高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量的运算当堂达标检测题

课时素养检测

四　向量的数乘运算

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分,多选题全部选对得5分,选对但不全对的得3分,有选错的得0分)

1.下列各式计算正确的个数是 (　　)

①(-7)·6a=-42a;②a-2b+2(a+b)=3a;

③a+b-(a+b)=0.

A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3

【解析】选C.根据向量数乘的运算律可验证①②正确;③错误,因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量,而不是实数.

2.下列说法正确的是 (　　)

A.2a≠a    B.|2a|>|a|

C.2a∥a    D.|2a|≠1

【解析】选C.当a=0时,2a=a=0,A,B不正确;

当|a|=时,|2a|=1,D不正确.

3.已知O是△ABC所在平面内一点,D为BC的中点,且2++=0,则 (　　)

A.=2　   B.=

C.=3　   D.2=

【解析】选B.因为D为BC的中点,

所以+=2,

所以2+2=0,所以=-,所以=.

【补偿训练】

　　　已知向量a,b满足:|a|=3,|b|=5,且a=λb,则实数λ= (　　)

A.    B.    C.±    D.±

【解析】选C.因为|a|=3,|b|=5,a=λb,所以|a|=|λ||b|,即3=5|λ|,所以|λ|=,λ=±.

4.设a,b为不共线的两个非零向量,已知向量=a-kb,=2a+b,=3a-b,若A,B,D三点共线,则实数k的值等于              (　　)

A.10　　 B.-10　　 C.2　　 D.-2

【解析】选C.因为A,B,D三点共线,所以=λ=λ(-),所以a-kb= λ(3a-b-2a-b)=λ(a-2b),所以λ=1,k=2.

【补偿训练】

　　　已知四边形ABCD是菱形,点P在对角线AC上(不包括端点A,C),则=(　　)

A.λ(+),λ∈(0,1)

B.λ(+),λ∈(0,)

C.λ(-),λ∈(0,1)

D.λ(-),λ∈(0,)

【解析】选A.由已知,得=λ,λ∈(0,1),而=+,所以=λ(+), λ∈(0,1).

5.在△ABC中,若+=2,则等于 (　　)

A.-+　    B.-

C.-　    D.-+

【解析】选C.由+=2得=(+),所以=+=-(+)+=-.

6.(多选题)点P是△ABC所在平面内一点,若=

λ+,其中λ∈R,则点P不可能在 (　　)

A.△ABC内部 B.AC边所在的直线上

C.AB边上 D.△ABC外部

【解析】选ACD.因为=λ+,

所以-=λ.所以=λ.

所以P,A,C三点共线.所以点P一定在AC边所在的直线上.

所以点P不可能在△ABC内部与外部,也不可能在AB边上.

【补偿训练】

　　　已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P,且++=,则 (　　)

A.P在△ABC内部

B.P在△ABC外部

C.P在AB边上或其延长线上

D.P在AC边上

【解析】选D.++=-,

所以=-2,所以P在AC边上.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.若3(x+a)+2(x-2a)-4(x-a+b)=0,则x=________. 

【解析】由已知得3x+3a+2x-4a-4x+4a-4b=0,

所以x+3a-4b=0,所以x=4b-3a.

答案:4b-3a

8.设a,b是两个不共线的向量.若向量ka+2b与8a+kb的方向相反,则k=________. 

【解析】因为向量ka+2b与8a+kb的方向相反,

所以ka+2b=λ(8a+kb)⇒k=8λ,2=λk⇒k=-4(因为方向相反,所以λ<0⇒k<0).

答案:-4

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知e,f为两个不共线的向量,若四边形ABCD满足=e+2f,=-4e-f, =-5e-3f.

(1)用e,f表示;

(2)证明:四边形ABCD为梯形.

【解析】(1)=++=(e+2f)+(-4e-f)+(-5e-3f)=(1-4-5)e+(2-1-3)f=-8e-2f.

(2)因为=-8e-2f=2(-4e-f)=2,所以与方向相同,且的长度为的长度的2倍,即在四边形ABCD中,AD∥BC,且AD≠BC,所以四边形ABCD是梯形.

10.已知两个非零向量a与b不共线,=2a-b,=a+3b,=ka+5b.

(1)若2-+=0,求k的值;

(2)若A,B,C三点共线,求k的值.

【解析】(1)因为2-+=2(2a-b)-a-3b+ka+5b=(k+3)a=0,所以k=-3.

(2)=-=-a+4b,=-=(k-2)a+6b,又A,B,C三点共线,则存在λ∈R,使=λ,即(k-2)a+6b=-λa+4λb,所以解得k=.

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