称轴

D．一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形

3、下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有几个（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

4、如图，矩形OABC的边OA长为2，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（    ）

A．2.5 B．2 C． D．

5、下列各曲线是在平面直角坐标系xOy中根据不同的方程绘制而成的，其中是中心对称图形的是（   ）

A． B． 

C． D．

6、下列∠A：∠B：∠C：∠D的值中，能判定四边形ABCD是平行四边形的是（    ）

A．1：2：3：4 B．1：4：2：3

C．1：2：2：1 D．3：2：3：2

7、将一张长方形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、AF为折痕，点B、D折叠后的对应点分别为、，若＝10°，则∠EAF的度数为（　　）

A．40° B．45° C．50° D．55°

8、在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，使其与图中阴影部分构成中心对称图形．该小正方形的序号是（　　）

A． B． C． D．

9、下列图案中，是中心对称图形的是（    ）

A． B． C． D．

10、在Rt△ABC中，∠C＝90°，若D为斜边AB上的中点，AB的长为10，则DC的长为（    ）

A．5 B．4 C．3 D．2

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，取AD的中点E，连接EB，延长DA至F，使EF＝EB，以线段AF为边作正方形AFGH，点H在线段AB上，则的值是 _____．

2、如图，在长方形ABCD中，．在DC上找一点E，沿直线AE把折叠，使D点恰好落在BC上，设这一点为F，若的面积是54，则的面积=______________．

3、若一个多边形的内角和是外角和的倍，则它的边数是_______．

4、菱形ABCD的周长为，对角线AC和BD相交于点O，AO：BO=1：2，则菱形ABCD的面积为________．

5、若正边形的每个内角都等于120°，则这个正边形的边数为________．

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在中，，斜边，过点作，以AB为边作菱形ABEF，若，求的面积．

2、如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上一点，且△ACE是等边三角形．

（1）求证：四边形ABCD是菱形；

（2）若∠AED＝2∠EAD，AB＝a，求四边形ABCD的面积．

3、已知：▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，M是AO的中点，N是CO的中点，求证：BM∥DN，BM=DN．

4、如图：在中，，，点为的中点，点为直线上的动点（不与点，重合），连接，，以为边在的上方作等边，连接．

（1）是________三角形；

（2）如图1，当点在边上时，运用（1）中的结论证明；

（3）如图2，当点在的延长线上时，（2）中的结论是否依然成立？若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由．

5、如图，在中，AD＞AB，∠ABC的平分线交AD于点F，EFAB交BC于点E．

（1）求证：四边形ABEF是菱形；

（2）若AB=5，AE=6，的面积为36，求DF的长．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

由题意可得AO＝BO＝CO＝DO＝8，可证△ABO是等边三角形，可得AB＝8．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形，

∴AC＝2AO＝2CO，BD＝2BO＝2DO，AC＝BD＝16，

∴OA＝OB＝8，

∵∠AOD＝120°，

∴∠AOB＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴AB＝AO＝BO＝8，

故选：C．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，等边三角形的性质和判定，熟练掌握矩形的性质是本题的关键．

2、D

【分析】

根据矩形的判定，正方形的性质，菱形和平行四边形的判定对各选项分析判断后利用排除法求解．

【详解】

解：A、四个角都相等的四边形是矩形，说法正确；

B、正方形的对角线所在的直线是它的对称轴，说法正确；

C、对角线互相平分且平分每一组对角的四边形是菱形，说法正确；

D、一组对边相等且平行的四边形是平行四边形，原说法错误；

故选：D．

【点睛】

本题主要考查特殊平行四边形的判定与性质，熟练掌握特殊平行四边形相关的判定与性质是解答本题的关键．

3、A

【分析】

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】

解：第一个图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

第二个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

第三个图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

第四个图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；

既是中心对称图形又是轴对称图形的只有1个，

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

4、D

【分析】

利用矩形的性质，求证明，进而在中利用勾股定理求出的长度，弧长就是的长度，利用数轴上的点表示，求出弧与数轴交点表示的实数即可．

【详解】

解：四边形OABC是矩形，

，

在中，由勾股定理可知：，

，

弧长为，故在数轴上表示的数为，

故选：．

【点睛】

本题主要是考查了矩形的性质、勾股定理解三角形以及数轴上的点的表示，熟练利用矩形性质，得到直角三角形，然后通过勾股定理求边长，是解决该类问题的关键．

5、C

【分析】

利用中心对称图形的定义：旋转能与自身重合的图形即为中心对称图形，即可判断出答案．

【详解】

解：A、不是中心对称图形，故A错误．

B、不是中心对称图形，故B错误．

C、是中心对称图形，故C正确．

D、不是中心对称图形，故D错误．

故选：C．

【点睛】

本题主要是考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对图形的定义，是解决该题的关键．

6、D

【分析】

两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以∠A和∠C是对角，∠B和∠D是对角，对角的份数应相等．

