高中物理人教版 (2019)必修 第二册2 万有引力定律学案及答案

万有引力定律

目标体系构建

明确目标·梳理脉络　

【学习目标】

1．知道万有引力存在于任意两个物体之间，知道定律的表达式及适用范围。

2．理解万有引力定律的推导过程。

3．会用万有引力定律解决简单的引力计算问题。知道定律公式中各字母的含义，了解引力常量的测定在科学史上的重大意义。

【思维脉络】

课前预习反馈

教材梳理·落实新知　

知识点 1　行星与太阳间的引力

1．行星绕太阳运动的原因猜想：太阳对行星的__引力__。

2．模型建立：

行星以太阳为圆心做__匀速圆周__运动，太阳对行星的引力提供了行星做匀速圆周运动的向心力。

3．太阳对行星的引力：

引力提供行星做匀速圆周运动的向心力：F＝__m__，行星绕太阳运行的线速度：v＝____，行星轨道半径r与周期T的关系：____＝k。于是得出：F＝4π2k，即F∝____。

4．行星对太阳的引力：由牛顿第三定律可得行星对太阳的引力F也应与太阳的质量m太成__正比__。

5．行星与太阳间的引力：由F∝，F∝m太可得F∝，可写成F＝__G__。

知识点 2　月—地检验

1．牛顿的思考：地球对月球的引力、地球对地面上物体的引力若为同一种力，其大小的表达式满足F＝__G__。

2．检验过程

[理论分析]　对月球绕地球做匀速圆周运动，

由F＝G和a月＝，

可得：a月＝____

对苹果自由落体，由F＝G和a苹＝

得：a苹＝____

由r＝60R，可得：＝____

[天文观测]　已知自由落体加速度g＝9.8 m/s2，月地中心间距r月地＝3.8×108m，月球公转周期T月＝2.36×106 s，可求得月球绕地球做匀速圆周运动的加速度a月＝·r月地≈2.7×10－3m/s2，≈____。

3．检验结果：地球对月球的引力、地球对地面上物体的引力、太阳与行星间的引力，遵从__相同__的规律。

知识点 3　万有引力定律

1．定律内容

自然界中任何两个物体都相互__吸引__，引力的方向在它们的__连线__上，引力的大小与物体的质量m1和m2的__乘积__成正比、与它们之间距离r的__二次方__成反比。

2．表达式

F＝__G__式中，质量的单位用__kg__，距离的单位用__m__，力的单位用__N__。

3．引力常量：式中G叫作__引力常量__，大小为6.67×10－11__N·m2/kg2__，它是由英国科学家__卡文迪什__在实验室里首先测出的，该实验同时也验证了万有引力定律。

思考辨析

『判一判』

(1)在推导太阳与行星的引力公式时，用到了牛顿第二定律和牛顿第三定律。(√)

(2)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间。(√)

(3)牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量。(×)

(4)公式F＝G中G是比例系数，与太阳、行星都没关系。(√)

(5)质量一定的两个物体，若距离无限小，它们间的万有引力趋于无限大。(×)

(6)由于太阳质量大，太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力。(×)

『选一选』

如图所示是流星雨的图片，流星雨是大量陨石落向地球穿过大气层形成的壮观景观，陨石落向地球是因为(　B　)

A．陨石对地球的引力远小于地球对陨石的引力，所以陨石才落向地球

B．陨石对地球的引力和地球对陨石的引力大小相等，但陨石的质量小，加速度大，所以陨石改变运动方向落向地球

C．太阳不再吸引陨石，所以陨石落向地球

D．陨石是受到其他星球斥力作用落向地球的

解析：两个物体间的引力是一对作用力与反作用力，他们的大小相等，且在任何情况下都存在，故选项A、C、D不正确。陨石落向地球是由于陨石的质量和地球相比小得多，故运动状态容易改变且加速度大，选项B正确。

『想一想』

通过月—地检验结果表明，地面物体所受地球的引力、月球所受地球的引力，与太阳、行星间的引力遵从相同的规律。一切物体都存在这样的引力，为什么我们感觉不到周围物体的引力呢？如图所示，假若你与同桌的质量均为60  kg，相距0.5 m。粗略计算你与同桌间的引力(已知G＝6.67×10－11  N·m2/ kg2)。一粒芝麻的质量大约是0.004 g，其重力约为4×10－5 N。是你和你同桌之间引力的多少倍，这时在受力分析时需要分析两个人之间的引力吗？

