初中沪教版 (五四制)第十五章 平面直角坐标系综合与测试精练

这是一份初中沪教版 (五四制)第十五章 平面直角坐标系综合与测试精练，共32页。试卷主要包含了一只跳蚤在第一象限及x轴，直角坐标系中，点A与点B关于，已知点P等内容，欢迎下载使用。
七年级数学第二学期第十五章平面直角坐标系章节练习
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图所示，在平面直角坐标系中，点A（0，4），B（2，0），连接AB，点D为AB的中点，将点D绕着点A旋转90°得到点D的坐标为（ ）

A．（﹣2，1）或（2，﹣1） B．（﹣2，5）或（2，3）
C．（2，5）或（﹣2，3） D．（2，5）或（﹣2，5）
2、在平面直角坐标系中，点，关于轴对称点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3、在平面直角坐标系中，点A的坐标为．作点A关于x轴的对称点，得到点，再将点向左平移2个单位长度，得到点，则点所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4、一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动，在第一秒钟，它从原点跳动到（0，1），然后接着按图中箭头所示方向跳动［即（0，0）→（0，1）→（1，1） →（1，0）→ … ］，且每秒跳动一个单位，那么第25秒时跳蚤所在位置的坐标是（ ）

A．（4，0） B．（5，0） C．（0，5） D．（5，5）
5、直角坐标系中，点A(-3，4)与点B(3，-4)关于（ ）
A．原点中心对称 B．轴轴对称 C．轴轴对称 D．以上都不对
6、已知点P（m＋3，2m＋4）在x轴上，那么点P的坐标为（　　）
A．（－1，0） B．（1，0） C．（－2，0） D．（2，0）
7、点P在第二象限内，P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，那么点P的坐标为（ ）
A．（-4，3） B．（4，-3） C．（-3，4） D．（3，-4）
8、如图在平面直角坐标系中，点N与点F关于原点O对称，点F的坐标是（3，2），则点N的坐标是（ ）

A．（﹣3，﹣2） B．（﹣3，2） C．（﹣2，3） D．（2，3）
9、如图，在平面直角坐标系中，长方形的顶点的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是( )

A． B． C． D．
10、点M(2，4)先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度得到的点的坐标是（　　）
A．(－1，6) B．(－1，2) C．(－1，1) D．(4，1)
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、在直角坐标系中，已知点P(a－2，2a＋7)，点Q(2，5)，若直线PQ∥y轴，则线段PQ的长为_____．
2、点到轴的距离为______，到轴的距离为______．
3、若点（－1，m）与点（n，2）关于y轴对称，则的值为__________．
4、在平面直角坐标系中，点A的坐标为(a，3)，点B的坐标是(4，b)，若点A与点B关于原点O对称，则a－b＝________．
5、如图，在平面直角坐标系中，四边形ABOC是正方形，点A的坐标为（1，1），是以点B为圆心，BA为半径的圆弧；是以点O为圆心，OA1为半径的圆弧，是以点C为圆心，CA2为半径的圆弧，是以点A为圆心，AA3为半径的圆弧，继续以点B、O、C、A为圆心按上述作法得到的曲线AA1A2A3A4A5…称为正方形的“渐开线”，那么点A2021的坐标是______．

三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）
1、如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，点，点在轴的负半轴上，点，连接、，且，

（1）求的度数；
（2）点从点出发沿射线以每秒2个单位长度的速度运动，同时，点从点出发沿射线以每秒1个单位长度的速度运动，连接、，设的面积为，点运动的时间为，求用表示的代数式（直接写出的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当点在轴的正半轴上，点在轴的负半轴上时，连接、、，，且四边形的面积为25，求的长．
2、△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知A（﹣2，3），B（﹣3，1），C（﹣1，2）．
（1）画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后得到的△A1B1C1；
（2）画出△ABC关于原点O的对称图形△A2B2C2；
（3）直接写出下列点的坐标：A1　 　，B2　 　．

