高中物理人教版 (2019)必修 第三册2 电势差学案设计

电势差

[核心素养·明目标]

知识点一　电势差

1．定义

在电场中，两点之间电势的差值叫作电势差，也叫作电压。

2．公式

设电场中A点的电势为φA，B点的电势为φB，则A、B两点之间的电势差为UAB＝φA－φB，B、A两点之间的电势差为UBA＝φB－φA，所以UAB＝－UBA。

3．单位

在国际单位制中，电势差的单位是伏特，简称伏，用符号V表示。

4．电势差的正负

电势差是标量，UAB为正值，A点的电势比B点的电势高；UAB为负值，A点的电势比B点的电势低。

5．静电力做功与电势差的关系

(1)公式推导

由静电力做功与电势能变化的关系可得

WAB＝EpA－EpB，又因EpA＝qφA，EpB＝qφB，可得WAB＝qφA－qφB＝q(φA－φB)＝qUAB，所以有UAB＝。

(2)物理意义：电场中A、B两点间的电势差等于这两点之间移动电荷时静电力做的功与电荷量q的比值。

1：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两点间的电势差等于电荷从其中一点移到另一点的过程中，静电力所做的功。(×)

(2)1 C电荷从电场中一点移动到另一点，如果静电力做了1 J的功，那么这两点间的电势差就是1 V。              (√)

(3)在两点间移动电荷时，静电力做功的多少跟这两点间的电势差无关。 (×)

知识点二　等势面

1．定义：电场中电势相同的各点构成的面叫作等势面。

2．等势面与电场线的关系

(1)电场线跟等势面垂直。

(2)电场线由电势高的等势面指向电势低的等势面。

(3)在同一等势面上移动电荷时，静电力不做功。

等势面是为了描述电场性质而假想的面，实际并不存在。

2：思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)等差等势面的疏密可以表示电场的强弱。 (√)

(2)同一电荷在同一等势面上一定具有相同的电势能。 (√)

考点1　对电势差的理解

对电势差的理解

(1)电场中两点间的电势差，由电场本身的性质及初、末位置决定。与是否放入试探电荷无关。

(2)描述电势差时，必须明确所指的是哪两点(两位置)的电势差。A、B间的电势差记为UAB，而B、A间的电势差记为UBA，UAB＝－UBA。

(3)电势差是标量。电势差有正负，电势差的正负表示电场中两点电势的相对高低，如UAB＝－6 V，说明B点的电势比A点的电势高6 V或A点的电势比B点的电势低6 V。

(4)表达式UAB＝φA－φB和UBA＝φB－φA要注意下标的顺序。

(5)电势差等于两点间的电势之差，所以电场中，某点的电势在数值上等于该点与零电势点间的电势差，即φA＝UA0，φ0＝0。

(6)电场中各点间的电势差可依次用代数方法叠加，即UMN＝UMA＋UAB＋UBC＋UCN。

【典例1】　(2021·湖北省黄梅一中月考)如图所示，a、b、c是氢原子的核外电子绕核运动的三个可能轨道，取无穷远电子的电势能为0，电子在a、b、c三个轨道时对应的电势能分别为－27.2 eV、－6.8 eV、－3.02 eV，由于某种因素(如加热或光照)的影响，电子会沿椭圆轨道跃迁到离核更远的轨道上运动。已知1 eV＝1.6×10－19 J。求：

(1)a、b、c三点的电势大小；

(2)a、b间，b、c间电势差的大小。

[解析]　(1)电子的带电荷量q＝－1.6×10－19 C，据电势的定义φ＝，得φa＝＝＝27.2 V。

同理，φb＝6.8 V，φc＝3.02 V。

(2)Uab＝φa－φb＝(27.2－6.8)V＝20.4 V，

Ubc＝φb－φc＝(6.8－3.02)V＝3.78 V。

[答案]　(1)27.2 V　6.8 V　3.02 V　(2)20.4 V　3.78 V

公式φ＝，Uab＝φa－φb中每个物理量都含有正负号，本题中要注意电子电荷量为－1.6×10－19 C。eV(电子伏特)是一个能量单位，研究微观粒子时常用eV这个单位。