答案：1×10－6  N　40倍

解析：F万＝G＝6.67×10－11×  N≈9.6×10－7  N≈1×10－6  N

芝麻的重力是你和你同桌之间引力的40倍，这时的引力很小，所以两个人靠近时，不会吸引到一起。故在进行受力分析时，一般不考虑两物体的万有引力，除非是物体与天体、天体与天体间的相互作用。

课内互动探究

细研深究·破疑解难

探究　对太阳与行星间引力的理解

┃┃情境导入__■

如图所示，太阳系中的行星围绕太阳做匀速圆周运动。

(1)为什么行星会围绕太阳做圆周运动？

(2)太阳对不同行星的引力与行星的质量是什么关系？

(3)行星对太阳的引力与太阳的质量是什么关系？

提示：(1)因为行星受太阳的引力，引力提供向心力；

(2)与行星的质量成正比；

(3)与太阳的质量成正比。

┃┃要点提炼__■

万有引力定律的得出过程

┃┃典例剖析__■

典题1 (多选)如果设行星的质量为m，绕太阳运动的线速度为v，公转周期为T，轨道半径为r，太阳的质量为M，则下列说法正确的是(　ABC　)

A．在探究太阳对行星的引力大小F的规律时，引入的公式F＝m实际上是牛顿第二定律

B．在探究太阳对行星的引力大小F的规律时，引入的公式v＝，实际上是匀速圆周运动的一个公式

C．在探究太阳对行星的引力大小F的规律时，引入的公式＝k，实质上是开普勒第三定律，是不可以在实验室中得到验证的

D．在探究太阳对行星的引力大小F的规律时，得到关系式F∝之后，又借助相对运动的知识(也可以理解为太阳绕行星做匀速圆周运动)得到F∝，最终用数学方法合并成关系式F∝

解析：引入的公式F＝m，这个关系式实际上是牛顿第二定律，抓住引力提供向心力得出的，故A正确；引入的公式v＝，这个公式是匀速圆周运动线速度与周期的关系式，故B正确；引入的公式＝k，实质上是开普勒第三定律，是开普勒通过分析行星运动观测数据得到的，因此无法在实验室中得到验证，故C正确；在探究太阳对行星的引力大小F的规律时，得到关系式F∝，根据牛顿第三定律得出F∝，最终用数学方法合并成关系式F∝，故D错误。

探究　对万有引力定律的理解

┃┃情境导入__■

无论是太阳与行星、地球与月球以及任何物体之间都存在万有引力。

(1)公式F＝G中r的含义是什么？a月＝rω2中r的含义是什么？

(2)任何两个物体之间的万有引力都能利用公式F＝G计算出来吗？

提示：(1)r指的是两个质点间的距离；r指的是做圆周的半径。

(2)不能。万有引力定律的表达式F＝G只适用于质点之间求万有引力。

┃┃要点提炼__■

1．万有引力表达式F＝G的适用条件

(1)严格地说，万有引力定律只适用于质点的相互作用。

(2)两个质量分布均匀的球体或球壳间的相互作用，也可用万有引力定律计算，其中r是两个球体或球壳的球心间的距离。

(3)如果两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可看成质点，公式可近似适用，其中r为两物体质心间的距离。

2．引力常量

(1)1789年，英国物理学家卡文迪什用“扭秤实验”(如图所示)比较准确地测出了G的数值。

(2)①标准值G＝6.672 59×10－11 N·m2/kg2，通常取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2。

②测定G值的意义：①证明了万有引力的存在；②使万有引力定律有了真正的实用价值。

特别提醒

(1)任何物体间的万有引力都是同种性质的力。

(2)任何有质量的物体间都存在万有引力，一般情况下，质量较小的物体之间万有引力忽略不计，只考虑天体间或天体对放入其中的物体的万有引力。

┃┃典例剖析__■

典题2　(多选)如图所示，三颗质量均为m的地球同步卫星等间隔分布在半径为r的圆轨道上，设地球质量为M、半径为R。下列说法正确的是(　AC　)