3、如图，在直角坐标系中，点A（3，3），B（4，0），C（0，2）．
（1）画出△ABC关于原点O对称的△A1B1C1．
（2）求△A1B1C1的面积．

4、如图，在平面直角坐标系中，线段AB的两个端点的坐标分别为A（﹣1，﹣2），B（﹣2，﹣4）．
（1）画出线段AB关于y轴对称的线段A1B1，再画出线段A1B1关于x轴对称的线段A2B2；
（2）点A2的坐标为 　 　；
（3）若此平面直角坐标系中有一点M（a，b），点M关于y轴对称的对称点M1，点M1关于x轴对称的对称点M2，则点M2的坐标为 　 　．

5、如图所示的方格纸中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，三角形ABC的三个顶点都在小正方形的顶点上．
（1）画出三角形ABC向左平移4个单位长度后的三角形DEF（点D、E、F与点A、B、C对应），并画出以点E为原点，DE所在直线为x轴，EF所在直线为y轴的平面直角坐标系；
（2）在（1）的条件下，点D坐标（﹣3，0），将三角形DEF三个顶点的横坐标都减去2，纵坐标都加上3，分别得到点P、Q、M（点P、Q、M与点D、E、F对应），画出三角形PQM，并直接写出点P的坐标．

6、如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，﹣2），点P是x轴上的一个动点．
（1）A1，A2分别是点A关于原点的对称点和关于y轴对称的点，直接写出点A1，A2的坐标，并在图中描出点A1，A2．
（2）求使△APO为等腰三角形的点P的坐标．

7、如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A，B，C都是格点．
（1）画出△ABC关于直线MN对称的．
（2）若B为坐标原点，请写出、、的坐标，并直接写出的长度．．
（3）如图2，A，C是直线同侧固定的点，D是直线MN上的一个动点，在直线MN上画出点D，使最小．（保留作图痕迹）

8、如图，已知的三个顶点分别为，，．
（1）请在坐标系中画出关于轴对称的图形（，，的对应点分别是，，），并直接写出点，，的坐标；
（2）求四边形的面积．

9、如图，在平面直角坐标系中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）．
（1）作出△ABC关于y轴的对称图形△A'B'C'；
（2）写出点A'，B'，C'的坐标；
（3）在y轴上找一点P，使PA+PC的长最短．

10、如图在平面直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别为： A（4，0），B（﹣1，4），C（﹣3，1）
（1）在图中作△A′B′C′使△A′B′C′和△ABC关于x轴对称；
（2）求△ABC的面积


-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
分顺时针和逆时针旋转90°两种情况讨论，构造全等三角形即可求解．
【详解】
解：设点D绕着点A逆时针旋转90°得到点D1，
分别过点D，D1作轴的垂线，分别交轴于点C、E，如图：