[跟进训练]

1．在某电场中，A、B两点间的电势差UAB＝60 V，B、C两点间的电势差UBC＝－50 V，则A、B、C三点电势高低关系是(　　)

A．φA＞φB＞φC　 B．φA＜φC＜φB

C．φA＞φC＞φB D．φC＞φB＞φA

C　[因为UAB＝φA－φB＝60 V>0，所以φA>φB，又UBC＝φB－φC＝－50 V<0，所以φB<φC，又UAC＝UAB＋UBC＝60 V＋(－50 V)＝10 V>0，所以φA>φC，故φA>φC>φB，C正确。]

考点2　静电力做功与电势差的关系

1．静电力做功的四种求法

2．应用公式WAB＝qUAB时的两点注意

(1)WAB、UAB、q均可正可负，WAB取负号表示从A点移动到B点时静电力对电荷做负功，UAB取负号表示φA<φB，q取负号表示试探电荷为负电荷。

(2)应用公式WAB＝qUAB求解时，可将各量的正负号及数值一并代入进行计算。也可以将各物理量都取绝对值，先计算大小，再根据电荷的移动方向及所受电场力的方向的具体情况来确定电场力做功的正负。

【典例2】　如图所示，光滑绝缘的细杆竖直放置，它与以正电荷Q为圆心的某圆交于B、C两点，质量为m、带电荷量为－q的有孔小球从杆上A点无初速度下滑，已知q≪Q，AB＝h，小球滑到B点时的速度大小为，其中g为重力加速度，求：

(1)小球由A到B的过程中静电力做的功；

(2)A、C两点间的电势差UAC。

[思路点拨]　(1)点电荷形成的电场中，距离点电荷相等的点电势相等。

(2)电场力做功与路径无关，做功的多少与初末位置的电势差有关。

[解析]　(1)因为杆是光滑的，所以小球从A到B的过程中只有两个力做功，即静电力做的功WAB和重力做的功mgh，由动能定理得WAB＋mgh＝mv

代入已知条件vB＝得

WAB＝m·3gh－mgh＝mgh。

(2)因为B、C在同一等势面上，所以φB＝φC

即UAC＝UAB＝＝－。

[答案]　(1)mgh　(2)－

静电场中功能关系问题的三种情况

(1)合力做功等于物体动能的变化量，即W合＝ΔEk。这里的W合指合外力做的功。

(2)电场力做功决定物体电势能的变化量，即WAB＝EpA－EpB＝－ΔEp。这与重力做功和重力势能变化之间的关系类似。

(3)只有电场力做功时，带电体电势能与动能的总量不变，即Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2。这与只有重力做功时，物体的机械能守恒类似。

[跟进训练]

2．电场中有A、B两点，一个点电荷在A点的电势能为1.2×10－8 J，在B点的电势能为0.80×10－8 J。已知A、B两点在同一条电场线上，如图所示，该点电荷的电荷量大小为1.0×10－9 C。那么(　　)

A．该电荷为负电荷

B．该电荷在A点所受的电场力比在B点所受的电场力大

C．A、B两点的电势差UAB＝4.0 V

D．把电荷从A移到B，电场力做功为2.5×1010 J

A　[点电荷在A点的电势能大于在B点的电势能，而A点电势小于B点电势，故该电荷一定为负电荷，故A正确；因该电场线周围的电场线分布情况未知，所以A、B两点的场强大小无法比较，电场力大小也无法判定，故B错误；从A到B电场力做功WAB＝EpA－EpB＝1.2×10－8 J－0.8×10－8 J＝0.4×10－8 J，故D错误；由UAB＝，得UAB＝ V＝－4.0 V，故C错误。]

考点3　等势面的理解和应用

1．等势面的应用

(1)在等差等势面分布图中可由等势面的疏密定性地分析某点电场强度的大小：等势面越密，电场强度越大。

(2)由等势面可以判断电荷在电场中移动时静电力的做功情况：正(负)电荷由高电势向低电势移动时，静电力做正(负)功；正(负)电荷由低电势向高电势移动时，静电力做负(正)功。

