高中物理人教版 (2019)必修 第三册2 库仑定律学案

库仑定律

[核心素养·明目标]

知识点一　电荷之间的作用力

1．库仑定律

(1)内容：真空中两个静止点电荷之间的相互作用力，与它们的电荷量的乘积成正比，与它们的距离的二次方成反比，作用力的方向在它们的连线上。

(2)公式：F＝k，其中k＝9.0×109N·m2/C2，叫作静电力常量。

(3)适用条件：①真空；

②静止点电荷。

2．点电荷：当带电体之间的距离比它们自身的大小大得多，以至于带电体的形状、大小及电荷分布状况对它们之间的作用力的影响可以忽略时，这样的带电体可以看作带电的点，叫作点电荷。

点电荷是一种理想化模型，是特殊的带电体，实际中并不存在。

1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)计算真空中两个点电荷间的相互作用力时，均可以使用公式F＝k。 (×)

(2)当r趋向于0时，库仑力趋向于无穷大。 (×)

(3)点电荷是一个带有电荷的点，它是实际带电体的抽象，是一种理想化模型。 (√)

(4)球形带电体一定可以看成点电荷。 (×)

知识点二　库仑的实验

1．实验装置：库仑扭秤(如图所示)。

2．实验技巧

(1)将微小量放大——通过悬丝扭转的角度比较库仑力的大小。

(2)电荷量的确定——库仑运用把一个带电小球与另一个不带电的完全相同的金属小球接触，前者的电荷量就会分给后者一半的方法，把带电小球的电荷量q分为、、、…，巧妙地解决了当时小球带电荷量不能测量的问题。

3．实验方法：控制变量法、微小量放大法。

4．实验步骤

(1)保持A和C的电荷量不变，改变A和C之间的距离，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与距离r之间的关系。

(2)保持A和C之间的距离不变，改变A和C的电荷量，记录每次悬丝扭转的角度，便可找出力F与电荷量q之间的关系。

5．实验结论

(1)两小球上的电荷量不变时，力F与距离r的二次方成反比，F∝。

(2)两小球间的距离不变时，力F与电荷量q1和q2的乘积成正比，F∝q1q2。

(3)综合结论：F∝或F＝k。

知识点三　静电力计算

1．两个点电荷间的作用力不因第三个点电荷的存在而改变。

2．两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。

2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)实验表明电荷之间的作用力一定和电荷间的距离成反比。 (×)

(2)实验表明两个带电体的距离越大，作用力就越小。 (√)

(3)静电力具有力的一切性质，静电力之间可以叠加，也可以与其他力叠加。 (√)

考点1　对点电荷的理解

1．点电荷是物理模型

只有电荷量，没有大小、形状的理想化模型，类似于力学中的质点，实际中并不存在。

2．带电体看成点电荷的条件

如果带电体间的距离比它们自身的大小大得多，以至于带电体的形状和大小对相互作用力的影响很小，就可以忽略形状、大小等次要因素，只保留对问题有关键作用的电荷量，带电体就能看成点电荷。

3．注意区分点电荷与元电荷

(1)元电荷是最小的电荷量，其数值等于一个电子或一个质子所带电荷量的绝对值。

(2)点电荷只是不考虑带电体的大小和形状，是带电个体，其带电荷量可以很大也可以很小，但它一定是元电荷的整数倍。

【典例1】　(多选)下列关于点电荷的说法正确的是(　　)

A．两个带电体无论多大，只要它们之间的距离远大于它们的大小，这两个带电体就可以看作点电荷

B．一个带电体只要它的体积很小，则在任何情况下，都可以看作点电荷

C．一个体积很大的带电体，在任何情况下，都不能看作点电荷

D．两个带电的金属小球，不一定能将它们作为电荷集中在球心的点电荷处理

AD　[无论两带电体自身大小怎样，当两带电体之间的距离远大于它们的大小时，带电体本身的大小对于所研究的问题影响很小，可把带电体看作点电荷，选项A正确，C错误；尽管带电体很小，但两带电体相距很近，以至于本身的大小和形状对问题的影响不能忽略，两带电体也不能被看作点电荷，选项B错误；两个带电金属小球，若离得很近，两球所带的电荷在静电力作用下会分布不均，电荷的分布影响到静电力的大小，若带同种电荷，相互排斥，等效的点电荷间距大于球心距离；若带异种电荷，相互吸引，等效的点电荷间距小于球心距离，因此，选项D正确。]

对点电荷的两点理解

(1)带电体能否看作点电荷，不取决于带电体的大小，而取决于它们的大小、形状与距离相比能否忽略。

(2)同一带电体，在不同问题中有时可以看作点电荷，有时不可以看作点电荷。

[跟进训练]

