沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试课后测评

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形章节练习

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列命题是真命题的是（    ）

A．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合

B．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度

C．有两个角是60°的三角形是等边三角形

D．在ABC中，，则ABC为直角三角形

2、我们称网格线的交点为格点．如图，在4×4的长方形网格中有两个格点A、B，连接AB，在网格中再找一个格点C，使得△ABC是等腰直角三角形，则满足条件的格点C的个数是（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

3、如图，在中，AD是角平分线，且，若，则的度数是（    ）

A．45° B．50° C．52° D．58°

4、如图，工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是（   ）

A．两点确定一条直线

B．两点之间，线段最短

C．三角形具有稳定性

D．三角形的任意两边之和大于第三边

5、以下长度的三条线段，能组成三角形的是（    ）

A．2，3，5 B．4，4，8 C．3，4.8，7 D．3，5，9

6、如图，等边中，D为AC中点，点P、Q分别为AB、AD上的点，，，在BD上有一动点E，则的最小值为（    ）

A．7 B．8 C．10 D．12

7、如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形一定是（    ）．

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形

8、小明把一副含有45°，30°角的直角三角板如图摆放其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠a+∠β等于（    ）

A．180° B．210° C．360° D．270°

9、如图：将一张长为40cm的长方形纸条按如图所示折叠，若AB=3BC，则纸条的宽为(     )

A．12 B．14 C．16 D．18

10、如图，△ ABC≌△CDA，∠BAC=80°，∠ABC=65°，则∠CAD的度数为（    ）

A．35° B．65° C．55° D．40°

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、边长为1的小正方形组成如图所示的6×6网格，点A，B，C，D，E，F，G，H都在格点上．其中到四边形ABCD四个顶点距离之和最小的点是_________．

2、如图，在△ABC中，点D在CB的延长线上，∠A＝60°，∠ABD＝110°，则∠C等于___．

3、如图，把两块大小相同的含45°的三角板ACF和三角板CFB如图所示摆放，点D在边AC上，点E在边BC上，且∠CFE＝13°，∠CFD＝32°，则∠DEC的度数为_______．

4、如图所示，将一个顶角∠B＝30°的等腰三角形ABC绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°），得到等腰三角形AB'C'，使得点B'，A，C在同一条直线上，则旋转角α＝_____度．

5、如图，在边长为4，面积为的等边中，点、分别是、边的中点，点是边上的动点，求的最小值___．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、如图，AD，BC相交于点O，AO＝DO．

（1）如果只添加一个条件，使得△AOB≌△DOC，那么你添加的条件是        （要求：不再添加辅助线，只需填一个答案即可）；

（2）根据已知及（1）中添加的一个条件，证明AB＝DC．

2、如图，在中，点D、E分别在边AB、AC上，BE与CD交于点F，，，．求和的度数．

3、如图，是等边三角形，D点是BC上一点，，于点E，CE交AD于点P．求的度数．

4、已知：在△ABC中，AD平分∠BAC，AE=AC．求证：AD∥CE．

5、如图，已知AB＝AC，AD＝AE，BD和CE相交于点O．求证：OB＝OC．

6、如图，在中，、分别是上的高和中线，，，求的长．

7、如图，△ABC是等边三角形，点D、E、F分别同时从A、B、C以同样的速度沿AB、BC、CA方向运动，当点D运动到点B时，三个点都停止运动．

（1）在运动过程中△DEF是什么形状的三角形，并说明理由；

（2）若运动到某一时刻时，BE=4，∠DEC=150°，求等边△ABC的周长；

8、如图，点C是线段AB上一点，与都是等边三角形，连接AE，BF．

（1）求证：；

（2）若点M，N分别是AE，BF的中点，连接CM，MN，NC．

①依题意补全图形；

②判断的形状，并证明你的结论．

9、下面是“作一个角的平分线”的尺规作图过程．

已知：如图，钝角．

求作：射线OC，使．

作法：如图，

①在射线OA上任取一点D；

②以点О为圆心，OD长为半径作弧，交OB于点E；

③分别以点D，E为圆心，大于长为半径作弧，在内，两弧相交于点C；

④作射线OC．

则OC为所求作的射线．

完成下面的证明．

证明：连接CD，CE

由作图步骤②可知______．

由作图步骤③可知______．

∵，

∴．

∴（________）（填推理的依据）．

10、如图，在△ABC中，AD⊥BE，∠DAC＝10°，AE是∠BAC的外角∠MAC的平分线，BF平分∠ABC交AE于点F，求∠AFB的度数．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

