第二节　描述交变电流的物理量

[核心素养·明目标]

知识点一　交变电流的周期和频率

1．周期：交变电流完成一次周期性变化的时间叫作它的周期。单位是s。

2．频率：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数叫频率。单位是Hz。

3．周期T、频率f、角速度ω的关系：ω＝＝2πf，T＝。

知识点二　交变电流的峰值和有效值

1．峰值：交变电流在一个周期内所能达到的最大数值。

2．有效值

(1)定义：交变电流和恒定电流分别通过相同阻值的电阻，如果它们在相同时间内产生的热量相等，这一恒定电流的数值就是相应交变电流的有效值。

(2)应用

①无特别说明的交变电流的电压、电流值是有效值。

②交流电表测量的交变电流的电压、电流值是有效值。

③交流用电设备所标注的额定电压、额定电流指有效值。

3．正弦式交变电流有效值和峰值的关系

E＝＝0.707Em。

I＝＝0.707Im。

U＝＝0.707Um。

知识点三　用图像描述交变电流

1．物理意义：描述交变电流(电动势e、电流i、电压u)随时间t(或角度ωt)变化的规律。

2．正弦式交变电流的图像(如图所示)

3．几种不同类型的交变电流(如图所示)

1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对于一个正弦式电流的峰值同周期、频率一样是不变的，但有效值是随时间不断变化的。                            (×)

(2)正弦式交变电流的正负两部分是对称的，所以有效值为零。

  (×)

(3)正弦式交变电流的有效值等于峰值的倍。非正弦式交变电流的有效值不一定等于峰值的倍。                            (√)

(4)只要是交变电流，其峰值就是有效值的倍。 (×)

(5)家用电器铭牌上标称的电流、电压都是指有效值。 (√)

2．(多选)某交变电流的方向在1 s内改变100次，则其周期T和频率f分别为(　)

A．T＝0.01 s   B．T＝0.02 s

C．f＝100 Hz   D．f＝50 Hz

[答案]　BD

3．有一交变电流如图所示，则由此图像可知(　　)

A．它的周期是0.4 s

B．它的峰值是4 A

C．它的有效值是2 A

D．它的频率是0.8 Hz

B　[由此图像可知它的周期是0.8 s，故A错误；它的峰值是4 A，故B正确；它不是正弦式电流，因此有效值不是等于最大值除以，即它的有效值不是2 A，故C错误；它的周期是0.8 s，频率f＝＝1.25 Hz，故D错误。]

考点1　交变电流的周期和频率

电磁打点计时器接到干电池上怎样调整也不打点，而接到学生电源的低压交流挡上就顺利打点，且每隔0.02 s打一个点。打点计时器打点时间间隔为什么为0.02 s？其时间间隔由什么决定？

提示：电磁式打点计时器的打点频率与工作电流频率相同，我国生产、生活用电的频率为50 Hz，所以打点计时器的打点时间间隔T＝＝0.02 s；时间间隔由电源的频率决定。

1．周期和频率的物理意义：交变电流的周期与频率都是描述交变电流变化快慢的物理量。

2．周期T：交变电流完成一次周期性变化的时间，单位是s。周期越大，电流变化越慢；在一个周期内，电流的方向改变2次。

3．频率f：交变电流在1 s内完成周期性变化的次数，单位是赫兹，符号为Hz，频率越大，电流变化越快。

4．周期和频率的关系：T＝或f＝。

【典例1】　关于交变电流的周期和频率，下列说法正确的是(　　)

A．正弦式交变电流最大值连续出现两次的时间间隔等于周期

B．1 s内交变电流出现最大值的次数等于频率

C．交变电流方向变化的频率为交变电流频率的2倍

D．50 Hz的交变电流，其周期等于0.05 s

C　[根据周期的定义知选项A错误；因为在一个周期的时间内，交变电流会出现正向和负向最大值各一次，但相邻两个峰值的时间间隔为半个周期，B错误；交变电流在一个周期内方向改变两次，即方向变化的频率为交变电流频率的2倍，故选项C正确；由T＝＝ s＝0.02 s，知选项D错误。]

