第二节　法拉第电磁感应定律

[核心素养·明目标]

知识点一　影响感应电动势大小的因素

1．猜想依据

感应电流的产生条件：穿过闭合电路的磁通量发生变化。

2．实验方法

通过改变所用条形磁铁的个数，改变螺线管中磁通量的变化量ΔΦ。

通过改变条形磁铁插入或拔出螺线管的快慢，改变螺线管中磁通量变化所用的时间Δt。

3．实验表明：感应电动势的大小跟磁通量变化的快慢，即磁通量的变化率有关，用表示。

知识点二　法拉第电磁感应定律

1．内容

电路中感应电动势的大小，跟穿过这一电路的磁通量的变化率成正比。

2．公式

E＝n，n为线圈匝数，ΔΦ是磁通量的变化量。

3．单位

ΔΦ的单位是韦伯，Δt的单位是秒，E的单位是伏特。

知识点三　导体棒切割磁感线时的感应电动势

1．磁场方向、导体棒与导体棒的运动方向三者两两相互垂直时，E＝BLv。

2．如图所示，导体棒与磁场方向垂直，导体棒的运动方向与导体棒本身垂直，但与磁场方向夹角为θ时，E＝BLvsin θ。

3．单位关系

1 V＝1 T·1 m·1 m/s。

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)穿过某闭合线圈的磁通量的变化量越大，产生的感应电动势就越大。                             (×)

(2)穿过闭合电路的磁通量变化越快，闭合电路中产生的感应电动势就越大。               (√)

(3)感应电动势的方向可用右手定则或楞次定律判断。 (√)

(4)穿过闭合回路的磁通量最大时，其感应电动势一定最大。                              (×)

(5)导体棒在磁场中运动速度越大，产生的感应电动势一定越大。                              (×)

(6)在匀强磁场中，只要导体棒的运动方向与磁场方向垂直，其电动势即可用E＝BLv求解。                            (×)

2．如图所示，在磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，金属杆MN在平行金属导轨上以速度v向右匀速滑动，MN中产生的感应电动势为E1；若磁感应强度增大为2B，其他条件不变，MN中产生的感应电动势变为E2。通过电阻R的电流方向及E1与E2之比分别为(　　)

A．c→a,2∶1　 B．a→c,2∶1

C．a→c,1∶2   D．c→a,1∶2

C　[由右手定则判断可得，电阻R上的电流方向为a→c，由E＝BLv知E1＝BLv，E2＝2BLv，则E1∶E2＝1∶2，故选项C正确。]

3．下列各图中，相同的条形磁铁穿过相同的线圈时，线圈中产生的感应电动势最大的是(　　)

A　　　　B　　　　C　　　　 D

D　[感应电动势的大小为E＝n＝n，根据题设条件，相同的磁铁运动速度越大，穿过线圈所用时间越小，磁通量变化率就越大，产生的感应电动势就越大，故A项中线圈产生的感应电动势比B项中线圈产生的感应电动势大，C项线圈中磁通量一直为零，磁通量变化率为零，D项中线圈的磁通量变化率是A项中线圈的两倍，所以D项中线圈产生的感应电动势最大。]

考点1　对法拉第电磁感应定律的理解和应用

(1)如图所示，将条形磁铁从同一高度插入线圈的实验中。快速插入和缓慢插入磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？

(2)分别用一根磁铁和两根磁铁以同样速度快速插入，磁通量的变化量ΔΦ相同吗？指针偏转角度相同吗？

提示：(1)磁通量变化相同，但磁通量变化快慢不同，快速插入比缓慢插入时指针偏转角度大。

(2)用两根磁铁快速插入时磁通量变化量较大，磁通量变化率也较大，指针偏转角度较大。

1．理解公式E＝n

(1)感应电动势E的大小取决于穿过电路的磁通量的变化率，而与Φ的大小、ΔΦ的大小没有必然的关系，与电路的电阻R无关；感应电流的大小与感应电动势E和回路总电阻R有关。

