专题06 动点引起的等腰三角形（菱形）存在性问题（解析版）

专题06 动点引起的等腰三角形（菱形）存在性问题

图1

单动点：如图1，A、B为顶点，P为动点，△ABP为等腰三角形，P点轨迹为两圆一线.

双动点：坐标平面内以定点A、定点B、动点P（若在x轴上运动）、动点Q（坐标平面内任一点）为顶点的四边形是菱形的问题：

转化为单动点问题，第一步先隐去一个动点，通常隐去无运动轨迹的点（点Q）；第二步，按单动点问题求解△PAB为等腰三角形的情形；第三步，找到Q点位置，利用坐标平面内平行四边形规律求得Q坐标（对角线上两组顶点的横坐标、纵坐标的和相等）.

【一题多解 · 典例剖析】

例题1．（2021·山西省中考）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，．

（1）求，，三点的坐标并直接写出直线，的函数表达式；

（2）点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线，交线段于点．

试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）A（-6,0），B（2,0），C（0，-6），直线AC的函数表达式为：y=-x-6；直线BC的函数表达式为：y=3x-6；（2）存在，点E的坐标为（-6，-8）或（2-2，2）．

【解析】解：（1）当y=0时，即x2+2x-6=0，

解得：x=2或x=-6，

∵点A在点B的左侧，

∴点A的坐标为（-6,0），点B的坐标为（2,0），

当x=0时，y=-6，

∴点C的坐标为（0，-6）

∴可得直线AC的函数表达式为：y=-x-6．直线BC的函数表达式为：y=3x-6.

（2）存在．设点D的坐标为（m，-m-6），其中-6<m<0，

当△BCD为等腰三角形时，存在点E使B、C、D、E为顶点的四边形为菱形

又BC∥DE，分两种情况讨论

①当BC=CD时，

方法一、勾股定理

可知，BD2=（m-2）2+（-m-6）2=2m2+8m+40，

BC2=40

CD2=2m2

∴2m2=40

解得：m=2（舍）或m=-2

即D（-2，2-6），

得E（2-2，2）

方法二、解析式法

由图知CD∥BE，过E作EF⊥x轴于F

∴直线BE的解析式为y=x+2，∠EBF=45°

又BE=BC=2，

∴EF=BF=2，

即E（2-2，2）.

②当BC=BD时

方法一、勾股定理

同理，得：2m2+8m+40=40

解得：m=0（舍）或m=-4

即D（-4，-2）

故E（-6，-8）

方法二、

设D（m，-m-6），则E（m-2，-m-12），则CE=BC=2

∴（m-2）2+（-m-6）2=40

解得：m=0（舍）或m=-4

∴E（-6，-8）

综上所述，存在点E，使得以D，B，C，E为顶点的四边形为菱形，点E的坐标为（-6，-8）或（2-2，2）.

【一题多解 · 对标练习】

练习1．（2021·黑龙江绥化中考）如图，已知抛物线与轴交于点，点，（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点，连接．直线经过点，且与轴交于点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点是抛物线上的一点，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标.

【答案】（1）y=-x2-4x+5；（2）（-5,0）或（，）或（，）.

【解析】解：（1）将（-5.0）、（1,0）代入y=ax2+bx+5得：

解得：

∴抛物线的解析式y=-x2-4x+5.

（2）由（1）知抛物线顶点坐标为D（-2,9）

①当BD=DN时，由对称性知，N点与A重合，

即N（-5,0）

②当DN=BD时，此时，N在BD的垂直平分线上，

方法一：解析式法

由B（1,0），D（-2,9）知直线BD的解析式为：y=-3x+3

线段BD的中点坐标为： ，

∴BD的垂直平分线的解析式为：直线y=x+

联立，y=x+，y=-x2-4x+5

解得：x= ，y= 或x=，y=

综上所述，N点坐标为（-5,0）或（，）或（，）.

方法二：勾股定理

设N（x，-x2-4x+5），由B（1,0），D（-2,9）得：

BN2=（x-1）2+（-x2-4x+5）2，DN2=（x+2）2+（-x2-4x+5-9）2

解得：x=或

即N（，）或（，）.

【多题一解 · 典例剖析】

例题2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(5，0)，点M的坐标为(0，4)，过点M作MNx轴，点P在射线MN上，若MAP为等腰三角形，则点P的坐标为___________．

【答案】(，4)或(，4)或(10，4).

