初中数学沪教版 (五四制)七年级下册第十三章 相交线 平行线综合与测试一课一练

七年级数学第二学期第十三章相交线 平行线同步测评

 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题  30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、下列图形中，∠1与∠2不是对顶角的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．0个

2、如图，直线AB与CD相交于点O，OE平分∠AOC，且∠BOE＝140°，则∠BOC为（　　）

A．140° B．100° C．80° D．40°

3、如图，下列给定的条件中，不能判定的是（　　）

A． B． C． D．

4、如图，不能推出a∥b的条件是（　　）

A．∠4＝∠2 B．∠3+∠4＝180° C．∠1＝∠3 D．∠2+∠3＝180°

5、如果两个角的两边两两互相平行，且一个角的等于另一个角的，则这两个角的度数分别是（　　）

A．48°，72° B．72°，108°

C．48°，72°或72°，108° D．80°，120°

6、下列语句中：

①有公共顶点且相等的角是对顶角；②直线外一点到这条直线的垂线段，叫做点到直线的距离；③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直；④经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；其中正确的个数有（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

7、如图，直线l1l2，直线l3与l1、l2分别相交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠2＝30°，则∠1的度数为（　　）

A．30° B．40° C．50° D．60°

8、用等腰直角三角板画∠AOB＝45°，将三角板沿OB方向平移到如图所示的虚线M处后绕点M逆时针旋转22°，则三角板的斜边与射线OA的夹角α为（　　）度．

A．25° B．45° C．30° D．22°

9、如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOC＝125°，则∠BOD等于（　　）

A．55° B．125° C．115° D．65°

10、下列命题正确的是（　　）

（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；

（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；

（3）平移前后连接各组对应点的线段平行且相等；

（4）从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离；

（5）在同一平面内，三条直线的交点个数有三种情况．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

第Ⅱ卷（非选择题  70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图所示，过点P画直线a的平行线b的作法的依据是___________．

2、如图，OE是的平分线，交OA于点C，交OE于点D，，则的度数是______°．

3、如图，过直线AB上一点O作射线OC、OD ，并且OD是∠ AOC的平分线，∠BOC=29°18′，  则∠BOD的度数为___________．

4、张雷同学从A地出发沿北偏东60°的方向行驶到B地，再由B地沿南偏西35°的方向行驶到C地，则∠ABC＝____度．

5、如图，把一条两边边沿互相平行的纸带折叠，若，则_______．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）

1、如图，107国道上有一个出口M，想在附近公路旁建一个加油站，欲使通道最短，应沿怎样的线路施工？

2、感知与填空：如图①，直线AB∥CD．求证：∠B+∠D=∠BED．

证明：过点E作直线EF∥CD，

∠2=______，（         ）

AB∥CD(已知），EF∥CD

_____∥EF，（            ）

∠B=∠1，（               ）

∠1+∠2=∠BED，

∠B+∠D=∠BED，（        ）

方法与实践：如图②，直线AB∥CD．若∠D=53°，∠B=22°，则∠E=______度．

3、任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角？各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．

4、如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O，ON⊥CD于点O．

（1）试说明∠1＝∠2；

（2）若∠BOC＝4∠2，求∠AOC的大小．

5、小明同学遇到这样一个问题：

如图①，已知：AB∥CD，E为AB、CD之间一点，连接BE，ED，得到∠BED．

求证：∠BED＝∠B+∠D．

小亮帮助小明给出了该问的证明．

证明：

过点E作EF∥AB

则有∠BEF＝∠B

∵AB∥CD

∴EF∥CD

∴∠FED＝∠D

∴∠BED＝∠BEF+∠FED＝∠B+∠D

请你参考小亮的思考问题的方法，解决问题：

（1）直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，猜想：如图②，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，求∠APB的度数．

（2）拓展：如图③，若点P在直线EF上，连接PA、PB（BD＜AC），直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系．

