人教版 (新课标)必修14 力的合成导学案及答案

力的合成

一、力的合成

　滑滑梯是现在小孩子非常喜欢的一项运动(如图甲)，有人分析小孩子沿滑梯下滑时受到重力、下滑力、对滑梯的压力的作用(如图乙)，这个人的分析对吗？

提示：不对。

1．合力与分力：

(1)定义：如果一个力产生的效果跟几个力共同效果相同，这个力就是那几个力的合力，而那几个力就是这个力的分力。

(2)合力与分力的关系。

下列关于分力与合力关系的分析符合科学事实的有①④。

①合力与分力是等效替代关系

②合力与分力能够同时出现

③合力和分力可以作用在不同的物体上

④几个力的合力是唯一的

2．力的合成：

(1)定义：求几个力的合力的过程。

(2)平行四边形定则：

①内容：以表示这两个力的线段为邻边作平行四边形，这两个邻边之间的对角线就代表合力的大小和方向。

②合力与分力关系示意图：

如图所示，F表示F1与F2的合力。

二、共点力

1．研究对象：作用在同一物体上的几个力。

2．共点力的两种情形：

(1)几个力共同作用在同一点。

(2)几个力的延长线交于一点。

3．平行四边形定则的适用范围：适用于共点力(选填“共点力”“非共点力”或“一切力”)。

(1)合力大小一定等于两个分力大小之和。(×)

(2)合力大小一定大于两个分力大小之和。(×)

(3)合力大小可能比两个分力的大小都大，可能都小，也可能比一个分力大，比另一个分力小。(√)

(4)合力大小一定大于一个分力的大小，小于另一个分力的大小。(×)

知识点一　合力与分力的关系

角度1合力与分力的性质

【典例1】(多选)下列说法正确的是(　　)

A．两个共点力共同作用的效果与其合力单独作用的效果相同

B．合力作用的效果与物体受到的每一个力的作用效果都相同

C．把物体受到的几个力的合力求出后，可认为物体只受一个力

D．性质不同的力可以合成，作用在不同物体上的力不可以合成

【解析】选A、C、D。合力的作用效果和几个分力的共同作用效果相同，因此可以用合力来代替几个分力的作用，故A、C说法正确，B说法错误；在进行力的合成时，力必须是作用在同一物体上的力，而力的性质可以不同，如物体放在水平桌面上，所受的支持力与重力的合力为零，支持力与重力就是不同性质的力，故D说法正确。

角度2合力与分力的大小关系

1．大小范围：|F2－F1|≤F≤F1＋F2。

2．合力的大小与两分力夹角的关系：

两分力大小一定时，随着两分力夹角的增大，合力减小。

3．合力与分力的大小关系：

(1)合力可能比分力都大。

(2)合力可能比分力都小。

(3)合力可能等于分力。

4．三个共点力的合力范围：

(1)最大值：三个力同向时，其合力最大，为Fmax＝F1＋F2＋F3。

(2)最小值：以这三个力的大小为边，如果能组成封闭的三角形，则其合力的最小值为零，即Fmin＝0；如果不能，则合力的最小值的大小等于最大的一个力减去另外两个力之和的绝对值，即Fmin＝|F1－(F2＋F3)|(F1为三个力中最大的力)。

　(1)如图所示，两力同向，合力大小和方向如何？

提示：两力同向相加，合力大小F＝F1＋F2＝12 N，方向与两力方向相同。

(2)如图所示，两力反向，合力大小和方向如何？

提示：两力反向相减，合力大小F＝|F1－F2|＝8 N，方向与较大力的方向相同。

【典例2】如图为两个共点力的合力F随两个分力的夹角θ变化的图像，则这两个分力的大小分别为(　　)

A．1 N和4 N　　    B．2 N和3 N

C．1 N和5 N        D．2 N和4 N

【解析】选B。两个分力的大小之和为最大值，两个分力的大小之差的绝对值为最小值，即F1＋F2＝5 N、|F2－F1|＝1 N，解得F1＝3 N、F2＝2 N或F1＝2 N、F2＝3 N，故选项B正确。

　两个力F1和F2间的夹角为θ，两个力的合力为F。下列说法正确的是(　　)

A．若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F就越小

B．合力F可能比任何一个分力都小

C．合力F总比任何一个分力都大

D．如果夹角θ不变，F1大小不变，只要F2增大，合力F就必然增大

【解析】选B。若F1和F2大小不变，θ角越小，合力F越大，故A错误；由力的合成方法可知，两个力合力的范围|F1－F2|≤F≤F1＋F2，所以合力有可能大于任一分力，也可能小于任一分力，还可能与两个分力都相等，故B正确、C错误；如果夹角θ不变，F1大小不变，F2增大，合力可能增大，可能减小，如图所示，故D错误。

