高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第一册3.3 抛物线课后练习题

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3.3   抛物线【题组一 抛物线的定义】1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线上一点P到准线的距离为，到直线:为，则的最小值为（  ）A．3 B．4 C． D．【答案】A【解析】抛物线上的点到准线的距离等于到焦点的距离，所以过焦点作直线的垂线，则该点到直线的距离为最小值，如图所示；由，直线，所以，故选A.2．（2020·全国高二课时练习）若抛物线上的点到其焦点的距离是到轴距离的倍，则等于（     ）A． B．1 C． D．2【答案】D【解析】由题意，3x0=x0+，∴x0=∴ ∵p＞0，∴p=2.故选D．3．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期中（文））已知抛物线上点（在第一象限）到焦点距离为5，则点坐标为（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】设，因为点到焦点距离为5即,根据抛物线定义：，解得：，代入抛物线方程，得即故选：C4．（2020·广东佛山.高二期末）已知抛物线上的点到其焦点的距离为2，则的横坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】抛物线焦点，准线方程为，设点的横坐标为，根据抛物线的定义，.故选:C5．（2020·定远县民族学校高二月考（理））已知抛物线：的焦点为，是上一点，且，则（   ）A． B． C． D．【答案】D【解析】，如图，由抛物线的几何意义，可知，所以，所以，故选D．6．（2020·沙坪坝.重庆八中高二月考）若抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点的距离恒大于1，则p的取值范围是（    ）A．p＜1 B．p＞1 C．p＜2 D．p＞2【答案】D【解析】∵设P为抛物线的任意一点，则P到焦点的距离等于到准线：x的距离，显然当P为抛物线的顶点时，P到准线的距离取得最小值．∴，即p＞2．故选：D．7．（2019·河南濮阳.高二月考（文））若点为抛物线上的动点，为的焦点，则的最小值为（  ）A．1 B． C． D．【答案】D【解析】由y＝2x2，得，∴2p，则，由抛物线上所有点中，顶点到焦点距离最小可得，|PF|的最小值为．故选D．【题组二 抛物线的标准方程】1．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线交于E，G两点，若，则抛物线C的方程是（  ）A． B．C． D．【答案】C【解析】作，垂足为点D．由题意得点在抛物线上，则得．①由抛物线的性质，可知，，因为，所以．所以，解得：．②．由①②，解得：（舍去）或．故抛物线C的方程是．故选C．2．（2020·定远县育才学校高二月考（文））设斜率为2的直线过抛物线 的焦点F，且和y轴交于点A．若为坐标原点)的面积为，则抛物线的方程为（   ）A．y2＝4x B．y2＝8x C．y2＝±4x D．y2＝±8x【答案】D【解析】的焦点是，直线的方程为，令得，所以由的面积为得，，故选.3．（2020·天津和平.耀华中学高二期末）设抛物线 ()的焦点为,准线为,过焦点的直线分别交抛物线于两点,分别过作的垂线,垂足为.若,且三角形的面积为,则的值为(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】过点B作交直线AC于点M，交轴于点N，设点，由得，即……①，又因为,所以,所以，所以……②，由①②可解得，在中，，，所以，所以,解得或（舍去），故选：C4．（2018·河南洛阳.高二一模（文））已知点，抛物线：的焦点为，射线与抛物线交于点，与抛物线准线相交于，若，则的值为（   ）A．4 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】依题意F点的坐标为（，0），设M在准线上的射影为K