(2)磁通量的变化率，是Φ­t图像上某点切线的斜率，可反映单匝线圈感应电动势的大小和方向。

(3)E＝n只表示感应电动势的大小，不涉及其正负，计算时ΔΦ应取绝对值。感应电流的方向可以用楞次定律去判定。

(4)磁通量发生变化有三种方式

①B不变，S变化，则＝B·；

②B变化，S不变，则＝·S；

③B、S变化，则＝。

2．由E＝n可求得平均感应电动势，通过闭合电路欧姆定律可求得电路中的平均电流I＝＝，通过电路中导体横截面的电量Q＝IΔt＝n。

【典例1】　如图所示，导线全部为裸导线，半径为r的圆内有垂直于平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根长度大于2r的导线MN以速度v在圆环上无摩擦地自左向右匀速滑动，电路的固定电阻为R。其余电阻忽略不计。试求MN从圆环的左端滑动到右端的过程中电阻R上的电流的平均值及通过的电量。

[解析]　由于ΔΦ＝B·ΔS＝B·πr2，完成这一变化所用的时间Δt＝

故＝＝。

所以电阻R上的电流平均值为＝＝。

通过R的电量为q＝·Δt＝。

[答案]　 　

应用E＝n时应注意的三个问题

(1)此公式适用于求平均电动势。

(2)计算电动势大小时，ΔΦ取绝对值不涉及正负。

(3)用E＝n所求的感应电动势为整个闭合电路的感应电动势，而不是回路中某部分导体两端的电动势。

1．一矩形线框置于匀强磁场中，线框平面与磁场方向垂直。先保持线框的面积不变，将磁感应强度在1 s时间内均匀地增大到原来的两倍。接着保持增大后的磁感应强度不变，在1 s时间内，再将线框的面积均匀地减小到原来的一半。先后两个过程中，线框中感应电动势的比值为(　　)

A．      B．1  C．2      D．4

B　[根据法拉第电磁感应定律E＝n，设线框匝数为n，面积为S0，初始时刻磁感应强度为B0，则第一种情况下的感应电动势为E1＝n＝nB0S0；第二种情况下的感应电动势为E2＝n＝nB0S0，所以两种情况下线框中的感应电动势相等，比值为1，故选项B正确。]

考点2　导线切割磁感线时的感应电动势

如图所示的装置，由一块安装在列车车头底部的强磁铁和埋设在轨道下面的一组线圈及电学测量仪器组成(记录测量仪器未画出)。当列车经过线圈上方时，由于穿过线圈的磁通量发生变化，线圈中就会产生感应电动势。请思考：

如果已知强磁铁的磁感应强度B、线圈垂直列车运行方向的长度L、感应电动势E，能否测出列车的运行速度呢？

提示：由E＝BLv可以测出列车的运行速度。

1．对公式E＝BLvsin  θ中各量的理解

(1)对 θ的理解：当B、L、v三个量方向互相垂直时， θ＝90°，感应电动势最大；当有任意两个量的方向互相平行时，θ＝0°，感应电动势为零。

(2)对L的理解：式中的L应理解为导线切割磁感线时的有效长度，如果导线不和磁场垂直，L应是导线在与磁场垂直方向投影的长度；如果切割磁感线的导线是弯曲的，如图所示，则应取与B和v垂直的等效直线长度，即ab的弦长。

(3)对v的理解：

①公式中的v应理解为导线和磁场间的相对速度，当导线不动而磁场运动时，也有电磁感应现象产生。

②公式E＝BLv一般用于导线各部分切割磁感线速度相同的情况，若导线各部分切割磁感线的速度不同，可取其平均速度求电动势。如图所示，导体棒在磁场中绕A点在纸面内以角速度ω匀速转动，磁感应强度为B，平均切割速度＝vC＝，则E＝BL＝BωL2。

2．公式E＝BLvsin  θ与E＝n的对比

【典例2】　如图所示，MN、PQ为两条平行的水平放置的金属导轨，左端接有定值电阻R，金属棒ab斜放在两导轨之间，与导轨接触良好，磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面，设金属棒与两导轨接触点之间的距离为L，金属棒与导轨间夹角为60°，以速度v水平向右匀速运动，不计导轨和金属棒的电阻，则流过金属棒中的电流为 (　　)

A．I＝　   B．I＝

C．I＝   D．I＝

[思路点拨]　①先确定杆的有效长度。②由E＝BLv计算电动势的大小。③由I＝计算回路中电流的大小。

B　[金属棒匀速运动，所以平均感应电动势的大小等于瞬时感应电动势的大小。题中金属棒的有效长度为，故E＝Bv。根据闭合电路欧姆定律得I＝，故B正确。]

