初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十四章 三角形综合与测试习题

沪教版七年级数学第二学期第十四章三角形专项攻克

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、如图，和全等，且，对应．若，，，则的长为（    ）

A．4 B．5 C．6 D．无法确定

2、如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点的对应点恰好落在边上时，的长为（    ）

A．3 B．4 C．5 D．6

3、如图，是等边三角形，点在边上，，则的度数为（    ）．

A．25° B．60° C．90° D．100°

4、如图，BD是的角平分线，，交AB于点E．若，，则的度数是（    ）

A．10° B．20° C．30° D．50°

5、如图点在同一条直线上，都是等边三角形，相交于点O，且分别与交于点，连接，有如下结论：①；②；③为等边三角形；④.其中正确的结论个数是（   ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

6、如图，ABC的面积为18，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则ADC的面积是（　　）

A．8 B．10 C．9 D．16

7、下列长度的三条线段能组成三角形的是（　　）

A．3  4  8 B．4  4  10 C．5  6  10 D．5  6  11

8、下列叙述正确的是（    ）

A．三角形的外角大于它的内角 B．三角形的外角都比锐角大

C．三角形的内角没有小于60°的 D．三角形中可以有三个内角都是锐角

9、如图，在中，、分别平分、，过点作直线平行于，分别交、于点、，当大小变化时，线段和的大小关系是　　

A． B． C． D．不能确定

10、下列各条件中，不能作出唯一的的是（   ）

A．，， B．，，

C．，， D．，，

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、等腰三角形的一条边长为5，周长为20，则该三角形的腰长为__________．

2、如图，AD⊥BC，∠1＝∠B，∠C=65°，∠BAC＝__________

3、在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别为(0，3)、(4，0)、(0，0)，AB=5，点P为x轴上一点，若使得△ABP为等腰三角形，那么点P的坐标除点(，0)外，还可以是_____．

4、如图，点F，A，D，C在同一条直线上，，，，则AC等于_____．

5、如图，在中，，交BC的延长线于点E，若，点C是BE中点，则______°．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、已知：如图，在ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边BC，AC上，AD＝AE．

（1）若∠BAD＝30°，则∠EDC＝      °；若∠EDC＝20°，则∠BAD＝      °．

（2）设∠BAD＝x，∠EDC＝y，写出y与x之间的关系式，并给出证明．

2、已知：如图，点B、C在线段AD的异侧，点E、F分别是线段AB、CD上的点，∠AEG＝∠AGE，∠C＝∠DGC．

（1）求证：AB//CD；

（2）若∠AGE+∠AHF=180°，求证：∠B=∠C；

（3）在（2）的条件下，若∠BFC=4∠C，求∠D的度数．

3、如图，在四边形ABCD中，E是CB上一点，分别延长AE，DC相交于点F，，．

（1）求证：；

（2）若，求BE的长．

4、如图，在△ABC中，AB=AC，CD⊥AB于点D，∠A=50°，求∠BCD的度数．

5、如图，和是顶角相等的等腰三角形，BC，DE分别是这两个等腰三角形的底边．求证．

6、如图，是等边三角形，，分别交AB，AC于点D，E．

（1）求证：是等边三角形；

（2）点F在线段DE上，点G在外，，，求证：．

7、如图，在等腰△ABC和等腰△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE且C、E、D三点共线，作AM⊥CD于M．若BD＝5，DE＝4，求CM．

8、已知：如图，，，求证：

9、如图，在中，是角平分线，，．

（1）求的度数；

（2）若，求的度数．

10、如图是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点为格点，线段的端点都在格点上．要求以为边画一个等腰，且使得点为格点．请在下面的网格图中画出3种不同的等腰．

-参考答案-

一、单选题

1、A

【分析】

全等三角形对应边相等，对应角相等，根据题中信息得出对应关系即可．

【详解】

∵和全等，，对应

∴

∴AB=DF=4

故选：A．

【点睛】

本题考查了全等三角形的概念及性质，应注意①对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系②可以进一步推广到全等三角形对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应边上的中线相等，周长及面积相等③全等三角形有传递性．

2、A

【分析】

先根据旋转的性质可得，再根据等边三角形的判定与性质可得，然后根据线段的和差即可得．

【详解】

由旋转的性质得：，

，

是等边三角形，

，

，

．

故选：A．

【点睛】

本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题关键．

3、D

【分析】

由等边三角形的性质及三角形外角定理即可求得结果．

【详解】

∵是等边三角形

∴∠C=60°

∴∠ADB=∠DBC+∠C=40°+60°=100°

故选：D

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质、三角形外角的性质，掌握这两个性质是关键．

4、B

【分析】

由外角的性质可得∠ABD＝20°，由角平分线的性质可得∠DBC＝20°，由平行线的性质即可求解.