由抛物线的定义知|MF|=|MK|，则|KN|：|KM|=2：1，，得p=2，选C.5．（2019·黑龙江香坊.哈尔滨市第六中学校高二期中（文））已知点在抛物线上，则______；点到抛物线的焦点的距离是______.【答案】2    2    【解析】点代入抛物线方程得：，解得：；抛物线方程为：，准线方程为：，点M到焦点的距离等于点M到准线的距离：故答案为2,26．（2020·全国高二课时练习）已知抛物线的焦点为，准线为．若位于轴上方的动点在准线上，线段与抛物线相交于点，且，则抛物线的标准方程为____．【答案】【解析】如图所示，设，过点作于点，由抛物线的定义知，，，；在中，，，从而；又，所以，即，所以；在中，，，所以，所以抛物线的标准方程为．故答案为．7．（2020·四川省广元市川师大万达中学高二期中）已知抛物线的准线与圆相切，则的值为_____.【答案】2；【解析】抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x﹣3）2+y2=16相切，所以3+=4，解得p=2．故答案为2【题组三 直线与抛物线的位置关系】1．（2018·湖南衡阳市八中高二期中（文））过点(0,1)作直线,使它与抛物线y2=4x仅有一个公共点,这样的直线共有( )A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】C【解析】通过图形可知满足题目要求的直线只能画出3条2．（2020·四川南充.高二期末（文））已知过点M（1，0）的直线AB与抛物线y2=2x交于A，B两点，O为坐标原点，若OA，OB的斜率之和为1，则直线AB方程为______．【答案】2x+y-2=0【解析】依题意可设直线AB的方程为：x=ty+1，代入y2=2x得，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1y2=-2，y1+y2=2t，所以，∴，解得，∴直线AB的方程为：x=+1，即2x+y-2=0．故答案为2x+y-2=0．3．（2020·四川阆中中学高二月考（文））直线与抛物线交于两点，若，则弦的中点到直线的距离等于________.【答案】【解析】如图，直线过定点，，而抛物线的焦点为，，弦的中点到准线的距离为，则弦的中点到直线的距离等于．故答案为：．4．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期末（理））设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点作轴的垂线与抛物线在第一象限内交于点，若，则直线的方程为__________．【答案】【解析】抛物线方程为，抛物线焦点为，准线为，设，因为在第一象限，所以直线的斜率，设直线方程为，代入抛物线方程消去，得，，过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，设点的坐标为，可得，，，得到，可得，，，解之得，所以，直线方程为，即,，故答案为.【题组四 弦长】1．（2019·安徽滁州.高二期末（理））已知为抛物线上的不同两点，为抛物线的焦点，若，则（    ）A． B．10 C． D．6【答案】C【解析】设，则，又，∴，∴，，∴，由，得，∴.故选C．2．（2020·江西赣州.高二月考（理））过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为（    ）A． B．4 C． D．【答案】C【解析】抛物线的焦点弦公式为：，由抛物线方程可得：，则弦的长为.本题选择C选项.3．（2020·河南淇滨。鹤壁高中高二月考（文））过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则的值为（   ）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】B【解析】根据过抛物线焦点的弦长公式有.故选B.4．（2019·遵义市南白中学（理））已知过抛物线焦点的直线交其于两点，为坐标原点．若，则的面积为_________.【答案】【解析】设直线AB的倾斜角为θ（0＜θ＜π），∵|AF|＝3，∴点A到准线l：x＝﹣1的距离为3，∴2+3cosθ＝3，即cosθ，则sinθ．∵BF＝2+ BF cos（π﹣θ）∴BF∴△AOB的面积为S．故答案为：．5．（2020·威远中学校高二月考（文））过抛物线的焦点作倾斜角为的弦，则的弦长为           .【答案】【解析】这是一个求过抛物线的焦点弦的长度的问题，可以先求出过抛物线的焦点的弦所在直线的方程，然后再将直线方程与抛物线方程联立，并结合韦达定理，即可求得结果.