A．地球对一颗卫星的引力大小为

B．一颗卫星对地球的引力大小为

C．两颗卫星之间的引力大小为

D．三颗卫星对地球引力的合力大小为

思路引导：由公式F＝G可知，F既与两物体的质量有关，也和两物体中心间的距离有关。

解析：根据万有引力定律可知卫星与地球之间的引力大小为F＝

r应为卫星到地球球心间的距离也就是卫星运行轨道半径r，故A正确，B错误；做出卫星之间的关系图如图

根据几何关系可知，两同步卫星间的距离d＝r，故两卫星间的引力大小为F′＝G＝，故C正确；卫星对地球的引力均沿卫星地球间的连线向外，由于三颗卫星质量大小相等，对地球的引力大小相等，又因为三颗卫星等间隔分布，根据几何关系可知，地球受到三个卫星的引力大小相等方向成120°角，所以合力为0，故D错误。

┃┃对点训练__■

1．对于质量分别为m1和m2的两个物体间的万有引力的表达式F＝G，下列说法正确的是(　A　)

A．公式中G是引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的

B．当两物体间的距离r趋于零时，万有引力趋于无穷大

C．当有第三个物体放在m1、m2之间时，m1和m2间的万有引力将增大

D．m1和m2所受的引力性质可能相同，也可能不同

解析：公式中G是引力常量，它是由实验测得的，而不是人为规定的，故A正确；当物体间距离趋于零时，物体就不能看成质点，因此万有引力表达式不再适用，物体间的万有引力不会变得无穷大，故B错误；物体间万有引力的大小只与两物体的质量m1、m2和两物体间的距离r有关，与是否存在其他物体无关，故C错误；物体间的万有引力是一对作用力与反作用力，是同种性质的力，且始终等大反向共线，故D错误。

探究　重力与万有引力的关系

┃┃情境导入__■

如图所示，把地球视为质量分布均匀的球体，人站在地球的不同位置，比如赤道、两极或者其他位置，请思考：

(1)人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样吗？

(2)人在地球的不同位置，受到的重力大小一样吗？

提示：(1)根据万有引力定律F＝G可知，人在地球的不同位置，受到的万有引力大小一样；

(2)重力是万有引力的一个分力，由于人随地球转动，还需要向心力，在地球的不同位置，向心力不同，所以人在地球的不同位置，受的重力大小不一样。

┃┃要点提炼__■

1．重力为地球引力的分力

如图所示，设地球的质量为M，半径为R，A处物体的质量为m，物体受到地球的吸引力为F，方向指向地心O，由万有引力公式得F＝G。引力F可分解为F1、F2两个分力，其中F1为物体随地球自转做圆周运动的向心力Fn，F2就是物体的重力mg。

2．重力与纬度的关系

地面上物体的重力随纬度的升高而变大。

  (1)赤道上：重力和向心力在一条直线上F＝Fn＋mg，即G＝mRω2＋mg，所以mg＝G－mRω2。

(2)地球两极处：向心力为零，所以mg0＝F＝G。

(3)其他位置：重力是万有引力的一个分力，重力的大小mg<G，重力的方向偏离地心。

3．重力与高度的关系

由于地球的自转角速度很小，故地球自转带来的影响很小，一般情况下认为在地面附近：mg＝G，若距离地面的高度为h，则mg＝G(R为地球半径，g为离地面h高度处的重力加速度)。所以距地面越高，物体的重力加速度越小，则物体所受的重力也越小。

特别提醒

(1)物体随地球自转需要的向心力很小，一般情况下，重力约等于万有引力，即mg＝G。　

(2)在地球表面，重力加速度随地理纬度的升高而增大；在地球上空，重力加速度随距地面高度的增加而减小。

┃┃典例剖析__■

典题3 (2021·辽源市第五中学校高一月考)火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，那么地球表面上质量为50 kg的宇航员(地球表面的重力加速度g取10 m/s2)

(1)在火星表面上受到的重力是多少？

(2)若宇航员在地球表面能跳1.5 m高，那他在火星表面能跳多高？

思路引导：由万有引力等于重力，求出火星表面的重力加速度值，从而求出重力；再由运动学公式求出能跳的高度。

解析：(1)在地球表面有mg＝G，在火星表面上有mg′＝G，

代入数据，联立解得g′＝ m/s2，

则宇航员在火星表面上受到的重力

G′＝mg′＝50× N≈222.2 N。

(2)在地球表面宇航员跳起的高度H＝，

在火星表面宇航员能够跳起的高度h＝，

联立解得h＝H＝×1.5 m＝3.375 m。

答案：(1)222.2 N　(2)3.375 m

┃┃对点训练__■

2．(多选)假如地球的自转速度增大，关于物体重力，下列说法正确的是(　ABC　)