1．下列关于点电荷的说法正确的是(　　)

A．点电荷的电荷量一定是1.60×10－19 C

B．实际存在的带电体都是点电荷

C．点电荷是理想化的物理模型

D．尺寸大的带电体不能看成点电荷

C　[点电荷是将带电体简化为一个带电的点，元电荷是电荷量的最小值，点电荷所带电荷量可以等于元电荷，也可以是元电荷的整数倍，故A错误；在研究带电体间的相互作用时，若带电体的尺寸远小于它们之间的距离，则可把带电体看成点电荷，带电体能否看成点电荷与其本身的尺寸无直接关系，并不是所有带电体都可以看成点电荷，故B、D错误；点电荷是理想化的物理模型，故C正确。]

考点2　库仑定律的理解与应用

1．库仑定律的适用条件

(1)真空。

(2)静止点电荷。

这两个条件都是理想化的，在空气中库仑定律也近似成立。

2．静电力的大小计算和方向判断

(1)大小计算

利用库仑定律计算大小时，不必将表示电性的正、负号代入公式，只代入q1、q2的绝对值即可。

(2)方向判断

在两电荷的连线上，同种电荷相斥，异种电荷相吸。

3．库仑定律与万有引力定律的比较

(1)库仑定律和万有引力定律都遵从与距离的二次方成反比规律，人们至今还不能说明它们的这种相似性。

(2)两个定律列表比较如下

(3)对于微观的带电粒子，它们之间的库仑力要比万有引力大得多。电子和质子的静电引力F1是它们间万有引力F2的2.3×1039倍，正因如此，以后在研究带电微粒间的相互作用时，可以忽略万有引力。

【典例2】　甲、乙两个分别带有电荷量－Q和＋3Q的相同金属小球(均可视为点电荷)，固定在相距为r的两处，它们间库仑力的大小为F。两小球相互接触后将其固定距离变为，则两球间库仑力的大小为(　　)

A．F　　　B．F　　　C．F　　　D．12F

C　[由库仑定律知F＝k，当两小球接触后，电荷量先中和再平分，甲乙带电荷量分别为Q、Q，故后来库仑力F′＝k＝k，由以上两式解得F′＝F，C正确。]

[母题变式]

(1)若例题中甲、乙两金属球带电荷量为＋Q和＋3Q，结果如何？

(2)若用第三个不带电的相同的金属小球C先与甲接触，再与乙接触，然后将甲、乙两球间距变为，结果又如何？

[解析]　(1)当两球接触后，分别带电量为＋2Q、＋2Q，接触后的库仑力F1＝k＝k·，故F1＝F。

(2)当用第三个不带电的相同金属球C，先后与甲、乙接触后，甲带电－，乙带电＋，接触后的库仑力F2＝k·＝k＝F。

[答案]　(1)F　(2)F

[跟进训练]

2．如图所示，将两个质量均为m、壳层的厚度和质量分布均匀的完全相同的金属球壳a和b，固定于绝缘支架上，两球壳球心间的距离l是半径r的3倍。若使它们带上等量异种电荷，使其电荷量的绝对值均为Q，那么关于a、b之间的万有引力F引和库仑力F库的表达式正确的是(　　)

A．F引＝G，F库＝k

B．F引≠G，F库≠k

C．F引≠G，F库＝k

D．F引＝G，F库≠k

D　[a、b所带异种电荷相互吸引，使它们各自的电荷分布不均匀，即相互靠近的一侧电荷分布比较密集，又因l＝3r，不满足l≫r的要求，故不能将带电球壳看成点电荷，所以不能应用库仑定律计算a、b间的库仑力，即F库≠k。万有引力定律适用于两个可看成质点的物体，虽然本题中不满足l≫r，但由于球壳壳层的厚度和质量分布均匀，故两球壳均可看作质量集中于球心的质点，所以可以应用万有引力定律计算a、b间的万有引力，即F引＝G。综上所述，D正确。]

考点3　静电力计算

1．静电力的叠加

(1)两个或两个以上点电荷对某一点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。这个结论通常叫作静电力叠加原理。

