黑龙江省大庆市铁人中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题（含答案）

这是一份黑龙江省大庆市铁人中学2020-2021学年高二上学期期末考试数学（理）试题（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷满分150分，答题时长120分钟
第Ⅰ卷
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）
1.用反证法证明命题：“若，则至少有一个大于.”下列假设中正确的是（ ）
A.假设都不大于 B.假设都小于
C.假设至多有一个大于0 D.假设至少有一个小于
2.已知方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
3.从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，给出以下事件：
①两球都不是白球；②两球中恰有一个白球；③两球中至少有一个白球．
其中与事件“两球都为白球”互斥而不对立的事件是( )
A．①② B．①③ C．②③ D.①②③
（4题图）
4.三国时代吴国数学家赵爽所注《周髀算经》中给出了勾股定理的绝妙证明，下面是赵爽的弦图及注文，弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形，其面积称为弦实，图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红（朱）色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用，化简，得，设勾股中勾股比为，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉（大小忽略不计），则落在红（朱）色图形内的图钉数大约为（ ）
（参考数据：）
A．866B．500C．300D．134
5.已知一组数据的平均数是，方差是，那么另一组数据，，，，的平均数、方差分别是（ ）
A． B． C． D．
6.用数学归纳法证明，则当时，等式左边应该在的基础上加上（ ）
A． B． C． D．
7.执行如图所示程序框图，若输出的，则判断框内填入的条件可以是（ ）
（7题图）
A． B． C． D．
8．某医院为了检验某种血清预防感冒的作用，把500名使用血清的人与
另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H：“这种血
清不能起到预防感冒的作用”，利用2×2列联表计算得，经查临
界值表知.则下列表述中正确的是（ ）
A．若有人未使用该血清，那么他一年中有95％的可能性得感冒
B．有95％的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”
C．这种血清预防感冒的有效率为95％
D．这种血清预防感冒的有效率为5％
9.某校举行演讲比赛，9位评委给选手打出的分数如茎叶图所示，统计员在去掉一个最高分和一
（9题图）
个最低分后，算得平均分为91，复核员在复核时，发现有一个数字(茎叶图中的)无法看清，若
统计员计算无误，则数字应该是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10. 一张储蓄卡的密码是6位数字，每位数字都可从0，1，…，9这10个数字中任选一个，某人在自动提款机上取钱时，忘了密码的最后一位数字，如果他记得最后一位是偶数，则他不超过两次就按对的概率为（ ）
（11题图）
A． B． C． D．
11．如图，一个结晶体的形状为平行六面体，以顶点为端点的三条棱长均为，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C．向量与向量的夹角是 D．与所成角的余弦值为
12．平面直角坐标系中，直线与抛物线相交于两点，为的焦点，若，则点到轴的距离为（ ）
A.3 B.4 C.5 D.6
第Ⅱ卷
二、填空题(本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)
13. 某校高二（1）班共有48人，学号依次为1,2,3，，48，现用系统抽样的方法等距离
抽取一个容量为6的样本.已知学号为3,11,19,35,43的同学在样本中，那么还有一名同学的学号为__________.
14.观察下列式子：根据以上式子可以猜想：__________．
15．下列说法中，正确的序号为___________.
①命题“”的否定是“”；
②已知，则“”是“或”的充分不必要条件；
（16题图）
③命题“”的逆命题为真；
④若为真命题，则与至少有一个为真命题；
16．正方体的棱长为是它的内切球的一条弦(我们
把球面上任意两点之间的线段称为球的弦),为正方体表面上的动点,
当弦的长度最大时,的取值范围是__________.