A．放在赤道上的物体的万有引力不变

B．放在两极上的物体的重力不变

C．放在赤道上的物体的重力减小

D．放在两极上的物体的重力增加

解析：地球的自转速度增大，地球上所有物体受到的万有引力不变，A正确；在两极，物体受到的重力等于万有引力，万有引力不变，故其重力不变，B正确，D错误；放在赤道上的物体，F引＝G＋mω2R，由于ω增大，而F引不变，则G减小，C正确。

核心素养提升

以题说法·启智培优　

“填补法”求物体间的万有引力

案例 如图所示，在一个半径为R、质量为M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖去一个半径为的小球体后，剩余部分对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距d、质量为m的质点的引力是多大？

方法简述：万有引力定律适应于质点间、质点与均匀球体间、两均匀球体间的相互作用力，若出现大球内某个区域被挖去一个小球，无法直接应用公式求残缺球与另外质点或另外球体的万有引力，此时可以采用“先补后挖”的方法，应用万有引力定律间接求万有引力。

思维建构：把完整的大球看作残缺的空心球与被挖去的小球的组合，质量为m的质点受到的引力变成整个球体对质点的引力与挖去的小球体对质点的引力之差。

规范解析：完整的均匀球体对球外质量为m的质点的引力为F＝G，设挖去小球体后的剩余部分对质点的引力为F1，半径为的小球体对质点的引力为F2，则F＝F1＋F2，半径为的小球体质量M′＝π3ρ＝，F2＝G＝G，所以F1＝F－F2＝G－G＝GMm

答案：GMm

建构感悟：此方法适用的条件比较苛刻：

1．形状的要求：大球内挖掉小球，挖掉其他形状的物体的不可用此法，如挖掉的是立方体或其他不规则形状的物体，非球形物体挖掉小球等情况均不适合用此法。

2．三心的位置关系：大球球心、小球球心、第三个球的球心(或质点)，若三心共线，则三力共线，遵循代数运算法则；若三心不共线，则三力不共线，遵循矢量运算法则。

课堂达标检测

沙场点兵·名校真题　

1．(2021·浙江高一月考)2020年11月24日，我国在文昌航天发射场成功发射探月工程嫦娥五号探测器。顺利将探测器送入预定轨道，假设该探测器质量为m，在离月球高度为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动。已知月球质量为M，半径为R，引力常量为G，则月球对探测器的万有引力大小为(　D　)

A．G　 B．G　

C．G　 D．G

解析：根据万有引力定律可得月球对探测器的万有引力大小为F＝G，A、B、C错误，D正确。

2．(2021·黄梅国际育才高级中学高一月考)据报道，在太阳系外发现了首颗“宜居”行星，设其质量为地球质量的k倍，其半径为地球半径的p倍，由此可推知该行星表面的重力加速度与地球表面重力加速度之比为(　B　)

A．　 B．

C．　 D．

解析：由天体表面上的物体所受到的重力近似等于万有引力，即mg＝G，可得g地＝G，g星＝G，所以有＝·＝，选项B正确。

3．(多选)(2021·江苏省木渎高级中学高一月考)关于万有引力定律的建立，下列说法中不正确的是(　BD　)

A．牛顿将天体间引力作用的规律推广到自然界中的任何两个物体间

B．引力常量G的大小是卡文迪什根据大量实验数据得出的

C．“月—地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律

D．“月—地检验”表明物体在地球上受到地球对它的引力是它在月球上受到月球对它的引力的602倍

解析：牛顿将天体间引力作用的规律推广到自然界中的任何两个物体间，故A正确，不符合题意；引力常量G的大小是卡文迪什通过扭秤实验测出的，故B错误，符合题意；“月—地检验”表明地面物体所受地球引力与月球所受地球引力遵从同样的规律，故C正确，不符合题意；“月—地检验”表明物体在地球上受到地球对它的引力是它在月球上受到地球对它的引力的602倍，故D错误，符合题意。