专题04 动点引起的角度问题（解析版）

专题04 动点引起的角度问题

【一题多解 · 典例剖析】

【角度等于具体度数】

例题1.（2021·湖北荆门中考）如图，在平面直角坐标系中，斜边上的高为1，，将绕原点顺时针旋转得到，点A的对应点C恰好在函数的图象上，若在的图象上另有一点M使得，则点M的坐标为_________．

【答案】（，1）.

【解析】解：如图，过点C作CE⊥y轴于E，过点M作MF⊥x轴，

由题意可知：∠AOB=∠COD=∠MOF=30°，CE=1，

则OE=，即C（1，）

又C点在反比例函数图象上，

∴k=

方法一：解析式法

直线OM的解析式为y=x，

联立y=x，y=，得：

x=或x=-（舍）

故M（，1）

方法二：相似

易知△COE∽△MOF

∴，即

设M（x，）

∴

解得：x=或x=-（舍）

故M（，1）

方法三：三角函数

在Rt△OMF中，∠MOF=30°，

则tan∠MOF=,

设M（x，）

∴

解得：x=或x=-（舍）

故M（，1）.

【一题多解 · 对标练习】

练习1．（2021·辽宁丹东中考）如图，已知点，点，直线过点B交y轴于点C，交x轴于点D，抛物线经过点A、C、D，连接、．

（1）求抛物线的表达式；

（2）判断的形状，并说明理由；

（3）E为直线上方的抛物线上一点，且，求点E的坐标.

【答案】（1）；（2）△ABC为直角三角形，∠BAC=90°；（3）E（，）.

【解析】解：（1）直线y=2x+m过点B交y轴于点C，

将B（-5，-4）代入得：﹣4=2×（﹣5）+m，

解得：m=6，则C（0，6），

将A（﹣8，0）、C（0，6）代入，

得：，解得：，

∴抛物线的表达式为；

（2）△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，理由为：

由题意，AB2=（﹣8+5）2+（0+4）2=25，

AC2=（﹣8+0）2+（0﹣6）2=100，BC2=（﹣5+0）2+（﹣4﹣6）2=125，

∴AC2+AB2=BC2，

∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°；

（3）由（2）知AB=5，AC=10，

∴tan∠BCA= =tan∠ECA，

∴∠BCA=∠ECA，

方法一：解析式法

如图，延长BA交直线CE于F，过F作FH⊥x轴，过B作BG⊥x轴于G，

由∠FCA=∠BCA，AC=AC，∠CAB=∠CAF=90°

知△ACF≌△ACB

∴AB=AF

∴△AFH≌△ABG

又B（-5，-4），A（-8,0）

∴BG=4，AG=3

∴AH=AG=3，FH=BG=4

即F（-11,4）

设直线CF解析式为y=kx+m

则

∴直线CF的解析式为y=x+6，

联立y=x+6，y=x2+x+6，得：

x=0（舍）或x=

即E（，）.

方法二：相似法（三角函数）

由∠FAC=90°知，∠FAH=∠ACO，AB=AF=5

∴Rt△AFH∽Rt△CAO

∴，

即，

∴FH=4，AH=3

∴F（-11,4）.

练习2．（2021·四川省内江市中考）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．直线与抛物线交于、两点，与轴交于点，点的坐标为．

（1）求抛物线的解析式与直线的解析式；

（2）若点是轴上的点，且，求点的坐标．

【答案】（1）y=x2+x+3，直线l的解析式为y=x+1；（2）（0，）或（0，-9）．

【解析】解：（1）将（-2,0），（6,0），（4,3）代入抛物线解析式得：

解得：

即抛物线的解析式为y=x2+x+3.

由A（-2,0），D（4,3）知直线l的解析式为：y=x+1.

（2）如图，

过A作AM⊥AD，由∠MDA=45°知，△ADM是等腰直角三角形，

∴AD=AM

过M，D作x轴的垂线，垂足为H，G

则Rt△AMH≌Rt△DAG

∴AH=DG=3，MH=AG=6

∴M（-5，6）

由D（4,3），M（-5,6）得直线DM的解析式为：y=x+

∴Q（0，）

同理，可得：直线DM’的解析式为：y=3x-9

即Q’（0，-9）

综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，）或（0，-9）．

【多题一解 · 典例剖析】

【两角相等】

例题2．（2021·福建省福州）如图，在平面直角坐标系中，直线分别交x轴、y轴于A，B两点，经过A，B两点的抛物线与x轴的正半轴相交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若P为线段AB上一点，，求AP的长．

【答案】（1）y=-x2-2x+3；（2）.