【详解】

解：（1）∵∠A＝30°，∠BDC＝50°，∠BDC＝∠A＋∠ABD，

∴∠ABD＝∠BDC−∠A＝50°−30°＝20°，

∵BD是△ABC的角平分线，

∴∠DBC＝∠ABD＝20°，

∵DE∥BC，

∴∠EDB=∠DBC＝20°，

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质，角平分线的定义，灵活应用这些性质解决问题是解决本题的关键．

5、D

【分析】

由SAS即可证明，则①正确；有∠CAE=∠CDB，然后证明△ACM≌△DCN，则②正确；由CM=CN，∠MCN=60°，即可得到为等边三角形，则③正确；由AD∥CE，则∠DAO=∠NEO=∠CBN，由外角的性质，即可得到答案．

【详解】

解：∵△DAC和△EBC均是等边三角形，

∴AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，

∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE，即∠ACE=∠BCD，∠MCN=180°-∠ACD-∠BCE=60°，

在△ACE和△DCB中，

，

∴△ACE≌△DCB（SAS），则①正确；

∴AE=BD，∠CAE=∠CDB，

在ACM和△DCN中，

，

∴△ACM≌△DCN（ASA），

∴CM=CN，；则②正确；

∵∠MCN=60°，

∴为等边三角形；则③正确；

∵∠DAC=∠ECB=60°，

∴AD∥CE，

∴∠DAO=∠NEO=∠CBN，

∴；则④正确；

∴正确的结论由4个；

故选D．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线的性质与判定，综合性较强，但难度不是很大，准确识图找出全等三角形是解题的关键．

6、C

【分析】

延长BD交AC于点E，根据角平分线及垂直的性质可得：，，依据全等三角形的判定定理及性质可得：，，再根据三角形的面积公式可得：，，得出，求解即可．

【详解】

解：如图，延长BD交AC于点E，

∵AD平分，，

∴，，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，，

∴，

故选：C．

【点睛】

题目主要考查全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等，熟练掌握基础知识，进行逻辑推理是解题关键．

7、C

【分析】

根据三角形的任意两边之和大于第三边对各选项分析判断求解即可．

【详解】

解：A．∵3+4＜8，

∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；

B．∵4+4＜10，

∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；

C．∵5+6＞10，

∴能组成三角形，故本选项符合题意；

D．∵5+6=11，

∴不能组成三角形，故本选项不符合题意；

故选：C．

【点睛】

本题考查了三角形的三边关系，熟记三角形的任意两边之和大于第三边是解决问题的关键．

8、D

【分析】

结合直角三角形，钝角三角形，锐角三角形的内角与外角的含义与大小逐一分析即可.

【详解】

解：三角形的外角不一定大于它的内角，锐角三角形的任何一个外角都大于内角，故A不符合题意；

三角形的外角可以是锐角，不一定比锐角大，故B不符合题意；

三角形的内角可以小于60°，一个三角形的三个角可以为： 故C不符合题意；

三角形中可以有三个内角都是锐角，这是个锐角三角形，故D符合题意；

故选D

【点睛】

本题考查的是三角形的的内角与外角的含义与大小，掌握“直角三角形，钝角三角形，锐角三角形的内角与外角”是解本题的关键.

9、C

【分析】

由平行线的性质和角平分线的定义可得，则，同理可得，则，可得答案．

【详解】

解：，

，

平分，

，

，

，

同理，

，

即．

故选：C

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握等腰三角形的判定定理，平行线的性质定理，角平分线的定义是解题的关键．

10、B

【分析】

根据三角形全等的判定及三角形三边关系即可得出结果．

【详解】

解：A、，不能组成三角形；

B、根据不可以确定选项中条件能作出唯一三角形；

C、根据可以确定选项中条件能作出唯一三角形；

D、根据可以确定选项中条件能作出唯一三角形；

故答案为：B．

【点睛】

本题考查确定唯一三角形所需要的条件及三角形三边关系，解题关键在于对全等判定条件的理解．

二、填空题

1、7.5

【分析】

根据腰长是否为5，分两类情况进行求解即可．

【详解】

解：当腰长为5时，由周长可知：底边长为10，且

故不满足三边关系，不成立，

当腰长不为5时，则底边长为5，由周长可得：腰长为

满足三边关系，故腰长为7.5，

故答案为：7.5．

【点睛】

本题主要是考查了等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，熟练根据腰长来进行分类讨论，这是解决本题的关键．