(3)若已知等势面的形状分布，根据等势面和电场线垂直，可以大致绘制出电场线，从而确定电场的大体分布。

2．几种常见电场的等势面

3．电场线与等势面的区别与联系

　对等势面的理解

【典例3】　关于静电场的等势面，下列说法正确的是(　　)

A．两个电势不同的等势面可能相交

B．电场线与等势面处处相互垂直

C．同一等势面上各点电场强度一定相等

D．将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电场力做正功

B　[两个电势不同的等势面一定不相交，若相交则同一点出现不同的电势，选项A错误；电荷在同一等势面上移动时电场力不做功，所以电场线与等势面是处处相互垂直的，选项B正确；同一等势面上电势相等，电场强度是矢量，有大小和方向，各点电场强度可能相等，也可能不相等，选项C错误；将一负的试探电荷从电势较高的等势面移至电势较低的等势面，电势能增大，电场力做负功，选项D错误。]

　从等势面认识电场的性质

【典例4】　空间P、Q两点处固定电荷量绝对值相等的点电荷，其中Q点处为正电荷，P、Q两点附近电场的等势线分布如图所示，a、b、c、d、e为电场中的5个点，设无穷远处电势为0，则(　　)

A．e点的电势大于0

B．a点和b点的电场强度相同

C．b点的电势低于d点的电势

D．负电荷从a点移动到c点时电势能增加

D　[由等势线分布图可以确定题图为两等量异种点电荷电场的等势线分布图，两点电荷连线垂直平分线上电势处处为零，A项错误；电场线与等势线垂直，故a、b两点的电场强度方向不同，B项错误；Q点处为正电荷，故垂直平分线左侧电势均大于零，右侧电势均小于零，所以b点的电势高于d点的电势，C项错误；又负电荷在电势高处电势能小，所以负电荷从a点移到c点时电势能增加，D项正确。]

　电场中的能量转化

【典例5】　(多选)如图所示，虚线a、b、c、d、f代表匀强电场内间距相等的一组等势面，已知平面b上的电势为2 V。一电子经过a时的动能为10 eV，从a到d的过程中克服电场力所做的功为6 eV。下列说法正确的是(　　)

A．平面c上的电势为零

B．该电子可能到达不了平面f

C．该电子经过平面d时，其电势能为4 eV

D．该电子经过平面b时的速率是经过d时的2倍

AB　[因等势面间距相等，由U＝Ed得相邻虚线之间电势差相等，电子由a到d，qUad＝－6 eV，即eUad＝6 eV，故Uad＝6 V。各虚线电势如图所示，电子由a到d，因电场力做负功，故电场方向向右，沿电场线方向电势降低，φc＝0，故A正确；因电子的速度方向未知，若不垂直于等势面，如图中实线所示，电子可能到达不了平面f，故B正确；经过d时，电势能Ep＝－eφd＝2 eV，故C错误；由a到b，Wab＝Ekb－Eka＝－2 eV，所以Ekb＝8 eV；由a到d，Wad＝Ekd－Eka＝－6 eV，所以Ekd＝4 eV，则Ekb＝2Ekd，根据Ek＝mv2，知vb＝vd，故D错误。]

[跟进训练]

3．(多选)如图所示，关于x轴对称的三条等势线为正点电荷形成的电场中的等势线，其与x轴的交点分别为a、b、c，下列说法正确的是(　　)

A．b点的电场强度方向与x轴垂直

B．a、b、c三点中c点的电场强度最大

C．a、b、c三点中c点的电势最高

D．把一电子从a点移到b点，电子的电势能减小

BCD　[由于三条等势线为正点电荷形成的电场中的等势线，所以正点电荷位于c点的右侧，a、b、c三点中c点离正点电荷最近，根据点电荷产生的电场的电场强度公式E＝可知，c点的电场强度最大，由电场线一定与等势线垂直，且由电势较高的等势线指向电势较低的等势线，由正点电荷的电场分布可知，b点处的电场强度方向沿x轴负方向，A错误，B正确；沿着电场线的方向电势降低，可知a、b、c三点中c点的电势最高，C正确；把一电子从a点移到b点，电场力做正功，电势能减少，D正确。]