【解析】解：（1）令x=0，则y=3，

∴点B的坐标为(0，3)，

抛物线y=-x2+bx+c经过点B (0，3)，C (1，0)，

∴，

解得：，

∴抛物线的解析式为：y=-x2-2x+3；

（2）令y=0，则0=-x2-2x+3，

解得：x=1或x=-3，

∴点A的坐标为(-3，0)，

∴OA=3，OB=3，OC=1，AB=，

∵∠APO=∠ACB，且∠PAO=∠CAB，

∴△PAO∽△CAB，

∴，即，

∴AP=.

【多题一解 · 对标练习】

练习3．（2021·四川德阳中考）如图，已知：抛物线y＝x2+bx+c与直线l交于点A（﹣1，0），C（2，﹣3），与x轴另一交点为B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线上找一点P，使△ACP的内心在x轴上，求点P的坐标；

（3）M是抛物线上一动点，过点M作x轴的垂线，垂足为N，连接BM．在（2）的条件下，是否存在点M，使∠MBN＝∠APC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）P（4，5）；（3）M的坐标为，，，

【解析】解：（1）把点（-1,0），（2,-3）代入y=x2+bx+c，

得：，

解得:，

∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3；

（2）作点C关于x轴的对称点C’，则C’（2,3），

可得直线AC’的解析式为y=x+1，

联立y=x+1、y=x2-2x-3得：

x=-1或x=4

即P（4,5）

（3）存在点M，

由P（4,5），A（-1,0），C（2，-3）知PA2=50，AC2=18，PC2=68

∵50+18=38知，PA2 +AC2=PC2，

∴△PAC为直角三角形，且∠PAC=90°

∴tan∠APC=,

由∠MBN=∠APC，知

tan∠MBN=，

∴

∴

在y=x2-2x-3中，当y=0时，x=-1或x=3

即B（3,0）

设M（m，m2-2m-3），则BN=3－m，MN= |m2-2m-3|

∴，

解得：m=或m=

存在符合条件的点M，M的坐标为，，，．

练习4．（2021·山东烟台中考）如图，抛物线经过点，，与y轴正半轴交于点C，且．抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线经过B，C两点．

（1）求抛物线及直线的函数表达式；

（2）连接，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，且满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1），y=-x+4；（2）P点坐标为或；

【解析】解：（1）∵A（-2,0），OC=2OA，

∴OC=4，C（0,4）

将（-2,0），（0,4），（4,0）代入抛物线解析式，并解得：

a=，b=1，c=4

即抛物线解析式为：y=x2+x+4.

直线BC的解析式为：y=-x+4.

（2）由（1）得，，即，

过点Q作QM⊥DE于M，过点P作PN⊥DE于N，

∵∠QEP=90°，

∴∠QEM+∠MQE=90°，∠QEM+∠PEN=90°，

∴∠MQE=∠PEN，

∴△MQE∽△NEP，

∴，

如图1，设P点坐标为，

则PN=m-1，EN=，EM=2m-2，MQ=，

则Q点坐标为，

将Q点坐标代入y=-x+4，得，

解得，m=，或m=-（舍去），

把m=代入，得，，

故P点坐标为；

如图2，同理，得P点坐标为；

综上，P点坐标为或；

练习5．如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于A(－3，0)，B两点，与y轴相交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝－1，连接AC．

（1）求该抛物线的表达式；

（2）若过点B的直线l与抛物线相交于另一点D，当∠ABD＝∠BAC时，求直线l的表达式.

【答案】（1）；（2）或.

【解析】解：（1）∵抛物线的对称轴为x=-1，

∴，即b=2a

又C（0,2）

∴c=2

将A（-3,0）代入得：9a-3b+c=0

∴a=，b=

即抛物线的解析式为y=x2x+2；

（2）①当点D在x轴上方的抛物线上时，如图，

记BD与AC的交点为点E，

则E在抛物线对称轴上

由A（-3,0），C（0,2）知直线AC解析式为：y=x+2，

∴E（-1，）

由对称性知，B（1,0）

∴可得直线BD的解析式为：y=x+2.

②当点D在x轴下方抛物线上时，如图，

同理，得直线BD的解析式为y=x－；

综上所述，直线l的解析式为y=x+2或y=x－.

练习6．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点的坐标为．

（1）直接写出抛物线的解析式；

（2）如图1，若点在抛物线上且满足，求点的坐标.