分别根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、等边三角形的判定，直角三角形的判定即可判断．

【详解】

A.等腰三角形中顶角角平分线、底边上的中线和底边上的高线互相重合，即三线合一，故此选项错误；

B.三角形的内角和为180°，故此选项错误；

C.有两个角是60°，则第三个角为，所以三角形是等边三角形，故此选项正确；

D.设，则，故，解得，所以，，此三角形不是直角三角形，故此选项错误．

故选：C．

【点睛】

本题考查等腰三角形的性质，直角三角形的定义以及三角形内角和，掌握相关概念是解题的关键．

2、A

【分析】

根据题意，结合图形，分两种情况讨论：①AB为等腰直角△ABC底边；②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰．

【详解】

解：如图：分情况讨论：

①AB为等腰直角△ABC底边时，符合条件的格点C点有0个；

②AB为等腰直角△ABC其中的一条腰时，符合条件的格点C点有3个．

故共有3个点，

故选：A．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质和判定；解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形，数形结合的思想是数学解题中很重要的解题思想．

3、A

【分析】

根据角平分线性质求出∠DCA，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理求解∠C和∠B即可．

【详解】

解：∵AD是角平分线，，

∴∠DCA==30°，

∵AD=AC，

∴∠C=（180°－∠DCA）÷2=75°，

∴∠B=180°－∠BAC－∠C=180°－60°－75°=45°，

故选：A．

【点睛】

本题考查角平分线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质是解答的关键．

4、C

【分析】

根据三角形具有稳定性进行求解即可．

【详解】

解：工人师傅在安装木制门框时，为防止变形，常常钉上两条斜拉的木条，这样做的数学依据是三角形具有稳定性，

故选C．

【点睛】

本题主要考查了三角形的稳定性，熟知三角形具有稳定性是解题的关键．

5、C

【分析】

由题意根据三角形的三条边必须满足：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边进行分析即可．

【详解】

解：A、2+3=5，不能组成三角形，不符合题意；

B、4+4=8，不能组成三角形，不符合题意；

C、3+4.8＞7，能组成三角形，符合题意；

D、3+5＜9，不能组成三角形，不符合题意．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查对三角形三边关系的理解应用．注意掌握判断是否可以构成三角形，只要判断两个较小的数的和大于最大的数即可．

6、C

【分析】

作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小，最小值，据此求解即可．

【详解】

解：如图，

是等边三角形，

，

∵D为AC中点，

∴，，，

，

作点关于的对称点，连接交于，连接，此时的值最小．最小值，

，，

，

，

，

，

是等边三角形，

，

的最小值为．

故选：C．

【点睛】

本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．

7、B

【分析】

根据题意画出图形，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理即可得到答案．

【详解】

如图，在△ABC中，CD是边AB上的中线

∵AD=CD=BD

∴∠A=∠DCA，∠B=∠DCB

∵∠A+∠ACB+∠B=180°

∴ ∠A+∠DCA+∠DCB+∠B=180

即2∠A+2∠B=180°

∴∠A+∠B=90°

∴∠ACB=90°

∴△ABC是直角三角形

故选：B

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，熟练运用这两个知识是关键．

8、B

【分析】

已知，得到，根据外角性质，得到，，再将两式相加，等量代换，即可得解；

【详解】

解：如图所示，

∵，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴，

∵，，

∴；

故选D．

【点睛】

本题主要考查了三角形外角定理的应用，准确分析计算是解题的关键．

9、B

【分析】

如图，延长NO交AD的延长线于点P，设BC=x，则AB=3x，利用折叠的性质和等腰直角三角形的性质可表示出纸条的宽MO，NO的长，从而可表示出纸条的长2PN的长，然后根据长方形纸条的长为40，可得到关于x的方程，解方程求出x的值，即可求出纸条的宽．