根据旋转的性质得∠DAD1=90°，AD1=AD，
∴∠AED1=∠ACD=90°，
∴∠D1+∠EAD1=90°，∠EAD1 +∠DAC=90°，
∴∠D1=∠DAC，
∴△AD1E≌△DAC，
∴CD=AE，ED1=AC，
∵A（0，4），B（2，0），点D为AB的中点，
∴点D的坐标为（1，2），
∴CD=AE=1，ED1=AC=AO-OC=2，
∴点D1的坐标为（2，5）；
设点D绕着点A顺时针旋转90°得到点D2，
同理，点D2的坐标为（-2，3），
综上，点D绕着点A旋转90°得到点D的坐标为（-2，3）或（2，5），
故选：C．
【点睛】
本题考查了坐标与图形的变化-旋转，全等三角形的判定和性质，根据平面直角坐标系确定出点D1和D2的位置是解题的关键．
2、A
【分析】
平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，-y），即关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就可以求出对称点的坐标．
【详解】
解：点A（3，-4）关于x轴的对称点的坐标是（3，4），
故选：A．
【点睛】
本题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系，是需要识记的内容．
3、C
【分析】
根据题意结合轴对称的性质可求出点的坐标．再根据平移的性质可求出点的坐标，即可知其所在象限．
【详解】
∵点A的坐标为(1，3)，点是点A关于x轴的对称点，
∴点的坐标为(1，-3)．
∵点是将点向左平移2个单位长度得到的点，
∴点的坐标为(-1，-3)，
∴点所在的象限是第三象限．
故选C．
【点睛】
本题考查轴对称的性质，平移中点的坐标的变化以及判断点所在的象限．根据题意求出点的坐标是解答本题的关键．
4、C
【分析】
根据题意，找出其运动规律，质点每秒移动一个单位，质点到达(1，0)时，共用3秒；质点到达(2，0)时，共用4秒；质点到达(0，2)时，共用4+4=8秒；质点到达(0，3)时，共用9秒；质点到达(3，0)时，共用9+6=15秒；以此类推， 即可得出答案．
【详解】
解：由题意可知，质点每秒移动一个单位
质点到达(1，0)时，共用3秒；
质点到达(2，0)时，共用4秒；
质点到达(0，2)时，共用4+4=8秒；
质点到达(0，3)时，共用9秒；
质点到达(3，0)时，共用9+6=15秒；
以此类推，质点到达(4，0)时，共用16秒；
质点到达(0，4)时，共用16+8=24秒；
质点到达(0，5)时，共用25秒；
故选：C．
【点睛】
本题考查图形变化与运动规律，根据所给质点运动的特点能够正确确定点运动的顺序，确定运动的距离，从而可以得到到达每个点所用的时间．找出规律是解题的关键．
5、A
【分析】
观察点A与点B的坐标，依据关于原点中心对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数可得答案．
【详解】
根据题意，易得点（-3，4）与（3，-4）的横、纵坐标互为相反数，则这两点关于原点中心对称．
故选A．
【点睛】
本题考查在平面直角坐标系中，关于原点中心对称的两点的坐标之间的关系．掌握关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数是解答本题的关键．
6、B
【分析】
根据x轴上点的纵坐标为0列方程求出m的值，再求解即可．
【详解】
解：∵点P（m＋3，2m＋4）在x轴上，
∴2m＋4＝0，
解得：m＝－2，
∴m＋3＝－2＋3＝1，
∴点P的坐标为（1，0）．
故选：B．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记x轴上点的纵坐标为0是解题的关键．
7、C
【分析】
根据第二象限内点的横坐标是负数，纵坐标是正数，点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度解答．
【详解】
解：∵点P在第二象限内，点P到x轴的距离是4，到y轴的距离是3，
∴点P的横坐标是-3，纵坐标是4，
∴点P的坐标为（-3，4）．
故选C．
【点睛】
本题考查了点的坐标，熟记点到x轴的距离等于纵坐标的长度，到y轴的距离等于横坐标的长度是解题的关键．
8、A
【分析】
根据点F点N关于原点对称，即可求解．
【详解】
解：∵F点与N点关于原点对称，点F的坐标是（3，2），
∴N点坐标为（﹣3，﹣2）．
故选：A
【点睛】
本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征，熟练掌握若两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数是解题的关键．
9、A
【分析】
由点是的中点，可得出点D的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点P的坐标
【详解】
解：过点P作PM⊥OD于点M，