4．如图所示，虚线表示等势面，相邻两等势面间的电势差相等。有一电子在该电场中运动，实线表示该电子的运动轨迹，电子在a点的动能为28 eV，运动到b点时的动能为4 eV。取c点为零电势点，当这个电子的电势能等于－6 eV时，它的动能等于(　　)

A．16 eV  B．18 eV  C．6 eV  D．8 eV

B　[根据动能定理可知，在电子从a点运动到b点的过程中，静电力做的功Wab＝Ekb－Eka＝－24 eV，由于相邻两等势面间的电势差相等，故有Uab＝3Ucb，由W＝qU可得Wab＝3Wcb，则Wcb＝－8 eV。在电子从b点运动到c点的过程中，静电力做正功，根据动能定理有Wbc＝Ekc－Ekb＝－Wcb，解得Ekc＝12 eV。由于只有静电力做功，电子的电势能和动能之和保持不变，故电子在c点的总能量E＝Ekc＋Epc，即电势能和动能之和为12 eV，因此当电子的电势能等于－6 eV时，它的动能为18 eV，B正确。]

1．(多选)关于电势差UAB和电势φA、φB的理解，正确的是(　　)

A．UAB表示B点相对于A点的电势差，即UAB＝φB－φA

B．UAB和UBA是不同的，它们有关系UAB＝－UBA

C．φA、φB都可以有正、负，所以电势是矢量

D．电势零点的规定是任意的，但人们通常规定大地或无穷远处为电势零点

BD　[UAB表示A点相对于B点的电势差，UAB＝φA－φB，A错；UBA表示B点相对于A点的电势差，UBA＝φB－φA，故UAB＝－UBA，B对；电势是标量，正负号是相对于零电势点而言的，正号表示高于零电势点，负号表示低于零电势点，C错；零电势点理论上是可以任意选取的，但通常取无穷远处或大地为零电势点，D对。]

2．下列四个图中，a、b两点电势相等、电场强度矢量也相等的是(　　)

A　　 　　　B　　　　C　　　　D

D　[匀强电场的等势面是一系列的平行平面，A图中a、b两点不在同一等势面上，所以，这两点的电势是不相等的，但这两点的电场强度相等；B图中a、b两点在同一个等势面上，电势相等，但这两点的电场强度矢量大小相等、方向不同；C图中a、b两点对称于两电荷的连线，所以电势相等，但在中垂线上电场强度的方向是平行于中垂线的，而且都指向外侧，故两点的电场强度的方向不同；D中，a、b两点的电势相等，电场强度的方向是沿连线的，而且大小相同，故D正确。]

3．如图所示，实线表示某静电场的电场线，虚线表示该电场的等势面。下列判断正确的是(　　)

A．1、2两点的电场强度相等

B．1、3两点的电场强度相等

C．1、2两点的电势相等

D．2、3两点的电势相等

D　[根据电场线的疏密表示电场强度的大小知，1点的电场强度大于2点、3点的电场强度，选项A、B错误；根据沿着电场线方向电势逐渐降低，在同一等势面上各点的电势相等知，1点的电势高于2点电势，2、3点处于同一等势面上，电势相等，选项C错误，D正确。]

4．如图所示，三个等势面上有A、B、C、D四点，若将一正电荷由C经A移到D点，静电力做正功W1；若由C经B移到D点，静电力做正功W2。则W1与W2，C、D两点电势φC、φD的大小关系分别为(　　)

A．W1＞W2，φC＜φD B．W1＜W2，φC＜φD

C．W1＝W2，φC＜φD D．W1＝W2，φC＞φD

D　[将一正电荷由C经A移到D时，W1＝qUCD，正电荷由C经B移到D时，W2＝qUCD，所以W1＝W2，由C到D电场力做正功，电势能降低，所以φC＞φD，故D正确。]