知识点二　求合力的方法

角度1作图法求合力

　作图法(如图所示)根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：

【典例1】斜拉桥又称斜张桥，是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔上的一种桥梁，是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合起来的一种结构体系。假设斜拉桥中某对钢索与竖直方向的夹角都是30°，每根钢索中的拉力都是3×104 N，那么它们对塔柱形成的合力有多大？方向如何？

【解析】把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。下面用作图法求这个合力的大小：

自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°。取单位长度为1×104 N，则OA和OB的长度都是3个单位长度。量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小为F＝5.2×1×104 N＝5.2×104 N。

答案：5.2×104 N　竖直向下

角度2计算法求合力

1．步骤：

(1)根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图。

(2)根据几何知识(三角形的边角关系、等边三角形、相似三角形、全等三角形等)求解对角线，即为合力。

2．特殊情况下的力的合成：

　斜拉桥的塔柱两侧有许多钢索，呈对称分布。

钢索所有力的合力方向如何？

提示：竖直向下。

【典例2】如图所示，两个人共同用力将一个牌匾拉上墙头。其中一人用了450 N的拉力，另一个人用了600 N 的拉力，如果这两个人所用拉力的夹角是90°，求它们的合力。(试用两种方法求合力)

【解析】解法一：作图法

如图所示，用图示中的线段表示150 N的力，用一个点O代表牌匾，依题意作出力的平行四边形。用刻度尺量出平行四边形的对角线长为图示线段的5倍，故合力大小为F＝150×5 N＝750 N，用量角器量出合力F与F1的夹角θ＝53°。

解法二：计算法

设F1＝450 N，F2＝600 N，合力为F。

由于F1与F2间的夹角为90°，根据勾股定理，得

F＝ N＝750 N，

合力F与F1的夹角θ的正切tan θ＝＝≈1.33，

所以θ＝53°。

答案：750 N，方向与较小拉力的夹角为53°。

(2021·温州高一检测)一个质量为m的物体受到三个共点力F1、F2、F3的作用，这三个力的大小和方向刚好构成如图所示的三角形，则这个物体所受合力是(　　)

A．2F1　　　　B．F2　　　　C．F3　　　　D． 2F3

【解析】选D。根据三角形定则，F1与F2的合力等于从F1的起点到F2的终点的有向线段，即与F3相同，故合力等于2倍的F3，故选项D正确。

　【加固训练】

如图所示，F1、F2为两个相互垂直的共点力，F是它们的合力。已知F1的大小等于3 N，F的大小等于5 N。若改变F1、F2的夹角，则它们的合力的大小还可能是(　　)

　A．0　　　　　　　　　　 B．4 N

C．8 N          D．12 N

【解析】选B。由题意得F2＝＝4 N，故F1、F2的合力范围为1 N≤F≤7 N，B正确。

　　　【拓展例题】考查内容：多力合成

【典例】如图所示，在同一平面内，大小分别为1 N、2 N、3 N、4 N、5 N、6 N的六个力共同作用于一点，其合力大小为(　　)

A.0　　　　　　　　　  B．1 N

C．2 N         D．3 N

【解析】选A。先分别求1 N和4 N、2 N和5 N、3 N和6 N的合力，大小都为3 N，且三个合力互成120°角，如图所示：

根据平行四边形定则知，图中三个力的合力为零，即题中所给六个力的最终合力为零。故A正确，B、C、D错误。

如图所示，清洗楼房光滑玻璃的工人常用一根绳索将自己悬在空中，工人及其装备的总重量为G。

探究：若工人增加悬绳的长度缓慢下移，则悬绳对工人的拉力F1和玻璃对工人的弹力大小F2怎样变化？

【解析】工人受力平衡，当工人下移时，悬绳与竖直方向的夹角变小，利用平行四边形定则进行力的合成来解答。工人受到重力、支持力和拉力，如图。根据平行四边形定则，有：F1＝，F2＝G tan α；当工人下移时，悬绳与竖直方向的夹角α变小，故F1变小，F2变小。

答案：见解析

　如图所示是汽车常用的千斤顶，当摇动把手时，螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂靠拢，从而将汽车顶起。

探究：若继续摇动把手，将汽车顶起，千斤顶每臂受到的压力是减小还是增大？

【解析】两臂对汽车支持力的合力大小恒为重力大小，夹角越小，分力越小，所以千斤顶每臂受到的压力是减小的。

答案：见解析

1．关于两个共点力的合力跟两个分力的大小关系，下列说法中正确的是(　　)

A．合力的大小一定大于它的任意一个分力的大小

B．合力的大小一定等于它的两个分力的大小之和

C．合力可以比两个分力都大，也可以比两个分力都小

D．合力的大小不可能与它的分力大小相等

【解析】选C。两个分力与合力可以构成一个封闭的三角形，根据三角形各边的关系可以知道合力可以比两个分力都大，也可以比两个分力都小，还可以与分力大小相等，故C正确，A、B、D错误。故选C。