【解析】解：设点P的坐标为（x，4），

分三种情况：①PM＝PA，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），

∴PM＝x，PA＝ ，

∵PM＝PA，

∴x＝，解得：x＝，

∴点P的坐标为（，4）；

②MP＝MA，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），

∴MP＝x，MA＝＝，

∵MP＝MA，

∴x＝，

∴点P的坐标为（，4）；

③AM＝AP，

∵点A的坐标为（5，0），点M的坐标为（0，4），

∴AP＝，MA＝＝，

∵AM＝AP，

∴＝，解得：x1＝10，x2＝0（舍去），

∴点P的坐标为（10，4）；

综上，点P的坐标为（，4）或（，4）或（10，4）．

故答案为：(，4)或(，4)或(10，4)．

例题3.（2021·湖南湘潭中考）如图，一次函数图象与坐标轴交于点A、B，二次函数图象过A、B两点．

（1）求二次函数解析式；

（2）点B关于抛物线对称轴的对称点为点C，点P是对称轴上一动点，在抛物线上是否存在点Q，使得以B、C、P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出Q点坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）．

【解析】解：（1）在中，当x=0时，y=；

当y=0时，，得：x=3

∴A（3，0），B（0，）

把A（3，0），B（0，）代入抛物线解析式得：

解得：

∴抛物线的解析式为：；

（2）抛物线的对称轴为直线x=1

设P（1，x），Q（m，n）

①当BC为菱形对角线时，如图，

由对称性知，Q为抛物线顶点，Q（1，）

②当BC为菱形一边时，若点Q在点P右侧时，如图，

∴BC//PQ，且BC=PQ

∵BC//x轴，

∴C点纵坐标为，C（2，）

∴PQ=BC=2，PB=BC=2

∴点P在x轴上，

∴P(1,0)，Q(3，0)；

若点Q在点P的左侧，如图，

同理可得，Q（-1，0）

综上所述，Q点坐标为（1，）或(3，0)或（-1，0）.

【多题一解 · 对标练习】

练习2.（2021·内蒙古鄂尔多斯中考）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C．

（1）求A，B，C三点的坐标；

（2）点M在y轴上，点N在直线上，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点M，使得以C、M、N、P为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）A（-4,0），B（2,0），C（0，-8）；（2）存在，M（0，-8+）、（0，-8-）、（0，-12）、（0，-）.

【解析】解：（1）令x=0得y=-8，

令y=0，x2+2x-8=0，得x=2或x=-4

∴A（-4,0），B（2,0），C（0，-8）

（2）存在，

由y=x2+2x-8知抛物线对称轴为x=-1，

分三种情况：

①当PC为对角线时，CM∥PN，CM=PN=CN

故N点为直线AC与抛物线对称轴的交点，即N（-1，-6），

CN=，CM=PN=

∴M（0，-8+）或（0，-8-）

②当CN为对角线时，CM∥PN，CM=PN=CP，

设CM=x，则M（0,-8+x），P（-1，-6-x），

则12+（-6-x+8）2=x2，

解得：x=

即M（0，）

③当CM对角线时，

设P（-1，x），则N（1，x），M（0，2x+8），

∵P在直线y=-x-8上

∴-2×1-8=x，即x=-10，

∴M（0，-12）

综上所述，点M的坐标为：（0，-8+）或（0，-8-）或（0，）或（0，-12）．

练习3．（2021·湖北恩施中考）如图，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，点，在轴上，抛物线经过点B，两点，且与直线CD交于另一点E．

（1）求抛物线的解析式；

（2）为抛物线对称轴上一点，为平面直角坐标系中的一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的菱形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）或或或．

【解析】解：（1）∵四边形ABCD为正方形，D(-4,5)，

∴AD=AB=5，A（-4,0），

∴OA=4，

∴OB=1，

∴B（1,0），

把点B、D坐标代入得：，

解得：，

∴抛物线的解析式为y=x2+2x-3；

（2）由（1）可得B（1,0），抛物线的对称轴为直线x=-1，

∵点D与点E关于抛物线的对称轴对称，

∴E（2,5），

∴BE2=26，

设点F（-1，m），

①当BF=BE时，

∴，

解得：a=±，

∴点F的坐标为或；

②当EF=BE时，

∴，

解得：a=5±，

∴点F的坐标为或；

综上所述：当以点Q，F，E，B为顶点的四边形是以BE为边的菱形，点F的坐标为或或或.