6、已知：如图，直线，直线MN交EF，PO于点A，B，直线HQ交EF，PO于点D，C，DG与OP交于点G，若，，．

（1）求证：；

（2）请直接写出的度数．

7、如图，现有以下3个论断：①ABCD；②∠B＝∠C；③∠E＝∠F．请以其中2个论断为条件，另一个论断为结论构造命题．

（1）你构造的是哪几个命题？

（2）请选择其中一个真命题加以证明．

8、完成下面的证明

如图，点B在AG上，AGCD，CF平分∠BCD，∠ABE＝∠FCB，BE⊥AF点E．

求证：∠F＝90°．

证明：∵AGCD（已知）

∴∠ABC＝∠BCD（____）

∵∠ABE＝∠FCB（已知）

∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB

即∠EBC＝∠FCD

∵CF平分∠BCD（已知）

∴∠BCF＝∠FCD（____）

∴____＝∠BCF（等量代换）

∴BECF（____）

∴____＝∠F（____）

∵BE⊥AF（已知）

∴____＝90°（____）

∴∠F＝90°．

9、在如图所示的方格纸中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长为1，已知四边形ABCD的四个顶点在格点上，利用格点和直尺按下列要求画图：

（1）过点C画AD的平行线CE；

（2）过点B画CD的垂线，垂足为F．

10、作图并计算：如图，点O在直线上．

（1）画出的平分线（不必写作法）；

（2）在（1）的前提下，若，求的度数．

-参考答案-

一、单选题

1、C

【分析】

根据对顶角的定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，逐一判断即可．

【详解】

解：①中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故①符合题意；

②中∠1和∠2是对顶角，故②不符合题意；

③中∠1和∠2的两边不互为反向延长线，故③符合题意；

④中∠1和∠2没有公共点，故④符合题意．

∴∠1 和∠2 不是对顶角的有3个，

故选C．

【点睛】

此题考查的是对顶角的识别，掌握对顶角的定义是解决此题的关键．

2、B

【分析】

根据平角的意义求出∠AOE，再根据角平分线的定义得出∠AOE=∠COE，由角的和差关系可得答案．

【详解】

解：∵∠AOE+∠BOE＝180°，

∴∠AOE＝180°﹣∠BOE＝180°﹣140°＝40°，

又∵OE平分∠AOC，

∴∠AOE＝∠COE＝40°，

∴∠BOC＝∠BOE﹣∠COE

＝140°﹣40°

＝100°，

故选：B．

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，邻补角，掌握角平分线、邻补角的意义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键．