(2)静电力具有力的一切性质，静电力叠加原理实际就是力叠加原理的一种具体表现。

(3)静电力的合成与分解满足平行四边形定则，如图所示。

2．库仑力作用下的平衡问题

(1)分析静电力作用下点电荷平衡问题的步骤

①确定研究对象。如果有几个物体相互作用时，要依据题意，适当选取“整体法”或“隔离法”。

②对研究对象进行受力分析，此时多了静电力(F＝k)。

③建立坐标系。

④根据F合＝0列方程，若采用正交分解，则有Fx＝0，Fy＝0。

⑤求解方程。

3．库仑力作用下的非平衡问题

分析库仑力作用下的带电体的非平衡问题，其方法与分析力学问题的方法相同，首先分析带电体受到的所有作用力，再依据牛顿第二定律F合＝ma进行求解。对相互作用的系统，要注意灵活使用整体法与隔离法，并首先选用守恒的观点从能量的角度分析。

　静电力的叠加

【典例3】　水平面上A、B、C、D为边长为L的正方形的四个顶点，四点固定着四个电荷量均为Q的正点电荷。O点到A、B、C、D的距离均为L。现将一质量为m的带正电的小球(可视为点电荷)放置在O点，如图所示。为使小球能静止在O点，小球所带的电荷量应为(已知静电力常量为k，重力加速度为g)(　　)

A．　　　　 B．

C． D．

[思路点拨]　对小球进行受力分析，先根据库仑定律及几何关系求出正方形四个顶点的点电荷对小球的库仑力的合力，再根据平衡条件求小球所带的电荷量。

C　[对小球进行受力分析，小球受重力和A、B、C、D处正点电荷施加的库仑力。由于正方形的边长为L，O点到正方形四个顶点的距离均为L，设小球所带电荷量为q，根据库仑定律可得正方形四个顶点处的点电荷对O处小球的库仑力大小均为F＝k

根据静电力的叠加和对称性可得正方形四个顶点处的点电荷对O处小球的库仑力的合力为F合＝4Fcos α

α为A、B、C、D处点电荷对小球施加的库仑力的方向与竖直方向的夹角，由几何关系可知α＝45°

小球在O点静止，根据平衡条件有F合＝mg

解得q＝，选项C正确。]

静电力叠加的计算技巧与要求

(1)静电力叠加遵循平行四边形定则，先求出点电荷所受的每一个静电力，再应用平行四边形定则求合力。

(2)注意两个等大的力的合成，合力一定沿其角平分线方向，可利用对称性求解。

(3)计算静电力时，不但要求出静电力的大小，还要说明静电力的方向。

　库仑力作用下的平衡问题

【典例4】　(2021·广东实验中学月考)如图所示，大小可以不计的带同种电荷的小球A和B相互排斥，静止时两球位于同一水平面上，绝缘细线与竖直方向的夹角分别为α和β，且α<β，由此可知(　　)

A．B球带的电荷量较多

B．B球的质量较大

C．B球受到的拉力较大

D．两球接触后，再处于静止状态时，绝缘细线与竖直方向的夹角为α′、β′，则仍有α′<β′

D　[根据牛顿第三定律，得A球对B球的库仑力等于B球对A球的库仑力(大小相等)，无论两球电荷量是否相等，所受库仑力都相等，故无法比较哪个电荷量较大，故A错误；对小球A、B受力分析，如图所示，根据平衡条件，有mAg＝，mBg＝，因为α<β，所以mA>mB，故B错误；根据平衡条件，有F拉A＝，F拉B＝，因为α<β，所以B球受到的拉力较小，故C错误；两球接触后，再静止下来，两绝缘细线与竖直方向的夹角变为α′、β′，对小球A、B受力分析，根据平衡条件，有tan α′＝，tan β′＝，因为mA＞mB，所以α′＜β′，故D正确。]

解决库仑力作用下平衡问题的方法

分析带电体在有库仑力作用下的平衡问题时，方法仍然与分析力学中物体的平衡问题一样。

(1)确定研究对象并对其进行受力分析。

(2)建立坐标系，列方程F合＝0。会运用到正交分解法、矢量图示法、相似三角形法、整体法等。

　库仑定律与牛顿运动定律的综合应用

【典例5】　如图所示，在光滑绝缘的水平面上，沿一条直线依次排列三个等质量的带电小球A、B、C。在C上沿它们的连线方向施加一恒力F后，三小球在运动中恰能保持相对位置不变。已知A球所带电荷量QA＝＋10q，B球所带电荷量QB＝＋q。开始时，小球间距离为r，求所施加的恒力F的大小、小球C所带电荷量QC及其电性。

[思路点拨]　此题是库仑定律与牛顿运动定律相结合的问题，为保持三个小球相对位置不变，则三个小球必有相同的加速度。从A球入手分析可知，为使A球与C球有同方向的加速度，C球上电荷的电性必与A球、B球的电性相反。