【答案】（1）y=x2-2x-3；（2）（4,5），（，）．

【解析】解：（1）将（-1,0），顶点坐标（1，-4）代入抛物线解析式得：

得

解得

∴抛物线的解析式为：y=x2-2x-3．

（2）由B（3,0），D（1，-4）得直线BD的解析式为：y=2x-6

由y=x2-2x-3知C（0,-3），B（3,0）

①当PC∥BD时，此时∠PCB=∠CBD，

∴设直线PC解析式为y=2x+m

将点（0，-3）代入得：m=-3，

∴联立y=2x-3，y=x2-2x-3得：

x=0（舍）或x=4

即P（4,5）.

②

如图，当P在x轴下方时，设PC交BD于Q

则∠CBD=∠QCB，即CQ=BQ

又OC=OB

∴OQ是BC的垂直平分线，

即OQ的解析式为y=-x，

联立y=-x，y=2x-6得：Q（2，-2）

∴CQ的解析式为：y=x-2，

联立y=x-2，y=x2-2x-3得：

x=0（舍）或x=

即P（，）．

综上所述，符合条件的P点坐标为：（4,5），（，）．

【多题一解 · 典例剖析】

【角度倍数关系】

例题3. 【2020·四川内江】如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）三点，点D（x，y）为抛物线上第一象限内的一个动点．

（1）求抛物线所对应的函数表达式；

（2）过点D作DE⊥BC，垂足为点E，是否存在点D，使得△CDE中的某个角等于∠ABC的2倍？若存在，求点D的横坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析.

【解析】解：（1）将A（﹣1，0）、B（4，0）、C（0，2）代入y＝ax2+bx+c得：，

解得：．

故抛物线的解析式为yx2x+2．

（2）①当∠DCE＝2∠ABC时，取点F（0，﹣2），连接BF，

∵OC＝OF，OB⊥CF，

∴∠ABC＝∠ABF，

∴∠CBF＝2∠ABC．

∵∠DCB＝2∠ABC，

∴∠DCB＝∠CBF，

∴CD∥BF．

∵点B（4，0），F（0，﹣2），

∴直线BF的解析式为yx﹣2，

∴直线CD的解析式为yx+2．

联立得：，

解得：（舍去），，

∴点D的坐标为（2，3）；

②当∠CDE＝2∠ABC时，过点C作CN⊥BF于点N，交OB于H，作点N关于BC的对称点P，连接NP交BC于点Q，

∵∠OCH＝90°﹣∠OHC，∠OBF＝90°﹣∠BHN，

∠OHC＝∠BHN，

∴∠OCH＝∠OBF．

∴△OCH∽△OBF，

∴，即，

∴OH＝1，H（1，0）．

设直线CN的解析式为y＝kx+n（k≠0），

∵C（0，2），H（1，0），

∴，解得，

∴直线CN的解析式为y＝﹣2x+2．

，解得：，

∴点N的坐标为（，）．

∵点B（4，0），C（0，2），

∴直线BC的解析式为yx+2．

∵NP⊥BC，且点N（，），

∴直线NP的解析式为y＝2x．

联立，

解得：，

∴点Q的坐标为（，）．

∵点N（，），点N，P关于BC对称，

∴点P的坐标为（，）．

∵点C（0，2），P（，），

∴直线CP的解析式为yx+2．

将yx+2代入yx2x+2整理，得：11x2﹣29x＝0，

解得：x1＝0（舍去），x2，

∴点D的横坐标为．

综上所述：存在点D，使得△CDE的某个角恰好等于∠ABC的2倍，点D的横坐标为2或．

【多题一解· 对标练习】

练习7. 如图，抛物线y＝ax2﹣6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y＝﹣x+5经过点B，C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在直线BC上是否存在点M，使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】见解析.

【解析】解：（1）∵直线y＝﹣x+5经过点B，C，

∴当x＝0时，可得y＝5，即C的坐标为（0，5）．

当y＝0时，可得x＝5，即B的坐标为（5，0）．

∴．

解得．

∴该抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5；

（2）过点A作AN⊥BC于N，过N作NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，

∵M1A＝M1C，

∴∠ACM1＝∠CAM1．

∴∠AM1B＝2∠ACB．

∵△ANB为等腰直角三角形．

∴AH＝BH＝NH＝2．

∴N（3，2）．

设AC的函数解析式为y＝kx+b

∵C（0，5），A（1，0），

∴．

解得b＝5，k＝﹣5．

∴AC的函数解析式为y＝﹣5x+5，

设EM1的函数解析式为yx+n，

∵点E的坐标为（）．

∴n，

解得：n．

∴EM1的函数解析式为yx．

．解得．

∴M1的坐标为（）；

在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，

设M2（a，﹣a+5），

则：3，解得a．

∴﹣a+5．

∴M2的坐标为（，）．

综上所述，存在使AM与直线BC的夹角等于∠ACB的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．