3、A

【分析】

根据平行线的判定条件：同位角相等，两直线平行，同旁内角互补，两直线平行，内错角相等，两直线平行，进行逐一判断即可．

【详解】

解：A选项：当∠1=∠A时，可知是DE和AC被AB所截得到的同位角，可得到DE∥AC，而不是AB∥DF，故符合题意；

B选项：当∠A=∠3时，可知是AB、DF被AC所截得到的同位角，可得AB∥DF，故不符合题意；

C选项：当∠1=∠4时，可知是AB、DF被DE所截得到的内错角，可得AB∥DF，故不符合题意；

D选项：当∠2+∠A=180°时，是一对同旁内角，可得AB∥DF；故不符合题意；

故选A．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定条件是解题的关键．

4、B

【分析】

根据平行线的判定方法，逐项判断即可．

【详解】

解：、和是一对内错角，当时，可判断，故不符合题意；

、和是邻补角，当时，不能判定，故符合题意；

、和是一对同位角，当时，可判断，故不合题意；

、和是一对同旁内角，当时，可判断，故不合题意；

故选B．

【点睛】

本题考查了平行线的判定．解题的关键是：正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键．

5、B

【分析】

根据题意可得这两个角互补，设其中一个角为x，则另一个角为，由两个角之间的数量关系列出一元一次方程，求解即可得．

【详解】

解：∵两个角的两边两两互相平行，

∴这两个角可能相等或者两个角互补，

∵一个角的等于另一个角的，

∴这两个角互补，

设其中一个角为x，则另一个角为，

根据题意可得：，

解得：，，

故选：B．

【点睛】

题目主要考查平行线的性质、角的数量关系、一元一次方程等，理解题意，列出方程是解题关键．

6、A

【分析】

根据对顶角，点到直线的距离，邻补角，角平分线以及垂直的定义分别判断．

【详解】

解：①有公共顶点且相等的角不一定是对顶角，故错误；

②直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，故错误

③互为邻补角的两个角的平分线互相垂直，故正确；

④同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故错误；

故选A．

【点睛】

本题考查了对顶角，点到直线的距离，邻补角，角平分线以及垂直的定义，属于基础知识，要注意理解概念，抓住易错点．

7、D

【分析】

根据平行线的性质和垂直的定义解答即可．

【详解】

解：∵BC⊥l3交l1于点B，

∴∠ACB＝90°，

∵∠2＝30°，

∴∠CAB＝180°−90°−30°＝60°，

∵l1l2，

∴∠1＝∠CAB＝60°．

故选：D．

【点睛】

此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质解答．

8、D

【分析】

由平移的性质知，AO∥SM，再由平行线的性质可得∠WMS＝∠OWM，即可得答案．

【详解】

解：由平移的性质知，AO∥SM，

故∠WMS＝∠OWM＝22°；

故选D．

【点睛】

本题利用了两直线平行，内错角相等，及平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．

9、B

【分析】

根据对顶角相等即可求解．

【详解】

解：∵直线AB和CD相交于点O，∠AOC＝125°，

∴∠BOD等于125°．

故选B．

【点睛】

本题主要考查了对顶角的性质，熟知对顶角相等的性质是解题的关键．

10、B

【分析】

根据平行线的性质、垂直的定义、平移的性质、点到直线的距离的定义、直线的位置关系逐个判断即可得．

【详解】

解：（1）两条平行线被第三条直线所截，同位角相等；则原命题错误；

（2）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；则原命题正确；

（3）平移前后连接各组对应点的线段平行（或在同一条直线上）且相等；则原命题错误；

（4）从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离；则原命题错误；

（5）在同一平面内，三条直线的交点个数可能为0个或1个或2个或3个，共有四种情况；则原命题错误；

综上，命题正确的是1个，

故选：B．

【点睛】

本题考查了平行线的性质、垂直的定义、平移的性质、点到直线的距离的定义、直线的位置关系，熟练掌握各定义和性质是解题关键．

二、填空题

1、内错角相等，两直线平行

【分析】

根据平行线的判定方法解决问题即可．

【详解】

解：由作图可知，

，

（内错角相等两直线平行），

故答案为：内错角相等，两直线平行．

【点睛】

本题考查作图，平行线的判定等知识，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键，属于中考常考题型．

2、25

【分析】

先证明再证明从而可得答案.

【详解】

解： OE是的平分线，

∵，

故答案为：

【点睛】

本题考查的是角平分线的定义，平行线的性质，熟练的运用平行线的性质与角平分线的定义证明角的相等是解本题的关键.

3、

【分析】

先求出的度数，再根据角平分线的运算可得的度数，然后根据角的和差即可得．

【详解】

解：，

，

是的平分线，

，

，

故答案为：．

【点睛】

本题考查了邻补角、与角平分线有关的计算，熟记角的运算法则是解题关键．

4、25

【分析】

根据题意作出图形即可判断求解．

【详解】

解：如图所示，

∵AD∥BE，∠1＝60°，

∴∠ABE＝∠DAB＝60°，

又∵∠CBE＝35°，

∴∠ABC＝60°﹣35°＝25°．

故答案为：25．

【点睛】

此题主要考查方位角的计算，涉及了平行线的有关性质，解题的关键是根据题意作出图形，即可进行求解．

5、62°

【分析】

如图，根据平行线的性质可得，根据折叠的性质可得，再利用平角等于180°，据此求解即可．

【详解】

解：∵纸片两边平行，

∴

由折叠的性质可知，，

∴，

∴=62°．

故答案为：62°．

【点睛】

本题主要考查平行线的性质，折叠的性质，解此题的关键在于熟练掌握其知识点．

三、解答题

1、作图见解析

【分析】

根据垂线段最短作图即可；

【详解】

解：如图，过点M作MN⊥，垂足为N，欲使通道最短，应沿线路MN施工.