1由交变电流的图像可直接获得的信息有：①该交变电流的最大值、周期；②任意时刻交变电流的数值。

2掌握角速度ω、周期T、转速n的关系。

ω＝；ω＝2πn；n＝。

1．(多选)某小型发电机产生的交流电动势为e＝50sin 100πt(V)。对此电动势，下列表述正确的有(　　)

A．周期是0.02 s　　 B．t＝0时刻线圈平面与中性面重合

C．频率是5 Hz   D．最大值是50 V

ABD　[周期是T＝＝ s＝0.02 s，频率为50 Hz，选项A正确，C错误；t＝0时刻e＝0，此时线圈平面与中性面重合，选项B正确；最大值是50V, D正确。]

考点2　交变电流的峰值和有效值

如图甲、乙中电炉烧水，设其他条件都相同，水的质量相等，水的初温相同。若恒定电流用10分钟把水烧开，而交变电流也用10分钟把水烧开。两种情况下电阻热量相同吗？交流电电流的有效值是多少？

甲　　　　　　　　　　　乙

提示：热量相同。有效值是3 A。

1．有效值的理解

(1)交变电流的有效值是根据电流的热效应定义的，与电流的方向无关。

(2)“等效”理解：相同电阻、相同时间，产生相同热量。交变电流与多大的直流电“效果”相同，有效值就是多大。

2．有效值的计算方法

(1)分段计算交变电流在一个周期内产生的热量Q。

(2)让直流电流(实际上是恒定电流)通过相同的电阻，在交变电流一个周期内产生的热量等于Q。如Q＝I2RT或Q＝T，相对应的I、U即为交变电流、电压的有效值。

3．几种常见交变电流的有效值

【典例2】　一根电阻丝接入100 V的直流电，2 min内产生的热量为Q，同样的一根电阻丝接入正弦式交变电压，1 min内产生的热量也为Q，那么该交变电压的最大值为(　　)

A．100 V　　B．200 V　　C．50 V      D．70 V

[思路点拨]　对于正弦式交流电产生的热量应由有效值来计算，即Q＝IRt＝t，且有效值与最大值之间的关系为U有＝Um，据此本题求解就很明了了。

B　[设该交变电压最大值为Um，则Q＝t1＝t2，其中U＝100 V，t1＝2 min＝120 s，t2＝1 min＝60 s，解得Um＝200 V，故选B。]

求解有效值的一般步骤

(1)首先要分析交变电流的变化规律，在一个交变电流中可能存在几种形式的交流电。

(2)一个交变电流中存在几种形式，可在一个周期内分段求出产生的热量，再求其和。

(3)正弦式交变电流的最大值和有效值的关系是：I＝，U＝，非正弦式交变电流不符合此关系。

(4)分段不同，矩形脉冲的交流电的有效值不是算术平均值，而是分段用焦耳定律求解。

2．如图所示的交变电流由正弦式交变电流的一半和反向脉冲电流组合而成，则这种交变电流的有效值为(　　)

A．I0      B．I0  C．I0      D．I0

C　[由i­t图像知交变电流的周期T＝2 s。一个周期内：前半个周期电流的有效值：I1＝，后半个周期电流的有效值：I2＝I0。设交变电流的有效值为I，根据交变电流有效值的定义有I2RT＝IR＋IR＝R＋IR，解得I＝I0，故选项C正确。]