【详解】

解：如图，延长NO交AD的延长线于点P，

 设BC=x，则AB=3x，

 ∵折叠，

 ∴AB=BM=CO=CD=PO=3x，

 ∴纸条的宽为：MO=NO=3x+3x+x=7x，

 ∴纸条的长为：2PN=2（7x+3x）=20x=40

 解得：x=2，

 ∴纸条的宽NO=7×2=14．

 故答案为：B．

【点睛】

此题考查了折叠的性质，等腰直角三角形的性质，一元一次方程应用题，解题的关键是正确分析题目中的等量关系列出方程求解．

10、A

【分析】

先根据三角形内角和定理求出∠ACB=35°，再根据全等三角形性质即可求出∠CAD=35°．

【详解】

解：∵∠BAC=80°，∠ABC=65°，

∴∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=35°，

∵△ABC≌△CDA，

∴∠CAD=∠ACB=35°．

故选：A

【点睛】

本题考查了三角形的内角和定理，全等三角形的性质，熟知两个定理是解题关键．

二、填空题

1、E

【分析】

到四边形ABCD四个顶点距离之和最小的点是对角线的交点，连接对角线，直接判断即可．

【详解】

如图所示，连接BD、AC、GA、GB、GC、GD，

∵，，

∴到四边形ABCD四个顶点距离之和最小是，该点为对角线的交点，

根据图形可知，对角线交点为E，

故答案为：E．

【点睛】

本题考查了三角形三边关系，解题关键是通过连接辅助线，运用三角形三边关系判断点的位置．

2、50°

【分析】

首先根据平角的概念求出的度数，然后根据三角形内角和定理即可求出的度数．

【详解】

解：∵∠ABD＝110°，

∴，

∴

故答案为：50°．

【点睛】

此题考查了平角的概念，三角形三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握平角的概念，三角形三角形内角和定理．

3、

【分析】

作FH垂直于FE，交AC于点H，可证得，由对应边、对应角相等可得出，进而可求出，则．

【详解】

作FH垂直于FE，交AC于点H，

∵

又∵，

∴

∵，FA=CF

∴

∴FH=FE

∵

∵

∴

又∵DF=DF

∴

∴

∵

∴

∵

∴

∴

故答案为：．

【点睛】

本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及其性质，作辅助线HF垂直于FE是解题的关键．

4、105

【分析】

利用等腰三角形的性质求出∠BAC，可得结论．

【详解】

解：∵BC＝BA，∠B＝30°，

∴∠C＝∠BAC＝（180°﹣30°）＝75°，

∴旋转角α＝180°﹣∠BAC＝105°，

故答案为：105．

【点睛】

本题考查了等腰三角形性质以及旋转的角度问题，解题的关键是理解旋转角就是对应线段的夹角．

5、

【分析】

连接，交于点，连接，则的最小值为，再由已知求出的长即可．

【详解】

解：连接，交于点，连接，

是等边三角形，是边中点，

点与点关于对称，

，

，

的最小值为，

是的中点，

，

，的面积为，

，

的最小值为，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质，将军饮马河原理，熟练掌握等边三角形的性质，灵活运用将军饮马河原理是解题的关键．

三、解答题

1、（1）OB=OC（或，或）；（2）见解析

【分析】

（1）根据SAS添加OB=OC即可；

（2）由（1）得△AOB≌△DOC，由全等三角形的性质可得结论．

【详解】

解：（1）添加的条件是：OB=OC（或，或）

证明：在和中

所以，△AOB≌△DOC

（2）由（1）知，△AOB≌△DOC

所以，AB＝DC．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答本题的关键

2、87°，40°

【分析】

根据三角形外角的性质可得，，代入计算即可求出，再根据三角形内角和定理求解即可．

【详解】

解：∵，，

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了三角形内角和和外角的性质，解题关键是准确识图，理清角之间的关系，准确进行计算．

3、

【分析】

由题意易得，，则有，然后可得，进而可证，则有，最后问题可求解．

【详解】

解：∵是等边三角形，

∴，，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴（SAS），

∴，

∵，

∴．

【点睛】

本题主要考查等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质、含30度直角三角形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键．

4、见解析．

【分析】

先根据角平分线的定义得到∠BAD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质和三角形外角定理得到∠E=∠BAC，从而得到∠BAD=∠E，即可证明AD∥CE．