【点睛】

本题主要考查了垂线段最短的应用，尺规作图，准确分析作图是解题的关键．

2、∠D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；31．

【分析】

过点E作直线EF//CD，由两直线平行，内错角相等得出∠2=∠D；由两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行得出AB//EF；由两直线平行，内错角相等得出∠B=∠1；由∠1+∠2=∠BED，等量代换得出∠B+∠D=∠BED；方法与实践：如图②，由平行的性质可得∠BOD=∠D=53°，然后再根据三角形外角的性质解答即可

【详解】

解：过点E作直线EF∥CD，

∠2=∠D，（两直线平行，内错角相等）

AB∥CD(已知），EF∥CD

AB//EF，（两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）

∠B=∠1，（两直线平行，内错角相等）

∠1+∠2=∠BED，

∠B+∠D=∠BED，（等量代换 ）

方法与实践：如图②，

∵直线AB∥CD

∴∠BOD=∠D=53°

∵∠BOD=∠E+∠B

∴∠E=∠BOD-∠B=53°- 22°=31°．

故答案依次为：∠D；两直线平行，内错角相等；AB；两直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；两直线平行，内错角相等；等量代换；31．

【点睛】

本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理等知识点；熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．

3、共组成6对角，位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；②有公共顶点，角的两边互为反向延长线，具体分类见解析

【分析】

根据题意画出图形，然后结合题意可进行求解．

【详解】

解：如图，

由图可知两条相交的直线，两两相配共组成6对角，

位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；②有公共顶点，角的两边互为反向延长线，

这6对角中有：4对邻补角（即为∠AOD与∠AOC，∠AOD与∠BOD，∠BOD与∠BOC，∠BOC与∠AOC），

2对对顶角（即为∠AOD与∠BOC，∠BOD与∠AOC）．

【点睛】

本题主要考查对顶角及邻补角的概念，熟练掌握对顶角及邻补角的概念是解题的关键．

4、（1）见解析；（2）60°

【分析】

（1）利用同角的余角相等解答即可得出结论；

（2）利用（1）的结论，等量代换可得∠BOC＝4∠1，利用∠BOM＝90°＝3∠1，求得∠1的度数，则∠AOC＝90°﹣∠1．

【详解】

解：（1）∵OM⊥AB，ON⊥CD，

∴∠AOM＝∠CON=90°，

∴∠AOC+∠1＝90°，∠AOC+∠2＝90°，

∴∠1＝∠2．

（2）∵OM⊥AB，

∴∠BOM＝90°．

∵∠1＝∠2，∠BOC＝4∠2，

∴∠BOC＝4∠1．

∴∠BOM＝∠BOC﹣∠1＝4∠1﹣∠1＝3∠1，

即3∠1＝90°，

∴∠1＝30°．

∴∠AOC＝∠AOM﹣∠1＝90°﹣30°＝60°．

【点睛】

本题考查了对顶角、垂线性质、余角等基本几何知识，属于基础题．熟练掌握基本几何公理、基本几何概念是关键．

5、（1）55°；（2）当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD；

【分析】

（1）过点P作PG∥l1，可得∠APG=∠PAC=15°，由l1∥l2，可得PG∥l2，则∠BPG=∠PBD=40°，即可得到∠APB=∠APG+∠BPG=55°；