在公式E＝BLv中，L是指导体棒的有效切割长度，即导体棒在垂直于速度v方向上的投影长度。

2．如图，空间有一匀强磁场，一直金属棒与磁感应强度方向垂直，当它以速度v沿与棒和磁感应强度都垂直的方向运动时，棒两端的感应电动势大小为E，将此棒弯成两段长度相等且相互垂直的折弯，置于磁感应强度相垂直的平面内，当它沿两段折线夹角平分线的方向以速度v运动时，棒两端的感应电动势大小为E′，则等于(　　)

A．      B．  C．1      D．

B　[若直金属棒的长为L，则弯成折线后，有效切割长度为L。根据E＝BLv可知感应电动势的大小与有效切割长度成正比，故＝，B正确。]

1．下列几种说法中正确的是(　　)

A．线圈中磁通量变化越大，线圈中产生的感应电动势一定越大

B．线圈中磁通量越大，线圈中产生的感应电动势一定越大

C．线圈放在磁场越强的位置，线圈中产生的感应电动势一定越大

D．线圈中磁通量变化越快，线圈中产生的感应电动势一定越大

D　[感应电动势的大小和磁通量的大小、磁通量变化量的大小以及磁场的强弱均无关系，它由磁通量的变化率决定，故选D。]

2．如图所示的情况中，金属导体产生的感应电动势为BLv的是(　　)

甲　　　　乙　　　　　丙　　　　丁

A．乙和丁   B．甲、乙、丁

C．甲、乙、丙、丁   D．只有乙

B　[公式E＝BLv中的L指导体的有效切割长度，甲、乙、丁中的有效长度均为L，感应电动势E＝BLv，而丙的有效长度为Lsin θ，感应电动势E＝BLvsin θ，故B项正确。]

3．如图所示，匀强磁场中有两个导体圆环a、b，磁场方向与圆环所在平面垂直。磁感应强度B随时间均匀增大。两圆环半径之比为2∶1，圆环中产生的感应电动势分别为Ea和Eb，不考虑两圆环间的相互影响。下列说法正确的是(　　)

A．Ea∶Eb＝4∶1，感应电流均沿逆时针方向

B．Ea∶Eb＝4∶1，感应电流均沿顺时针方向

C．Ea∶Eb＝2∶1，感应电流均沿逆时针方向

D．Ea∶Eb＝2∶1，感应电流均沿顺时针方向

B　[由法拉第电磁感应定律得圆环中产生的电动势为E＝＝πr2·，则＝＝，由楞次定律可知感应电流的方向均沿顺时针方向，B项正确。]

4．如图所示，一金属弯杆处在磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中，已知ab＝bc＝L，当它以速度v向右平动时，a、c两点间的电势差为(　　)

A．BLv　   B．BLvsin θ

C．BLvcos θ   D．BLv(1＋sin θ)

B　[公式E＝BLv中的L应指导体切割磁感线的有效长度，也就是与磁感应强度B和速度v垂直的长度，因此该金属弯杆的有效切割长度为Lsin θ，故感应电动势大小为BLvsin θ；故选项B正确。]

5．面积S＝0.2 m2、n＝100匝的圆形线圈，处在如图所示的磁场内，磁感应强度随时间t变化的规律是B＝0.02t(T)，电阻R＝3 Ω，电容器的电容C＝30 μF，线圈电阻r＝1 Ω，求：

(1)通过R的电流方向和4 s内通过导线横截面的电量；

(2)电容器的电量。

[解析]　(1)由楞次定律可求得电流的方向为逆时针，通过R的电流方向为b→a。

由法拉第电磁感应定律可得

E＝n＝nS＝100×0.2×0.02 V＝0.4 V

由欧姆定律得电路中的电流

I＝＝ A＝0.1 A

4 s内通过导线横截面的电量

q＝It＝0.4 C。

(2)UC＝UR＝IR＝0.1×3 V＝0.3 V

Q＝CUC＝30×10－6×0.3 C＝9×10－6 C。

[答案]　(1)方向由b→a　0.4 C　(2)9×10－6 C