【详解】

解：∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠BAC，

∵AE=AC，

∴∠E=∠ACE，

∵∠E+∠ACE=∠BAC，

∴∠E=∠BAC，

∴∠BAD=∠E，

∴AD∥CE．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，等腰三角形的性质，平行线的判定，三角形外角定理，熟知相关定理并灵活应用是解题关键．

5、见解析

【分析】

根据SAS证明△AEC与△ADB全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．

【详解】

证明：在△AEC与△ADB中，

，

∴△AEC≌△ADB（SAS），

∴∠ACE＝∠ABD，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠ACB，

∴∠OBC＝∠OCB，

∴OB＝OC．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△AEC≌△ADB是本题的关键．

6、6cm

【分析】

先根据中线的定义结合已知条件求得AB，然后再运用三角形的面积公式求解即可.

【详解】

解：∵是边上的中线，

∴是的中点，

∴，

∵，

∴，

∴=.

【点睛】

本题主要考查了三角形的中线的定义以及三角形的面积公式，掌握三角形中线的定义成为解答本题的关键.

7、（1）△DEF是等边三角形，理由见解析（2）等边△ABC的周长为

【分析】

（1）利用△DEF是等边三角形的性质以及三点的运动情况，求证和，进而证明，最后即可说明△DEF是等边三角形．

（2）利用题（1）的条件即∠DEC=150°，得出是含角的直角三角形，求出，最后求解出等边△ABC的长，最后即可求出等边△ABC的周长．

【详解】

（1）解：△DEF是等边三角形，

证明：由点D、E、F的运动情况可知：，

△ABC是等边三角形，

,，

,

，

在与中，

，

，

同理可证，进而有，

，

故△DEF是等边三角形．

（2）解：由（1）可知△DEF是等边三角形，且，

，，，

，

，

在中，，

，

，

，

等边△ABC的周长为．

【点睛】

本题主要是考查了全等三角形的性质及判定、等边三角形的判定及性质和含角直角三角形的性质，熟练利用等边三角形的性质，找到相等条件，进而证明全等三角形，综合利用全等三角形以及含角直角三角形的性质，求出对应边长，是解决该题的关键．

8、

（1）证明见解析；

（2）①补全图形见解析；②是等边三角形，证明见解析．

【分析】

（1）由等边三角形的性质可知，，．结合题意易得出．即可利用“SAS”证明，即得出；

（2）①根据题意补全图形即可；

②由全等三角形的性质可知，．再由题意点M，N分别是AE，BF的中点，即得出．即可利用“SAS”证明，得出结论，．最后根据，即得出，即可判定是等边三角形．

（1）

∵与都是等边三角形，

∴，，，

∴，即，

在和中，

∴，

∴，

∴．

（2）

①画图如下：

②是等边三角形．

理由如下：∵，

∴，．

∵点M，N分别是AE，BF的中点，

∴，

在和中，

∵，

∴，

∴，，

∴，即，

∴是等边三角形．

【点睛】

本题考查等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，线段的中点．利用数形结合的思想是解答本题的关键．

9、OE； CE；全等三角形的对应角相等

【分析】

根据圆的半径相等可得OD=OE，CD=CE，再利用SSS可证明，从而根据全等三角形的性质可得结论．

【详解】

证明：连接CD，CE

由作图步骤②可知___OE___．

由作图步骤③可知__CE___．

∵，

∴．

∴（__全等三角形对应角相等__）

故答案为：OE； CE；全等三角形的对应角相等

【点睛】

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了全等三角形的判定和性质．

10、∠AFB＝40°．

【分析】

由题意易得∠ADC＝90°，∠ACB＝80°，然后可得，进而根据三角形外角的性质可求解．

【详解】

解：∵AD⊥BE，

∴∠ADC＝90°，

∵∠DAC＝10°，

∴∠ACB＝90°﹣∠DAC＝90°﹣10°＝80°，

∵AE是∠MAC的平分线，BF平分∠ABC，

∴，

又∵∠MAE＝∠ABF+∠AFB，∠MAC＝∠ABC+∠ACB，

∴∠AFB＝∠MAE﹣∠ABF＝．

【点睛】

本题主要考查三角形外角的性质及角平分线的定义，熟练掌握三角形外角的性质及角平分线的定义是解题的关键．