2、70°

【分析】

先根据AD⊥BC可知∠ADB＝∠ADC＝90°，再根据直角三角形的性质求出∠1与∠DAC的度数，由∠BAC＝∠1+∠DAC即可得出结论．

【详解】

∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∴∠DAC＝90°﹣65°＝25°，∠1＝∠B＝45°，

∴∠BAC＝∠1+∠DAC＝45°+25°＝70°．

【点睛】

本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键．

3、（，0）、（，0）、（9，0）

【分析】

先表示出PB=|a-4|，PB2=a2+9，AB=5，再分三种情况①当PB=AB时．②当PA=PB时，③当PA=AB时，讨论计算即可．

【详解】

设P（a，0），

∵A（0，3），B（4，0），

∴PB=|a-4|，PA2=a2+9，AB=5，

∵△ABP是等腰三角形，

∴①当PB=AB时，

∴|a-4|=5，

∴a=-1或9，

∴P（-1，0）或（9，0），

②当PA=PB时，

∴（a-4）2=a2+9，

∴a=，

∴P（，0），

③当PA=AB时，

∴a2+9=25，

∴a=4（舍）或a=-4，

∴P（-4，0）．

即：满足条件的点P的坐标为（-1，0）、（-4，0）、（9，0）．

【点睛】

本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律，等腰三角形的性质，分类讨论和用方程思想解决问题是解本题的关键．

4、6.5

【分析】

由全等三角形的性质可得到AC=DF，从而推出AF=CD，再由，，求出，则．

【详解】

解：∵△ABC≌△DEF，

∴AC=DF，即AF+AD=CD+AD，

∴AF=CD，

∵，，

∴，

∴，

∴，

故答案为：6.5．

【点睛】

本题主要考查了全等三角形的性质，线段的和差，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质．

5、67.5°

【分析】

连接AE，先得出∠BAC=∠BAE，再根据，得出∠BAC=22.5°，最后得出结果．

【详解】

解：连接AE，

∵点C是BE中点，

∴BC=CE，

∵∠ACB=90°，

∴AC⊥BE，

∴AB=AE， 

∴∠BAC=∠BAE，

∵DE⊥AB，

∴∠ADE=90°，

∵，

∴∠AED=∠DAE=45°，

∴∠BAC=∠BAE=22.5°，

∴∠B=90°-∠BAC=67.5°．

故答案为：67.5°．

【点睛】

本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键．

三、解答题

1、（1）15，40；（2）y＝x，见解析

【分析】

（1）设∠EDC＝m，则∠B＝∠C＝n，根据∠ADE＝∠AED＝m+n，∠ADC＝∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．

（2）设∠BAD＝x，∠EDC＝y，根据等腰三角形的性质可得∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED＝∠C+∠EDC＝∠B+y，由∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC即可得∠B+x＝∠B+y+y，从而求解．