考点3　交变电流的图像

(1)如图，线圈匝数N、磁感应强度B、转动角速度ω及线圈面积S都相同，但转轴位置和形状不同，产生的电动势的最大值相同吗？

(2)线圈从中性面位置开始转动， 电动势的函数表达式和图像是什么样的？

提示：(1)最大值与线圈的形状及转轴的位置无关。若N、B、S、ω相同，则电动势的最大值相同。

(2)函数表达式为e＝Emsin ωt，则e­t图像为正弦函数图像。

1．从如图所示的交变电流的e­t图像上可以确定以下量：

(1)可以读出电动势的峰值Em。

(2)可根据线圈转至中性面时电动势为零的特点，确定线圈处于中性面的时刻，确定了该时刻，也就确定了磁通量最大的时刻和磁通量变化率最小的时刻。

(3)可根据线圈转至与磁场平行时感应电动势最大的特点，确定线圈与中性面垂直的时刻，此时刻也就是磁通量为零的时刻和磁通量变化率最大的时刻。

(4)可以确定某一时刻电动势的大小以及某一时刻电动势的变化趋势。

2．交变电流的电压或电流变化的快慢(变化率)，在图线上等于某瞬间切线的斜率。瞬时值最大时，变化率最小(等于零)；瞬时值为零时，变化率恰好最大。

【典例3】　处在匀强磁场中的矩形线圈abcd，以恒定的角速度绕ab边转动，磁场方向平行于纸面并与ab垂直。在t＝0时刻，线圈平面与纸面重合，如图所示，线圈的cd边离开纸面向外运动。若规定由a→b→c→d→a方向的感应电流为正，则能反映线圈中感应电流i随时间t变化的图线是(　　)

A　　　　　　　　B

C　　　　　　　　D

[思路点拨]　①线圈从垂直中性面开始计时，产生的交变电流按余弦规律变化。②由楞次定律知前周期产生正方向电流。

C　[题图所示时刻cd边垂直切割磁感线，产生的感应电动势最大，此时感应电流最大，由楞次定律可判断电流方向为a→b→c→d→a，与规定的正方向相同，所以正确答案为C。]

图像的分析方法

一看：看“轴”、看“线”、看“斜率”、看“点”，并理解其物理意义。

二变：掌握“图与图”“图与式”和“图与物”之间的变通关系。

三判：在此基础上进行正确地分析和判断。

3．一矩形线圈在匀强磁场中匀速转动时，产生的交变电动势的图像如图所示，则(　　)

A．交流电的频率是4π Hz

B．当t＝0时，线圈平面与磁感线垂直，磁通量最大

C．当t＝π s时，e有最大值

D．t＝π s时，e＝－10 V最小，磁通量变化率最小

B　[从图像可知交流电的周期为2π s，频率为 Hz，t＝π s时，e＝0最小，A、C错误；t＝0时，e最小，Φ最大，B正确；t＝π s时，e＝－10 V，e最大，最大，“－”号表示方向，D错误。]

考点4　交变电流的四值比较

试分析一个击穿电压为250 V、电容为6×10－7 F的电容器能否连接到“220 V　50 Hz”的正弦式交变电源上？

提示：不能。因为220 V正弦式交变电源的电压的峰值为220 V≈311 V，大于电容器的击穿电压250 V，故电容器将被击穿。

【典例4】　在水平方向的匀强磁场中，有一个正方形闭合线圈绕垂直于磁感线的轴匀速转动，已知线圈的匝数为N＝100匝，边长为20 cm，电阻为10 Ω，转动频率f＝50 Hz，磁场的磁感应强度为0.5 T，π＝3.14，求：

(1)外力驱动线圈转动的功率；

(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势及感应电流的大小；

(3)线圈由中性面转至与中性面成60°角的过程中，通过导线横截面的电荷量。

[解析]　(1)线圈中产生的感应电动势的最大值为

Em＝NBSω＝100×0.5×(0.2)2×2π×50 V＝628 V

感应电动势的有效值为E＝＝314 V

外力驱动线圈转动的功率与线圈中交变电流的功率相等，

即P外＝＝ W≈1.97×104 W。

(2)当线圈转至线圈平面与中性面的夹角为30°时，线圈产生的感应电动势的瞬时值为

e＝Emsin 30°＝314 V

感应电流的瞬时值为i＝＝ A＝31.4 A。

(3)在线圈由中性面转过60°的过程中，线圈中的平均感应电动势为

＝N

平均感应电流为＝N

故通过导线横截面的电荷量为

q＝Δt＝N＝＝0.1 C。

[答案]　(1)1.97×104 W　(2)314 V　31.4 A

(3)0.1 C

应用交变电流四值时的注意事项

(1)研究电容器是否被击穿时，应用交变电流的峰值(最大值)，因为电容器上标明的电压是电容器长时间工作时所能承受的最大电压。

(2)研究电功、电功率和电热时，只能用有效值。

(3)研究通过导体某横截面的电荷量时，要用平均值。

4．交流发电机线圈电阻r＝1 Ω，用电器电阻R＝9 Ω，电压表示数为9 V，如图所示，那么该交流发电机(　　)