∵长方形的顶点的坐标分别为，点是的中点，
∴点D（5,0）
∵，PM⊥OD，
∴OM＝DM
即点M（2.5,0）
∴点P（2.5,4），
故选：A
【点睛】
此题主要考查了坐标与图形的性质和等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形“三线合一”的性质是解题的关键．
10、A
【分析】
直接利用平移中点的变化规律求解即可，平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】
∵，，
∴得到的点的坐标是．
故选：A．
【点睛】
本题考查图形的平移变换，关键是要懂得左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
二、填空题
1、10
【分析】
直线PQ∥y轴，则P、Q两点横坐标相等，有a-2=2,得a=4，则P点坐标为（2，15），PQ的长为=10．
【详解】
∵直线PQ∥y轴
∴a-2=2
∴a=4
∴P点坐标为（2，15）
PQ==10．
故答案为10．
【点睛】
本题考查了平面直角坐标系，平面直角坐标系中两点之间的线段与x轴平行，两点之间距离为横坐标差的绝对值，两点之间的线段与y轴平行，两点之间距离为纵坐标差的绝对值．
2、5 2
【分析】
根据横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离即可求解．
【详解】
解：点到轴的距离为，到轴的距离为2．
故答案为：5；2
【点睛】
本题考查了坐标与图形的性质，横坐标的绝对值就是点到y轴的距离，纵坐标的绝对值就是点到x轴的距离，掌握坐标的意义是解题的关键．
3、3
【分析】
根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”求出m、n的值，然后相加计算即可得解．
【详解】
解：∵点（－1，m）与点（n，2）关于y轴对称，
∴，，
∴；
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：
（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
4、-1
【分析】
直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【详解】
解：∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，
∴a＝﹣4，b＝-3，
则a－b＝-4+3=-1．
故答案为：﹣1．
【点睛】
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出a，b的值是解题关键．
5、（2021，0）
【分析】
将四分之一圆弧对应的A点坐标看作顺时针旋转90°，再根据A、A1、A2、A3、A4的坐标找到规律即可．
【详解】
∵A点坐标为（1，1），且A1为A点绕B点顺时针旋转90°所得
∴A1点坐标为（2，0）
又∵A2为A1点绕O点顺时针旋转90°所得
∴A2点坐标为（0，-2）
又∵A3为A2点绕C点顺时针旋转90°所得
∴A3点坐标为（-3，1）
又∵A4为A3点绕A点顺时针旋转90°所得
∴A4点坐标为（1，5）
由此可得出规律：An为绕B、O、C、A四点作为圆心依次循环顺时针旋转90°，且半径为1、2、3、、、n，每次增加1．
∵2021÷4=505…1
故A2021为以点B为圆心，半径为2021的A2020点顺时针旋转90°所得
故A2021点坐标为（2021，0）．
故答案为：（2021，0）．
【点睛】
本题考查了点坐标规律探索，通过点的变化探索出旋转的规律是解题的关键．
三、解答题
1、（1）；（2）；（3）5
【分析】
（1）根据非负数的性质求得的值，进而求得，即可证明是等腰直角三角形，即可求得的度数；
（2）分点在轴正半轴，原点，轴负半轴三种情况，根据点的运动表示出线段长度，进而根据三角形的面积公式即可列出代数式；
（3）过点作，连接，根据四边形的面积求得，进而求得，由，设，，则，证明，进而可得，，进一步导角可得，根据等角对等边即可求得
【详解】
（1）




是等腰直角三角形，

（2）①当点在轴正半轴时，如图，

，，

，


②当点在原点时，都在轴上，不能构成三角形，则时，不存在
③当点在轴负半轴时，如图，

，，

，


综上所述：
（3）如图，过点作，连接




，

设，，则，


是等腰直角三角形




在和中


，



是等腰直角三角形

中，


，

又


【点睛】
本题考查了非负数的性质，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键．
2、（1）见解析；（2）见解析；（3）（-3，-2），（3，-1）
【分析】
（1）先根据网格找到A、B、C的对应点A1、B1、C1，然后顺次连接A1、B1、C1即可；
（2）先根据网格找到A、B、C的对应点A2、B2、C2，然后顺次连接A2、B2、C2即可；
（3）根据（1）（2）说画图形求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，即为所求；
（2）如图所示，即为所求；

（3）由图可知，的坐标为（-3，-2），的坐标为（3，-1），
故答案为：（-3，-2）；（3，-1）．
【点睛】
本题主要考查了坐标与图形变化—旋转变化，轴对称变化，画旋转图形和轴对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．
3、（1）图形见解析；（2）5
【分析】
（1）根据关于原点对称的点的坐标特征，依次求出的坐标即可；
（2）利用割补法求△A1B1C1面积．
【详解】
（1）∵
∴△ABC关于原点O对称的△A1B1C1位置如图：

（2）
【点睛】
此题考查了中心对称的知识，解答本题的关键是根据关于原点对称的点的坐标特征得到各点的对应点．
4、（1）见详解；（2）（1，2）；（3）（-a，-b）．
【分析】
（1）分别作出A、B二点关于y轴的对称点A1、B1，再分别作出A1、B1二点关于x轴的对称点A2、B2即可；
（2）根据图示得出坐标即可；
（3）根据轴对称的性质得出坐标即可．
【详解】
解：（1）如图所示：