[解析]　取A、B、C三个小球为研究系统，设小球质量均为m，加速度均为a，由牛顿第二定律可知，F＝3ma              ①

取小球A为研究对象，有k－k＝ma ②

取A球和B球的整体为研究对象，有

k＋k＝2ma ③

联立①②③式可得QC＝q，其电性为负，F＝。

[答案]　　q，电性为负

解决库仑定律与牛顿运动定律综合问题的方法

库仑力与重力、弹力、摩擦力是一样的，也是矢量，合成或分解时都遵循平行四边形定则，能改变物体的运动状态，产生加速度。求解时一定要注意各部分知识的相互联系和综合运用，具体运算时可选不同的研究对象，分别用整体法或隔离法结合牛顿运动定律列方程求解。

[跟进训练]

3．(角度一)如图所示，三个完全相同的金属小球a、b、c位于等边三角形的三个顶点上，a和c带正电，b带负电，a所带电荷量的大小比b的小。已知c受到a和b的静电力的合力可用图中四条有向线段中的一条来表示，它应是(　　)

A．F1 B．F2

C．F3 D．F4

B　[根据“同号相斥、异号相吸”可以确定电荷c受到a和b的库仑力方向，由于b的带电荷量大于a的带电荷量，可知Fb大于Fa，因此Fb与Fa的合力只能为F2，选项B正确。]

4．(角度二)如图所示，在倾角为α的光滑绝缘斜面上固定一个挡板，在挡板上连接一根劲度系数为k0的绝缘轻质弹簧，弹簧另一端与A球连接。A、B、C三小球的质量均为M，qA＝q0>0，qB＝－q0，当系统处于静止状态时，三小球等间距排列。已知静电力常量为k，则(　　)

A．qC＝q0

B．弹簧伸长量为

C．A球受到的静电力大小为2Mg

D．相邻两小球间距为q0

A　[以A、B、C整体为研究对象，对其受力分析，受重力、支持力以及弹簧的拉力，则由力的平衡条件可知，F＝k0x′＝3Mgsin α，解得x′＝，B错误；以A为研究对象，小球受到的静电力大小为FA＝F－Mgsin α＝2Mgsin α，方向沿斜面向下，C错误；为了使B、C均能静止在光滑的绝缘斜面上，则小球C应带正电，设相邻两球之间的距离为x，则对小球B由力的平衡条件得Mgsin α＋＝，对小球C由力的平衡条件得Mgsin α＋＝，解得qC＝q0，x＝q0，A正确，D错误。]

5．(角度三)(多选)如图所示，光滑绝缘水平桌面上有A、B两个带电小球(可以看成点电荷)，A球带电量为＋3q，B球带电量为－q，由静止同时释放后A球加速度大小为B球的两倍。现在A、B中点固定一个带正电C球(也可看成点电荷)，再由静止同时释放A、B两球，结果两球加速度大小相等。则C球带电量可能为(　　)

A．q B．q

C．q D．q

AB　[设A、B两小球间距为L，将A、B两球释放时，对A球有k＝mA·2a，对B球有：k＝mBa；

解得：mB＝2mA

在A、B中点固定C球后，对A球有k－k＝mAa′或k－k＝mAa′，

对B球有k＋k＝mBa′，解得：qc＝q或q，故A、B选项正确。]

1．下列说法正确的是(　　)

A．点电荷是一种理想化模型，真正的点电荷是可以在自然界找到的

B．点电荷就是体积和电荷量都很小的带电体

C．根据F＝k可知，当r→0时，F→∞

D．一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计

D　[点电荷是一种理想化模型，真正的点电荷实际上并不存在，选项A错误；当两个带电体的形状对它们之间的相互作用力的影响可忽略时，这两个带电体可看作点电荷，与体积大小无直接关系，选项B错误；库仑定律只适用于真空中的静止的点电荷，当距离很小时，带电体不能再看作点电荷，故库仑定律不再适用，选项C错误；一个带电体能否看成点电荷，不是看它的尺寸大小，而是看它的形状和大小对所研究的问题的影响是否可以忽略不计，选项D正确。]

2．如图所示，O是一个固定于绝缘支架上带正电的物体，绝缘丝线一端系着带正电的小球，另一端先后挂在图中P1、P2、P3等位置，并始终保持O与小球在同一水平线上，通过比较小球在不同位置所受带电体的作用力F的大小来研究带电体之间的相互作用规律，关于本实验的下列说法中，正确的是(　　)