2．(多选)两个共点力F1、F2大小不同，它们的合力大小为F，则(　　)

A．F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍

B．F1、F2同时增加10 N，F也增加10 N

C．F1增加10 N，F2减少10 N，F一定不变

D．若F1、F2中的一个增大，F不一定增大

【解析】选A、D。根据平行四边形定则，F1、F2同时增大一倍，F也增大一倍，故A正确；F1、F2同时增加10 N，根据平行四边形定则求得的合力的大小不一定也增加10 N，故B错误；F1增加10 N，F2减少10 N，F可能变化，故C错误；若F1、F2方向相反，F1、F2中的一个增大，F不一定增大，故D正确。

　　　【加固训练】

如图，重为G的体操运动员在进行体操比赛时，有两手臂对称支撑、竖直倒立静止的比赛动作，设两臂夹角为θ，则(　　)

A．当θ不同时，运动员受到的合力不同

B．当θ不同时，运动员与地面之间的相互作用力不相等

C．当θ＝60°时，运动员单手所受地面的支持力大小为

D．当θ＝120°时，运动员单手所受地面的支持力大小为G

【解析】选C。当θ不同时，运动员仍然处于静止状态，则运动员受到的合力为0，即运动员受到的合力相同，故A错误；根据牛顿第三定律可知，不管角度如何，相互作用力总是大小相等的，故B错误；当θ＝60°时，运动员单手对地面的正压力大小与地面对手的作用力沿竖直方向的分力是相等的，即F＝·cos ＝，故C正确；当θ＝120°时，运动员单手对地面的正压力大小与地面对手的作用力沿竖直方向的分力是相等的，F′＝·cos ＝，故D错误。

　　　【总结提升】(1)两个分力大小一定时，夹角θ越大，合力越小。

(2)合力一定，两个等大分力的夹角越大，分力越大。

(3)合力可以大于分力，等于分力，也可以小于分力。

3．如图所示，水平横梁一端A插在墙壁内，另一端装有一小滑轮B。一轻绳的一端C固定于墙壁上，另一端跨过滑轮后悬挂一质量为m＝10 kg的重物，∠CBA＝30°，则滑轮受到轻绳的作用力大小为(g取10 N/kg)(　　)

A.50 N　　B．60 N　　C．120 N　　D．100 N

【解析】选D。轻绳跨过滑轮，BC段、BD段拉力F1＝F2＝mg＝100 N，夹角为120°，根据平行四边形定则，二力合成如图所示。由于F1＝F2，所以平行四边形为菱形，故F1、F2的合力F＝F1＝F2＝100 N，即轻绳对滑轮的作用力大小为100 N，选项D正确。

4．如图所示为一竖直放置的穹形光滑支架，其中AC以上为半圆。一根不可伸长的轻绳，通过光滑、轻质滑轮悬挂一重物。现将轻绳的一端固定于支架上的A点，另一端从最高点B开始，沿着支架缓慢地顺时针移动，直到D点(C点与A点等高，D点稍低于C点)。

则绳中拉力的变化情况是(　　)

A．先变大后不变

B．先变小后不变

C．先变小后变大再变小

D．先变大后变小再变大

【解析】选A。当轻绳的右端从B点移到直杆最上端C时，设两绳的夹角为2θ，以滑轮为研究对象，分析受力情况，作出受力示意图如图1所示。

根据平衡条件得：2F cos θ＝mg，得到绳子的拉力F＝，所以在轻绳的右端从B点移到直杆最上端C的过程中，θ增大，cos θ减小，则F变大。当轻绳的右端从直杆C点移到D点时，设两绳的夹角为2α，绳子总长为L，两直杆间的距离为s，由数学知识得到sin α＝，L、s不变，则α保持不变。再根据平衡条件可知，两绳的拉力F保持不变。所以绳中拉力大小变化的情况是先变大后不变。故A正确，B、C、D错误。

5.一竖直放置的轻质圆环静止于水平面上，质量为m的物体用轻绳系于圆环边缘上的A、B两点，结点恰位于圆环的圆心O点。已知物体静止时，AO绳水平，BO绳与AO绳的夹角为150°。轻推圆环使其向右缓慢滚动，在AO绳由水平转动至竖直的过程中(　　)

A．AO绳中最大拉力大小等于2mg

B．AO绳中最大拉力大小等于mg

C．BO绳中最大拉力大小等于1.5mg

D．BO绳中最大拉力大小等于mg

【解析】选A。对O点受力分析，受重力和两个绳子的拉力，若轻推圆环使其向右缓慢滚动，在AO绳由水平转动至竖直的过程中，相当于重力反向(逆时针)转动90度，如图；

当G与OB垂直时FOA最大，最大值为FOAmax＝＝2mg；当G与OA垂直时FOB最大，最大值为：FOBmax＝＝2mg，则选项A正确，B、C、D错误。