线段A1B1和线段A2B2即为所求；
（2） 点A2的坐标为（1，2）；
（3）点M（a，b），关于y轴对称的对称点M1（-a，b），点M1关于x轴对称的对称点M2（-a，-b），故点M2的坐标为（-a，-b）．
【点睛】
本题考查作图-轴对称变换，轴对称-最短问题，两点之间线段最短等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称的概念，利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
5、（1）见解析；（2）画图见解析，点P的坐标为（-5，3）
【分析】
（1）根据平移的特点先找出D、E、F所在的位置，然后根据题意建立坐标系即可；
（2）将三角形DEF三个顶点的横坐标都减去2，纵坐标都加上3，分别得到点P、Q、M，即点P可以看作是点D向左平移2个单位，向上平移3个单位得到的，由此求解即可．
【详解】
解：（1）如图所示，即为所求；

（2）如图所示，△PQM即为所求；
∵P是D（-3，0）横坐标减2，纵坐标加3得到的，
∴点P的坐标为（-5，3）．

【点睛】
本题主要考查了平移作图，根据平移方式确定点的坐标，解题的关键在于能够熟练掌握点坐标平移的特点．
6、（1）A1（﹣2，2），A1（﹣2，﹣2），见解析；（2）P点坐标为（﹣2，0）或（2，0）或（4，0）或（2，0）
【分析】
（1）利用关于原点对称和y轴对称的点的坐标特征写出点A1，A2的坐标，然后描点；
（2）先计算出OA的长，再分类讨论：当OP＝OA或AP＝AO或PO＝PA时，利用直角坐标系分别写出对应的P点坐标．
【详解】
解：（1）A1（﹣2，2），A1（﹣2，﹣2），如图，

（2）如图，设P点坐标为（t，0），
，

当OP＝OA时，P点坐标为或；
当AP＝AO时，P点坐标为（4，0），
当PO＝PA时，P点坐标为（2，0），
综上所述，P点坐标为或或（4，0）或（2，0）．
【点睛】
本题考查的是轴对称的性质，中心对称的性质，坐标与图形，等腰三角形的定义，清晰的分类讨论是解本题的关键.
7、（1）画图见解析；（2），；（3）画图见解析
【分析】
（1）分别确定关于对称的对称点 再顺次连接从而可得答案；
（2）根据在坐标系内的位置直接写其坐标与的长度即可；
（3）先确定关于的对称点，再连接 交于 则 从而可得答案.
【详解】
解：（1）如图1，是所求作的三角形，

（2）如图1，为坐标原点，
则

（3）如图2，点即为所求作的点.

【点睛】
本题考查的是画轴对称图形，建立坐标系，用根据点的位置确定点的坐标，轴对称的性质，掌握“利用轴对称的性质得到两条线段和取最小值时点的位置”是解本题的关键.
8、（1）画图见解析，，，；（2）
【分析】
（1）根据关于轴对称的点的坐标特征写出点，，的坐标，然后描点即可；
（2）根据三角形面积公式，利用四边形的面积进行计算．
【详解】
解：（1）根据题意得：点，，关于轴的对称点分别为，，，
如图，为所作；

（2）四边形的面积

．
【点睛】
本题主要考查了图形的变换——轴对称，坐标与图形，熟练掌握轴对称图形的关键是找到对称轴，图形关于对称轴折叠前后对应线段，对应角相等是解题的关键．
9、（1）见解析；（2）A′（1，5），B′（1，0），C′（4，3）；（3）见解析
【分析】
（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再收尾顺次连接即可得；
（2）根据△A'B'C'各顶点的位置，写出其坐标即可；
（3）连接PC，则PC=PC′，根据两点之间线段最短，可得PA+PC的值最小．
【详解】
解：（1）如图所示，△A′B′C′为所求作；

（2）由图可得，A′（1，5），B′（1，0），C′（4，3）；
（3）如图所示，连接AC′，交y轴于点P，则点P即为所求作．
【点睛】
本题主要考查了利用轴对称变换作图以及最短距离的问题，解题时注意：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，运用轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
10、（1）见解析；（2）11.5
【分析】
（1）直接利用关于x轴对称点的性质，进而得出答案；
（2）利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案．
【详解】
解：（1）如图所示

（2）
【点睛】
此题主要考查了轴对称变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键．