【详解】

解：根据平行四边形的判定：两组对角分别相等的四边形是平行四边形，所以只有D符合条件．

故选：D．

【点睛】

本题考查了平行四边形的判定，在应用判定定理判定平行四边形时，应仔细观察题目所给的条件，仔细选择适合于题目的判定方法进行解答，避免混用判定方法．

7、A

【分析】

可以设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，根据折叠可得∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，用α，β表示∠DAF＝10°+β，∠BAE＝10°+α，根据四边形ABCD是矩形，利用∠DAB＝90°，列方程10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，求出α+β＝30°即可求解．

【详解】

解：设∠EAD′＝α，∠FAB′＝β，

根据折叠性质可知：

∠DAF＝∠D′AF，∠BAE＝∠B′AE，

∵∠B′AD′＝10°，

∴∠DAF＝10°+β，

∠BAE＝10°+α，

∵四边形ABCD是矩形

∴∠DAB＝90°，

∴10°+β+β+10°+10°+α+α＝90°，

∴α+β＝30°，

∴∠EAF＝∠B′AD′+∠D′AE+∠FAB′，

＝10°+α+β，

＝10°+30°，

＝40°．

则∠EAF的度数为40°．

故选：A．

【点睛】

本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系．

8、B

【分析】

利用中心对称图形的定义判断即可．

【详解】

解：根据中心对称图形的定义可知，②满足条件．

故选：．

【点睛】

本题主要考查了利用旋转设计图案和中心对称图形的定义，明确将一个图形绕一点旋转180°后与本身重合的图形叫做中心对称图形是解题的关键．

9、B

【分析】

由题意依据一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形对各选项分析判断即可．

【详解】

解：A、C、D都是轴对称图形，只有B选项是中心对称图形.

故选：B.

【点睛】

本题考查中心对称图形的识别，注意掌握中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

10、A

【分析】

利用直角三角形斜边的中线的性质可得答案．

【详解】

解：∵∠C=90°，若D为斜边AB上的中点，
∴CD=AB，
∵AB的长为10，
∴DC=5，
故选：A．

【点睛】

此题主要考查了直角三角形斜边的中线，关键是掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．

二、填空题

1、

【分析】

设，由正方形的性质和勾股定理求出的长，可得的长，再求出的长，得出的长，进而可得结果．

【详解】

解：设，

四边形为正方形，

，，

点为的中点，

，

，

，

，

四边形为正方形，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了正方形的性质以及勾股定理，解题的关键是熟练掌握正方形的性质，由勾股定理求出的长．

2、6

【分析】

根据三角形的面积求出BF，利用勾股定理列式求出AF，再根据翻折变换的性质可得AD=AF，然后求出CF，设DE=x，表示出EF、EC，然后在Rt△CEF中，利用勾股定理列方程求解和三角形的面积公式解答即可．

【详解】

解：∵四边形ABCD是矩形

∴AB=CD=9，BC=AD

∵•AB•BF＝54，

∴BF=12．            

在Rt△ABF中，AB=9，BF=12，

由勾股定理得，．

∴BC=AD=AF=15，

∴CF=BC-BF=15-12=3．

设DE=x，则CE=9-x，EF=DE=x．

则x2=（9-x）2+32，

解得，x=5．

∴DE=5．    

∴EC=DC-DE=9-5=4．    

∴△FCE的面积=×4×3=6．

【点睛】

本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，三角形的面积，勾股定理，熟记各性质并利用勾股定理列出方程是解题的关键．

3、

【分析】

根据多边形的内角和公式（n−2）•180°以及外角和定理列出方程，然后求解即可．

【详解】

解：设这个多边形的边数是n，
根据题意得，（n−2）•180°＝2×360°，
解得n＝6．
答：这个多边形的边数是6．
故答案为：6．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，需要注意，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．

4、4

【分析】

根据菱形的性质求得边长，根据AO：BO=1：2，求得对角线的长，进而根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解．

【详解】

解：如图

四边形是菱形

，

菱形ABCD的周长为，

AO：BO=1：2，

故答案为：4

【点睛】

本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的面积等于对角线乘积的一半是解题的关键．

5、6

【分析】

多边形的内角和可以表示成，因为所给多边形的每个内角均相等，故又可表示成，列方程可求解．

【详解】

解：设所求正边形边数为，

则，

解得，

故答案是：6．

【点睛】

本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解题的关键是要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．

三、解答题

1、4

【分析】

分别过点E、C作EH、CG垂直AB,垂足为点H、G,则CG是斜边AB上的高；在菱形ABEF中， 利用平行线的性质不难得到CG=EH;菱形的对角相等，四条边相等，联系含30°角的直角三角形的性质求出EH,问题即可解答。

【详解】

解：如图，分别过作垂足为点

四边形ABEF为菱形，

，，

，

在中， ，

根据题意，，根据平行线间的距离处处相等，

.