【详解】

解：（1）设∠EDC＝m，∠B＝∠C＝n，

∵∠AED＝∠EDC+∠C＝m+n，

又∵AD＝AE，

∴∠ADE＝∠AED＝m+n，

则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2m+n，

又∵∠ADC＝∠B+∠BAD，

∴∠BAD＝2m，

∴2m+n＝n+30，解得m＝15°，

∴∠EDC的度数是15°；

若∠EDC＝20°，则∠BAD＝2m＝2×20°＝40°．

故答案是：15；40；

（2）y与x之间的关系式为y＝x，

证明：设∠BAD＝x，∠EDC＝y，

∵AB＝AC，AD＝AE，

∴∠B＝∠C，∠ADE＝∠AED，

∵∠AED＝∠C+∠EDC＝∠B+y，

∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，

∴∠B+x＝∠B+y+y，

∴2y＝x，

∴y＝x．

【点睛】

本题主要考查了等腰三角形的性质、三角形外角的性质以及一元一次方程的应用，灵活运用等腰三角形的性质成为解答本题的关键．

2、（1）见解析；（2）见解析；（3）108°

【分析】

（1）根据对顶角相等结合已知条件得出∠AEG＝∠C，根据内错角相等两直线平行即可证得结论；

（2）由∠AGE+∠AHF=180°等量代换得∠DGC+∠AHF=180°可判断EC//BF，两直线平行同位角相等得出∠B=∠AEG，结合（1）得出结论；

（3）由（2）证得EC//BF，得∠BFC+∠C=180°，求得∠C的度数，由三角形内角和定理求得∠D的度数．

【详解】

证明：（1）∵∠AEG=∠AGE，∠C=∠DGC，∠AGE=∠DGC

∴∠AEG=∠C  

∴AB//CD

（2）∵∠AGE=∠DGC，∠AGE+∠AHF=180°

∴∠DGC+∠AHF=180°

∴EC//BF 

∴∠B=∠AEG

由（1）得∠AEG=∠C  

∴∠B=∠C

（3）由（2）得EC//BF

∴∠BFC+∠C=180°

∵∠BFC=4∠C  

∴∠C=36°  

∴∠DGC=36°

∵∠C+∠DGC+∠D=180°  

∴∠D=108°

【点睛】

此题考查了平行线的判定与性质，三角形内角和定理，熟记“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”及“两直线平行，同旁内角互补”是解题的关键．

3、

（1）见解析

（2）

【分析】

(1)利用是的外角,以及证明即可．

(2)证明≌,可知,从而得出答案．

（1）

证明：∵是的外角，

∴．

又∵，∴．

（2）

解：在和中，

，

∴≌．

∴．

∵，

∴．

【点睛】

本题考查了三角形的外角以及三角形全等的性质和判定,掌握三角形全等的性质和判定是解题的关键．

4、25°

【分析】

直接利用等腰三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=65°，进而利用三角形内角和定理得出答案．

【详解】

∵AB=AC，∠A=50°，

∴∠ABC=∠ACB=65°，

∵CD⊥BC于点D，

∴∠BCD的度数为：180°−90°−65°=25°．

【点睛】

此题主要考查了等腰三角形的性质，正确得出∠B的度数是解题关键．

5、见解析

【分析】

由和是顶角相等的等腰三角形，得出知、、，证即可得证．

【详解】

解：和是顶角相等的等腰三角形，得出，

，，，

在和中，

，

，

．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质与全等三角形的判定和性质．

6、（1）见详解；（2）见详解

【分析】

（1）由题意易得，然后根据平行线的性质可得，进而问题可求证；

（2）连接AG，由题意易得AB=AC，然后可知△ABF≌△ACG，则有AF=AG，进而可得∠FAG=60°，最后问题可求证．

【详解】

证明：（1）∵是等边三角形，

∴，

∵DE∥BC，

∴，

∴，

∴是等边三角形；

（2）连接AG，如图所示：

∵是等边三角形，

∴，AB=AC，

∵，，

∴△ABF≌△ACG（SAS），

∴，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴．

【点睛】

本题主要考查全等三角形及等边三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形及等边三角形的性质与判定是解题的关键．

7、CM＝7．

【分析】

根据题意由“SAS”可证△AEC≌△ADB，可得BD=CE，由等腰三角形的性质可得DM=ME=2进行分析计算即可得出答案．

【详解】

解：∵∠BAC＝∠DAE，

∴∠BAC﹣∠BAE＝∠DAE﹣∠BAE，

∴∠BAD＝∠CAE，

在△AEC和△ADB中，

，

∴△AEC≌△ADB（SAS），

又∵BD＝5，

∴CE＝BD＝5，

∵AD＝AE，AM⊥CD，DE＝4，

∴，

∴CM＝CE+EM＝5+2＝7．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键．

8、证明见解析

【分析】

由，，结合公共边 从而可得结论.

【详解】

证明：在与中，

【点睛】

本题考查的是全等三角形的判定，掌握“利用边边边公理证明三角形全等”是解本题的关键.

9、

（1）；

（2）．

【分析】

（1）根据三角形内角和定理可求出，然后利用角平分线进行计算即可得；

（2）根据垂直得出，然后根据三角形内角和定理即可得．

（1）

解：∵，，

∴，

∵AD是角平分线，

∴，

∴；

（2）

∵，

∴，

∴，

∴．

【点睛】

题目主要考查三角形内角和定理，角平分线的计算等，熟练运用三角形内角和定理是解题关键．

10、答案见解析

【分析】

AB为4个等边三角形组成的平行四边形的对角线，因此只要找到另一腰也4个等边三角形组成的平行四边形的对角线即可

【详解】

解：如图，

……

[答案不唯一]

【点睛】

本题考查等腰三角形的绘图，掌握等边三角形和等腰三角形性质即可．