A．电动势的峰值为10 V

B．电动势的有效值为9 V

C．交流发电机的线圈通过中性面时电动势的瞬时值为10 V

D．交流发电机的线圈自中性面转过90°的过程中的平均感应电动势为 V

D　[因电压表示数为9 V，所以电路中的电流I＝ A＝1 A，故电动势的有效值E＝I(r＋R)＝10 V，其最大值Em＝E＝10 V，故A、B错误；线圈通过中性面时电动势的瞬时值为0，C错误；转过90°的过程中的平均感应电动势，应用公式＝n求解，＝n＝n＝n＝，又nBSω＝10 V，故＝ V，D正确。]

1．(多选)下列说法正确的是(　　)

A．使用交流电的用电器铭牌上所标示的额定电压、额定电流的数值均为最大值

B．用交流电流表和电压表测得的数值是有效值

C．照明电路电压220 V指的是有效值

D．所有交变电流的有效值和最大值之间均存在E＝、

U＝和I＝的关系

BC　[各种使用交流电的用电器铭牌上所标示的数值均为有效值，故A项错误；交流电表测得的数值为有效值，故B项正确；照明电路电压220 V指的是有效值，故C项正确；E＝、U＝、I＝是正弦式交变电流有效值和最大值的关系，故D项错误。故正确答案为B、C。]

2．(多选)一个矩形线圈在匀强磁场中转动，产生的感应电动势为e＝220sin 100πt(V)，则(　　)

A．交流电的频率是100π Hz

B．t＝0时，线圈位于中性面

C．交流电的周期是0.02 s

D．t＝0.05 s时，e有最大值

BC　[由瞬时值表达式知：感应电动势按正弦规律变化，所以t＝0时，线圈位于中性面，角速度ω＝100π rad/s。因ω＝2πf，所以f＝＝ Hz＝50 Hz；由T＝得T＝ s＝0.02 s；当t＝0.05 s时，e＝220sin 5π(V)＝0，故B、C选项正确。]

3．在阻值为70 Ω的电阻中通以正弦交变电流，测得在10 min内放出的热量为2.1×104 J，则此交变电流的最大值为(　　)

A．0.24 A      B．0.5 A  C．0.707 A      D．1 A

D　[根据Q＝I2Rt得I＝ A，所以Im＝I＝1 A。]

4．如图所示，正弦波和方波交变电流的最大值相等，周期也相等，现使它们通过完全相同的电阻，则在相同的时间(远大于周期)内，两电阻发热之比等于(　　)

甲　　　　　　　　　　乙

A．      B．  C．      D．

B　[计算电阻发热Q＝I2Rt需用交流电的有效值，题图甲的有效值为I1＝，题图乙的有效值为I2＝Im，所以代入可得＝，B正确。]

5．(多选)有两支交变电流表达式分别是：u1＝110·sin V，u2＝220sin V。下列说法正确的是(　　)

A．它们的峰值相同   B．它们的周期相同

C．它们的相位差恒定   D．它们的变化步调一致

BC　[u1代表的交流电的电压峰值为110 V，角速度为ω＝2πf＝100π rad/s，则频率f＝50 Hz，初相位为。u2代表的交流电的电压峰值为220 V，角速度为ω＝2πf＝100π rad/s，则频率f＝50 Hz，初相位为。所以它们的峰值不同，A错误；由于频率相同，f＝50 Hz，故T均为0.02 s，B正确；其相位差ΔΦ＝－＝为定值，C正确，D错误。]