数学北师大版 (2019)第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.3 函数的最值第2课时学案

这是一份数学北师大版 (2019)第二章 导数及其应用6 用导数研究函数的性质6.3 函数的最值第2课时学案，共14页。学案主要包含了求含参数的函数的最值，由最值求参数的值或范围，与最值有关的探究性问题等内容，欢迎下载使用。
一、求含参数的函数的最值
例1 已知函数f(x)＝x3－ax2－a2x.求函数f(x)在[0，＋∞)上的最小值．
解 f′(x)＝3x2－2ax－a2＝(3x＋a)(x－a)，
令f′(x)＝0，得x1＝－eq \f(a,3)，x2＝a.
①当a>0时，f(x)在[0，a)上单调递减，在[a，＋∞)上单调递增．所以f(x)min＝f(a)＝－a3.
②当a＝0时，f′(x)＝3x2≥0，f(x)在[0，＋∞)上单调递增，所以f(x)min＝f(0)＝0.
③当a0时，f(x)的最小值为－a3；
当a＝0时，f(x)的最小值为0；
当a0时，求函数f(x)＝x3－ax2－a2x在[－a,2a]上的最值．
解 f′(x)＝(3x＋a)(x－a)(a>0)，
令f′(x)＝0，得x1＝－eq \f(a,3)，x2＝a.
所以f(x)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－a，－\f(a,3)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,3)，a))上单调递减，在[a,2a]上单调递增．
因为f(－a)＝－a3，f eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,3)))＝eq \f(5,27)a3，f(a)＝－a3，
f(2a)＝2a3.
所以f(x)max＝f(2a)＝2a3.
f(x)min＝f(－a)＝f(a)＝－a3.
反思感悟 含参数的函数最值问题的两类情况
(1)能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．
(2)对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．
跟踪训练1 已知函数f(x)＝(x－k)ex.
(1)求f(x)的极值；
(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．
解 (1)由f(x)＝(x－k)ex，可得f′(x)＝(x－k＋1)ex，
令f′(x)＝0，得x＝k－1，
随x的变化，f(x)与f′(x)的变化情况如下表：
所以f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞).
所以f(x)有极小值f(k－1)＝－ek－1，无极大值．
(2)当k－1≤0，即k≤1时，f′(x)＝(x－k＋1)ex≥0在x∈[0，1]上恒成立，
则函数f(x)在[0，1]上单调递增，
所以f(x)在区间[0，1]上的最小值为f(0)＝－k；
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