三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17. （10分）已知；，若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
18．（12分）小宋在铁人中学新址附近开了一家文具店，为经营需要，小宋对文具店中的某种水笔的单支售价及相应的日销售量进行了调查，单支售价元和日销售量支之间的数据如下表所示：
（Ⅰ）根据表格中的数据，求出关于的线性回归方程；
（Ⅱ）请由（Ⅰ）所得的回归直线方程预测水笔日销售量为支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为元，为达到日利润（日销售量×单支售价-日销售量×单支进价）最大，在（Ⅰ）的条件下应该如何定价？
（参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，为样本平均值，）
19.（12分）已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与轴的非负半轴重合．若曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（）．
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程与直线的普通方程；
（Ⅱ）设点，直线与曲线交于两点，求的值．
20.（12分）年年底，某城市的地铁建设项目已经基本完工，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(评分均为整数，最低分40分，最高分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将市民的所有打分分数从低到高分为四个等级：
已知满意度等级为“基本满意”的市民有人．
（Ⅰ）求频率分布于直方图中的值，并依据频率分布直
方图估计评分等级为“不满意”的人数；
（Ⅱ）在（Ⅰ）所得评分等级为“不满意”的市民中，老
年人占，中青年占，现从该等级市民中按年龄分
层抽取人了解不满意的原因，并从中选取人担任
整改督导员，求至少有一位老年督导员的概率；
（Ⅲ）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于，否则该项目需进行整改.已知频率分布直方图中同一组中的数据用该组区间中点值代替，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由.
（注：满意指数=）
21.（12分）如图，在四棱锥中，平面，，，，．
（Ⅰ）求证：平面平面；
（Ⅱ）长为何值时，直线与平面所成角最大？并求此
时该角的正弦值．
22.（12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆的一个顶点，是等腰直角三角形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过点分别作直线、交椭圆于两点，设两直线、的斜率分别为，且，探究：直线是否过定点，并说明理由.
铁人中学2019级高二上学期期末考试数学（理）
参考答案
一．选择题（60分）
二．填空题（20分）
13. 27 14. _______ 15.①② 16.
三．解答题（70分）
17. （10分）
解：由，得，即,
由，即，又因为得
因为是的充分不必要条件
所以（检验：当时，，满足题意）
故所求的的取值范围是.
18.（12分）（1）因为，
，所以
所以，回归直线方程为.
（2）当时，，得，
假设日利润为，则：，
易知，即
根据二次函数的性质，可知当元时，有.
所以单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5元.
19. （12分）(Ⅰ)由ρ＝6csθ＋2sinθ，得ρ2＝6ρcsθ＋2ρsinθ，
又由 2分
得曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝6x＋2y，即 3分
由，消去参数t，[来源:Z_xx
得直线l的普通方程为x＋y－3＝0. ………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线l的参数方程可化为 ()， ………7分
代入曲线C的直角坐标方程得. 10分
由韦达定理，得，则由直线参数方程t的几何意义得
|QA|·|QB|＝＝9 ………12分
20．（12分）（1）由频率分布直方图知，

由解得，
设总共调查了个人，则基本满意的为，解得人.
不满意的频率为，所以共有人，即不满意的人数为120人.
（2）评分等级为“不满意”的120名市民中按年龄分层抽取人，则中青年抽取4人分别记为，老年人抽取2人分别记为，从6人中选取人担任整改督导员的所有的抽取方法有共15种，
抽不到老年人的情况为6种， 所以至少有一位老年督导员的概率.
（3）所选样本满意程度的平均得分为：
，
估计市民满意程度的平均得分为，
所以市民满意指数为，
故该项目能通过验收.
21. （12分）（1）∵平面平面，∴，
又，
，即（为与交点）．
又，∴平面，又因为平面，所以，平面平面
（2）如图，以为轴，以为轴，以为轴，建立空间直角坐标系，如图，
设，则，
则，，，设平面法向量为，
则，即，取，得平面的一个法向量为，
所以，
因为，当且仅当时等号成立，
所以，记直线与平面所成角为，则，故，
即时，直线与平面所成角最大，此时该角的正弦值为．
22．（12分）（1）由点是椭圆的一个顶点，可知，
又是等腰直角三角形，可得，即，所以，
所以椭圆的标准方程为；
（2）若直线的斜率存在，设方程为，依题意，
联立，得
由已知，设，
由韦达定理得：，
，整理得
故直线方程为，即，
所以直线过定点
若直线的斜率不存在，设方程为，设，
由已知得，解得，
此时直线方程为，显然过点；
综上，直线过定点
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
A
D
A
A
D
D
C
B
D
C
B
B