（2）分当P在线段CD上时；当P在DC延长线上时；当P在CD延长线上时，三种情况讨论求解即可．

【详解】

解：（1）如图所示，过点P作PG∥l1，

∴∠APG=∠PAC=15°，

∵l1∥l2，

∴PG∥l2，

∴∠BPG=∠PBD=40°，

∴∠APB=∠APG+∠BPG=55°；

（2）由（1）可得当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC    +∠PBD；

如图1所示，当P在DC延长线上时，过点P作PG∥l1，

∴∠APG=∠PAC，

∵l1∥l2，

∴PG∥l2，

∴∠BPG=∠PBD=40°，

∴∠APB=∠BPG-∠APG=∠PBD-∠PAC；

如图2所示，当P在CD延长线上时，过点P作PG∥l1，

∴∠APG=∠PAC，

∵l1∥l2，

∴PG∥l2，

∴∠BPG=∠PBD=40°，

∴∠APB=∠APG-∠BPG=∠PAC-∠PBD；

∴综上所述，当P在线段CD上时，∠APB=∠PAC +∠PBD；当P在DC延长线上时，∠APB=∠PBD-∠PAC；当P在CD延长线上时，∠APB=∠PAC-∠PBD．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质．

6、（1）见解析；（2）

【分析】

（1）根据可得，，再根据内错角相等两直线平行即可得证；

（2）根据两直线平行的性质可得，从而可得，再由即可求解．

【详解】

解：（1）∵，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）∵，，

∴，

，

∵，

∴，

∴．

【点睛】

本题考查了平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的判定及性质，利用数形结合的思想进行求解．

7、（1）由①②得③，由①③得②，由②③得①；（2）由①②得③，见解析

【分析】

（1）分别以其中2句话为条件，第三句话为结论可写出3个命题；

（2）根据平行线的判定与性质对3个命题分别进行证明，判断它们的真假．

【详解】

（1）由①②得③；由①③得②；由②③得①．

（2）证明：由①②得③；

∵ABCD；

∴∠EAB＝∠C

又∵∠B＝∠C；

∴∠EAB＝∠B

∴CEBF；

∴∠E＝∠F．

【点睛】

本题考查了命题与定理，平行线的判定与性质，掌握平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．

8、两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠EBC；内错角相等，两直线平行；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠BEF；垂直的定义

【分析】

根据平行线的性质得到∠ABC＝∠BCD，再根据角平分线的定义进而得到∠EBC＝∠BCF，即可判定BE∥CF，根据平行线的性质得出∠BEF＝∠F，再根据垂直的定义即可得解．

【详解】

证明：∵AG∥CD（已知），

∴∠ABC＝∠BCD（两直线平行，内错角相等），

∵∠ABE＝∠FCB（已知），

∴∠ABC﹣∠ABE＝∠BCD﹣∠FCB，

即∠EBC＝∠FCD，

∵CF平分∠BCD（已知），

∴∠BCF＝∠FCD（角平分线的定义），

∴∠EBC＝∠BCF（等量代换），

∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行），

∴∠BEF＝∠F（两直线平行，内错角相等），

∵BE⊥AF（已知），

∴∠BEF＝90°（垂直的定义），

∴∠F＝90°．

故答案为：两直线平行，内错角相等；角平分线的定义；∠EBC；内错角相等，两直线平行；∠BEF；两直线平行，内错角相等；∠BEF；垂直的定义．

【点睛】

本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握相关知识是解题的关键．

9、（1）见解析；（2）见解析

【分析】

（1）根据要求作出图形即可．

（2）根据要求作出图形即可．

【详解】

解：（1）根据题意得：AD是长为4，宽为3的长方形的对角线，

所以在点C右上方长为4，宽为3的长方形的对角线所在的直线与AD平行，

如图，直线CE即为所求作．

（2）根据题意得：CD是长为6，宽为3的长方形的对角线，

所以在点B右下方长为6，宽为3的长方形的对角线所在的直线与CD垂直，

如图，直线BF即为所求作．

【点睛】

本题主要考查了画平行线和垂线，熟练掌握平行线和垂线的画法是解题的关键．

10、（1）见解析；（2）150°

【分析】

（1）根据画角平分线的方法，画出角平分线即可；

（2）先求出的度数，然后由角平分线的定义，即可求出答案．

【详解】

解：（1）如图，OD即为平分线

（2）解：∵，

∴，

，

∴；

【点睛】

本题考查了角平分线的定义，画角平分线，解题的关键是掌握角平分线的定义进行解题．