答：的面积为４.

【点睛】

本题考查了菱形的性质，直角三角形的性质，平行线间的距离及三角形面积的计算，正确利用菱形的四边相等及直角三角形中，30角所对直角边是斜边的一半是解题的关键．

2、（1）见解析；（2）正方形ABCD的面积为

【分析】

（1）由等边三角形的性质得EO⊥AC，即BD⊥AC，再根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可得出结论；

（2）证明菱形ABCD是正方形，即可得出答案．

【详解】

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AO＝OC，

∵△ACE是等边三角形，

∴EO⊥AC （三线合一），

即BD⊥AC，

∴▱ABCD是菱形；

（2）解：∵△ACE是等边三角形，

∴∠EAC＝60°

由（1）知，EO⊥AC，AO＝OC

∴∠AEO＝∠OEC＝30°，△AOE是直角三角形，

∵∠AED＝2∠EAD，

∴∠EAD＝15°，

∴∠DAO＝∠EAO﹣∠EAD＝45°，

∵▱ABCD是菱形，

∴∠BAD＝2∠DAO＝90°，

∴菱形ABCD是正方形，

∴正方形ABCD的面积＝AB2＝a2．

【点睛】

本题考查了菱形的判定与性质、正方形的判定与性质、平行四边形的性质、等边三角形的性质等知识，证明四边形ABCD为菱形是解题的关键．

3、见解析

【分析】

连接，根据平行四边形的性质可得AO=OC，DO=OB，由M是AO的中点，N是CO的中点，进而可得MO=ON,进而即可证明四边形是平行四边形，即可得证．

【详解】

如图，连接，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AO=OC，DO=OB．

∵M为AO的中点，N为CO的中点，

即

∴MO=ON．

四边形是平行四边形，

∴BM∥DN，BM=DN．

【点睛】

本题考查了平行四边形的性质与判定，掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键．

4、（1）等边；（2）见解析；（3）成立，理由见解析

【分析】

（1）根据含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可证明，即可证明△OBC是等边三角形；
（2）先证明，即可利用SAS证明，得到；

（3）先证明，即可利用SAS证明，得到．

【详解】

（1）∵∠ACB=90°，∠A=30°，O是AB的中点，

∴，

∴△OBC是等边三角形，

故答案为：等边；

（2）由（1）可知，，，

是等边三角形，

，，

，即，

在和中

，

，

；

（3）成立，

证明：由（1）可知，，，

是等边三角形，

，，

，即，

在和中

，

，

．

【点睛】

本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握等边三角形的性质与判定条件是解题的关键．

5、（1）见解析；（2）2.5．

【分析】

（1）根据平行四边形的性质和角平分线的性质说明∠ABF=∠AFB、可得AB=AF，同理可得AB=AF，再由AF∥BE可得四边形ABEF是菱形；

（2）过A作AH⊥BE垂足为E，根据菱形的性质可得AO=EO、BO=FO，AF=EF=AB=5，AE⊥BF，利用勾股定理可得AO的长，进而可得AE长，利用菱形的面积公式计算出AH的长，然后根据ABCD的面积公式求出AD,最后根据线段的和差即可解答．

【详解】

（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，

∴AD//BC，即AF//BE

∴∠FBE=∠AFB，

∵∠ABC的平分线交AD于点F，

∴∠ABF=∠EBF，

∴∠ABF=∠AFB，

∴AB=AF，

又∵AB//EF，AF//BE

∴四边形ABEF是平行四边形，

∵AB=AF，

∴四边形ABEF是菱形；

（2）如图：过A作AH⊥BE垂足为H，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AO=EO，BO=FO，AF=AB=5，AE⊥BF，

∵AE=6，

∴AO=3，

∴BO=

∴BF=8，

∴S菱形ABEF=AE·BF=×8×6=24，

∴BE·AH=24，

∴AH=;

∵S平行四边形ABCD=BC·AH=36，

∴BC=

∵平行四边形ABCD

∴AD=BC=

∴FD=AD-AF=-5=2.5．

．

【点睛】

本题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的性质以及面积的问题，灵活利用菱形的判定与性质、平行四边形的性质成为解答本题的关键．