广西桂林市第十八中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（文）试题（含答案）

桂林十八中2020-2021学年度19级高二上学期期中考试卷

数学（文科）

注意事项：

①本试卷共4页，答题卡2页．考试时间120分钟，满分150分；

②正式开考前，请务必将自己的姓名、考号用黑色水性笔填写清楚并张贴条形码；

③请将所有答案填涂或填写在答题卡相应位置，直接在试卷上做答不得分．

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．

1．（    ）

A．    B．    C．    D．

2．命题“若，则”的否命题是（    ）

A．“若，则”    B．“若，则”

C．“若，则”    D．“若，则”

3．双曲线的渐近线方程是（    ）

A．    B．    C．    D．

4．已知向量，，则（    ）

A．3    B．5    C．9    D．25

5．设等差数列的前n项和为，若，，如（    ）

A．8    B．9    C．10    D．11

6．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则（    ）

A．    B．    C．2    D．3

7．设，，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

8．已知命题，且；命题．下列命题为真命题的是（    ）

A．    B．    C．    D．

9．设等比数列的前n项和为，若，，则（    ）

A．    B．    C．    D．

10．已知，则的最小值为（    ）

A．4    B．8    C．16    D．36

11．下列三个关于函数的命题：

①只需将函数的图象向右平移个单位即可得到的图象；

②函数的图象关于对称；

③函数在上单调递增．

其中，真命题的个数为（    ）

A．3    B．2    C．1    D．0

12．设分别是椭圆的左，右焦点，A是C上一点且与x轴垂直，直线与C的另一个交点为B，若，则C的离心率为（    ）

A．    B．    C．    D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．设x，y满足约束条件则的最大值为______．

14．若双曲线的焦距为8，则______．

15．已知数列的前n项和，则数列的前6项和是_______．

16．如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得塔顶的仰角为，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为，再由D向塔前进米后到点E，测得塔顶的仰角为，则塔高为_____米．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．

17．（10分）集合,．

（1）若，求；

（2）已知命题；命题，若q是p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

18．（12分）设分别是椭圆的左，右两个焦点，C上的点到两点的距离之和等于4．

（1）求C的方程和焦点坐标；

（2）若直线与C只有一个公共点，求实数m的值．

19．（12分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（1）求B；

（2）若的周长为，，求的面积．

20．（12分）已知数列满足．

（1）证明是等差数列，并求的通项公式；

（2）求的前n项和．

21．（12分）森林失火了，火正以的速度顺风蔓延，消防站接到报警后立即派消防员前去，在失火后到达现场开始救火．已知消防队在现场每人每分钟平均可灭火，所消耗的灭火材料、劳务津贴等费用每人每分钟125元，另附加每次救火所损耗的车辆、器械和装备等费用平均每人100元，而每烧毁森林的损失费为60元，设消防队派了x名消防员前去救火，从到达现场开始救火到火全部扑灭共耗时．

（1）求n与x的关系式；

（2）当x为何值时，总损失最小．

22．（12分）设为椭圆的两个焦点，直线l与C交于A，B两点．

（1）若M为椭圆短轴上的一个顶点，且是直角三角形，求a的值；

（2）若，且，求证：的面积为定值．

桂林十八中2020-2021学年度19级高二上学期期中考试卷

数学（文科）参考答案

一、选择题：

1-5  CACBA  6-10  DAAAB  11-12  CD

二、填空题：

13．7  14．11  15．  16．15

16．由题知

∴

∴等腰的，∴

∴中，，．

三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤．

17．解：（1）时，，          1分

解，∴，         3分

∴，∴．        5分

（2）∵，∴．            6分

∵q是p的充分不必要条件，∴．            7分

由得解得，．       9分

又及符合题意．

∴实数a的取值范围．             10分

18．解：（1）由题知，解得         3分

∴．             4分

∴椭圆C的方程为：，焦点坐标为；        6分

（2）由，得．         8分

∵直线与椭圆C只有一个交点，

∴，            10分

即，解得．              12分

19．解：（1）由已知，

及正弦定理可得，           2分

∵，所以，             4分

又，∴．             6分

（2）由余弦定理可知，         7分

由题意可知，          8分

而，              10分

∴，               11分

∴．                 12分

20．解：（1）证明：∵，∴，           2分

又∵，∴数列是首项、公差均为1的等差数列；        4分

∴，             6分

（2）解：，          7分

，          8分

两式相减得：              9分

            10分

，         11分

∴           12分

21．解：（1）由题意，，

∴；             4分

（2）设总损失为y，则

           6分

                  8分

             10分

当且仅当，即时，才能使总损失最小．        12分

22．解：（1）由题知是等腰直角三角形，

，解得，           4分

故．

（2）证明：当时，椭圆方程，设，

由知即，       5分

①若直线l垂直于x轴，则，不妨设

∴又解得

       6分

②若直线l斜率存在，设方程为

由整理得，

，

所以，          8分

所以

，

所以，所以，即        9分

所以

               10分

因为O到直线的距离，

所以，        11分

综上，面积为定值1．          12分

（2）另解：设方程为方程为

               5分

点B到直线的距离        6分

     7分

由题知，，

       9分

       10分

            11分

∴              12分