A．由小球受力平衡可知F＝mgtan θ，故带电小球所受力F的大小可以通过丝线偏离竖直方向的角度θ来比较

B．保持小球带电荷量不变，依次将一端系着小球的丝线的另一端悬挂于P1、P2、P3，发现丝线偏离竖直方向的角度θ越来越小，说明F与距离成反比

C．保持丝线挂在位置P1，减少O所带的电荷量Q，发现丝线偏离竖直方向的角度θ越来越小，说明F与 O所带电荷量Q成正比

D．保持丝线挂在位置P1，减少小球所带的电荷量q，并保持小球和O之间的距离不变，发现丝线偏离竖直方向的角度θ越来越小，说明F与小球所带电荷量q成正比

A　[由小球受力平衡可知F＝mgtan θ，故带电小球所受力F的大小可以通过丝线偏离竖直方向的角度θ来比较，选项A正确；保持小球带电荷量不变，依次将一端系着小球的丝线的另一端悬挂于P1、P2、P3，发现丝线偏离竖直方向的角度θ越来越小，说明F随着距离的增大而减小，但是不能说明F与距离成反比，选项B错误；保持丝线挂在位置P1，减少O所带的电荷量Q，发现丝线偏离竖直方向的角度θ越来越小，说明F随O所带电荷量Q的减少而减小，但是不能说明F与O所带电荷量Q成正比，选项C错误；保持丝线挂在位置P1，减少小球所带的电荷量q，并保持小球和O之间的距离不变，发现丝线偏离竖直方向的角度θ越来越小，说明F随小球所带电荷量的减少而减小，但是不能说明F与小球所带电荷量q成正比，选项D错误。]

3．(多选)如图所示，水平地面上固定一个光滑绝缘斜面，斜面与水平面的夹角为θ。一根轻质绝缘细线的一端固定在斜面顶端，另一端系有一个带电小球A，细线与斜面平行。小球A的质量为m，电荷量为q。小球A的右侧固定放置带等量同种电荷的小球B，两球心的高度相同，间距为d。静电力常量为k，重力加速度为g，两带电小球可视为点电荷。小球A静止在斜面上，则(　　)

A．小球A与B之间库仑力的大小为

B．当＝时，细线上的拉力为0

C．当＝时，细线上的拉力为0

D．当＝时，斜面对小球A的支持力为0

AC　[小球A的受力情况如图所示。根据库仑定律可得两小球之间的库仑力大小为F＝，选项A正确；当细线上的拉力FT为0时，小球A受到库仑力F、斜面支持力FN、重力mg，由平衡条件得＝mgtan θ，解得＝，选项B错误，C正确；由受力分析可知，斜面对小球A的支持力不可能为0，选项D错误。]

4．情境：已经证实质子、中子都是由上夸克和下夸克两种夸克组成的，上夸克带电为e，下夸克带电为－e，e为电子所带电荷量的大小，即质子所带电荷量。

问题：如果质子是由三个夸克组成的，且各个夸克之间的距离都为L，三个夸克组成等边三角形。L＝1.5×10－15m，静电力常量k＝9.0×109N·m2/C2，e＝1.6×10－19C。试求：

(1)画出质子的三个夸克的组成图形，夸克用小圆圈表示，并在每个夸克旁标出该夸克所带电量；

(2)计算质子内每相邻两个夸克之间的静电力。

[解析]　(1)如图所示。

(2)质子带电为＋e，所以它是由2个上夸克和1个下夸克组成的。按题意，三个夸克必位于等边三角形的三个顶点处。这时上夸克与上夸克之间的静电力应为Fm＝k＝k

代入数值，得Fm≈45.5 N，为斥力；

上夸克与下夸克之间的静电力为

Fn＝k＝k

代入数值，得Fn≈22.8 N，为引力。

[答案]　(1)图见解析　(2)见解析

回归本节知识，自我完成以下问题：

1．电荷之间的相互作用力的大小与哪些因素有关呢？

提示：电荷之间的相互作用力与电荷的电量有关，相互作用的两个电荷，任意一个的电量增大，作用力都将变大；电荷间的相互作用力还与带电体之间的距离有关，距离变大，作用力变小。

2．运用库仑定律的条件是什么？

提示：真空静止的点电荷。

3．什么样的带电体才是点电荷？是否存在真正的点电荷？它与以前我们学过的哪个物理模型最相似？

提示：只要带电体本身的大小跟它们之间的距离相比可以忽略，带电体就可以看作点电荷。严格来说，点电荷是一个理想模型，实际上是不存在的。点电荷与我们以前学过的质点最相似。

4．库仑定律描述的是两个点电荷之间的作用力。如果存在两个以上的点电荷，那么，每个点电荷所受的作用力应该怎样计算？

提示：每个点电荷都要受到其他所有点电荷对它的作用力。两个或两个以上点电荷对某一个点电荷的作用力，等于各点电荷单独对这个点电荷的作用力的矢量和。