5．情境：如图为某一平面内非匀强电场的等势线分布图，已知相邻的等势线间的电势差大小相等，其中A、B两点电势分别为φA＝10 V，φB＝2 V。

问题：(1)比较A、B两点电场强度的大小。

(2)若将一电子从A点沿某一路径运动到B点，则电子的电势能如何变化？变化了多少？

[解析]　(1)等差等势面密的地方电场强度大，B处的等势面密，所以B点的电场强度大。

(2)根据公式：W＝qU得

W＝qU＝－e·(φA－φB)＝－1.6×10－19×8 J＝－1.28×10－18 J

电场力做负功，电子的电势能增大。

[答案]　(1)B点的电场强度大　(2)增大　1.28×10－18 J

回归本节知识，自我完成以下问题：

1．电荷q在电场中从A点移到B点时，静电力做的功与电势差的关系式是怎样的？

提示：UAB＝。

2．UAB由什么决定？它与WAB、q有关吗？WAB是由q、UAB决定的吗？

提示：UAB与q、WAB均无关，仅与电场中A、B两位置有关，即电势差由电场本身的性质决定。而WAB由q、UAB决定。

3．沿着电场线方向，电势越来越低，那么，等势面有什么特点呢？

提示：电场线跟等势面垂直，并且由电势高的等势面指向电势低的等势面。

(教师用书独具)

电势差和电压到底有什么区别？

电势差就是电压。电势差是电学中一个很重要的物理量，因为它跟静电力移动电荷做功有关，而我们利用电就是要利用电流来做功，电流做功实际上就是静电力移动电荷做功。

我们知道，物体在重力作用下，要从位置高处向位置低处移动，物体移动的过程中重力要做功，做功的多少跟这两处的高度差有关，高度差越大，重力所做的功越多。在电场里，电荷在静电力作用下也要发生移动，移动过程中静电力也要做功。电荷在静电力作用下从一点移动到另一点时，静电力做功的多少跟这两点间的电势差有关，电势差越大，所做的功就越多。可见，电势差跟高度差有些相似。

如果电荷q在电场中从一点移动到另一点，静电力做的功为W，那么比值就是这两点间的电势差，电势差通常用U表示，即电荷在电场中两点间移动时，静电力所做的功跟它的电荷量的比值，叫作这两点间的电势差，也叫电压。

两点间的电势差等于单位电荷从其中一点移动到另一点静电力所做的功。在国际单位制中，电势差的单位是伏特，简称伏，符号是V。1 C电荷从电场中的一点移动到另一点，如果静电力做了1 J的功，这两点间的电势差就是1 V。

知道了两点间的电势差，利用上面的公式，就可以求出在这两点间移动任意电荷时静电力所做的功，即W＝qU。

地球上的物体，具有重力势能。当物体在重力的作用下，从一点移动到另一点时，重力对物体做功，物体的重力势能减少。重力对物体做了多少功，物体的重力势能就减少多少。减少的势能转化成物体的动能或其他形式的能。与此相似，电场中的电荷也具有势能，叫作电势能，通常简称为电能。

当电荷在静电力的作用下，从一点移动到另一点时，静电力对电荷做功，电荷的电势能减少。静电力对电荷做了多少功，电荷的电势能就减少多少。如果电场中两点间的电势差为U，电荷q在静电力作用下从一点移动到另一点时，静电力对电荷做了多少正功，电荷的电势能就减少多少；静电力对电荷做了多少负功，电荷的电势能就增加多少。

　在研究微观粒子时常用电子伏特(eV)作为能量的单位。1 eV等于一个电子经过1 V电压加速后所增加的动能。那么，1 eV等于多少焦耳？请推导电子伏特与焦耳的换算关系。

提示：根据静电力做功公式W＝qU可得

W＝eU＝1.6×10－19×1 J＝1.6×10－19 J

故电子伏特与焦耳的换算关系为1 eV＝1.6×10－19 J。