由于抛物线的焦点是，所以直线方程是，联立消得，所以，故答案应填.6（2018·民勤县第一中学高二期末（文））过抛物线y2=4x的焦点，作倾斜角为的直线交抛物线于P、Q两点，O为坐标原点，则POQ的面积为_________.【答案】【解析】设P，Q，则，过抛物线y2=4x的焦点（1，0），倾斜角为的直线为x-y-1=0，即x=1+y，代入y2=4x得：，即，∴，∴∴【题组五 定点定值】1.（2019·山西太行中学高二月考（理））已知为抛物线的焦点，过的动直线交抛物线于，两点．当直线与轴垂直时，．（1）求抛物线的方程；（2）设直线的斜率为1且与抛物线的准线相交于点，抛物线上存在点使得直线，，的斜率成等差数列，求点的坐标．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，在抛物线方程中，令，可得．于是当直线与轴垂直时，，解得．所以抛物线的方程为．（2）因为抛物线的准线方程为，所以．设直线的方程为，联立消去，得．设，，，，则，．若点，满足条件，则，即，因为点，，均在抛物线上，所以．代入化简可得，将，代入，解得．将代入抛物线方程，可得．于是点为满足题意的点．2．（2019·安徽六安一中高二月考（文））已知是抛物线：的焦点，点在抛物线上，且.（1）求抛物线的标准方程；（2）若、是抛物线上的两个动点，且，为坐标原点，求证：直线过定点.【答案】（1）;（2）证明见解析【解析】（1）由题意得,,解得,因为点在抛物线上,则,解得,又,所以,即拋物线的标准方程为.（2）设,,因为,所以,即得,因为点、在抛物线上,所以,,代入得,因为,则,设直线的方程为,联立,得,则,所以,所以直线的方程为，过定点.3．（2019·黄石市教育科学研究院高二期末（理））已知点F是拋物线C:y2=2px(p>0)的焦点,点M(x0,1)在C上,且|MF|=.(1)求p的值;(2)若直线l经过点Q(3,-1)且与C交于A,B(异于M)两点,证明:直线AM与直线BM的斜率之积为常数.【答案】（1）；（2）【解析】(1)由抛物线定义知|MF|=x0+,则x0+=x0,解得x0=2p,又点M(x0,1)在C上,所以2px0=1,解得x0=1,p=.(2)由(1)得M(1,1),C:y2=x.当直线l经过点Q(3,-1)且垂直于x轴时,不妨设A(3,),B(3,-),则直线AM的斜率kAM=,直线BM的斜率kBM=,所以kAM·kBM=-×=-.当直线l不垂直于x轴时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则直线AM的斜率kAM===,同理直线BM的斜率kBM=,∴kAM·kBM=·=.设直线l的斜率为k(显然k≠0且k≠-1),则直线l的方程为y+1=k(x-3).联立消去x,得ky2-y-3k-1=0,所以y1+y2=,y1y2=-=-3-,故kAM·kBM===-.综上,直线AM与直线BM的斜率之积为-.4．（2018·湖南天心.长郡中学高二开学考试（理））在直角坐标系中，曲线C：y=与直线交与M,N两点，（Ⅰ）当k=0时，分别求C在点M和N处的切线方程；（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由.【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）存在【解析】【分析】（Ⅰ）由题设可得，，或，.∵，故在=处的导数值为，C在处的切线方程为，即.故在=-处的导数值为-，C在处的切线方程为，即.故所求切线方程为或.（Ⅱ）存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为复合题意得点，，，直线PM，PN的斜率分别为.将代入C得方程整理得.∴.∴==.当时，有=0，则直线PM的倾斜角与直线PN的倾斜角互补，故∠OPM=∠OPN，所以符合题意.5（2020·定远县育才学校高二月考（文））已知抛物线的顶点在原点,焦点在坐标轴上，点为抛物线上一点.（1）求的方程；  （2）若点在上，过作的两弦与，若，求证:直线过定点.【答案】（1）或； （2）证明见解析．【解析】（1）当焦点在轴时，设的方程为，代人点得，即.当焦点在轴时，设的方程为，代人点得，即，综上可知：的方程为或.（2）因为点在上，所以曲线的方程为.设点，直线，显然存在，联立方程有：.,即即.直线即直线过定点.6．（2020·长春兴华高中高二期末（文））已知抛物线C；过点．求抛物线C的方程；过点的直线与抛物线C交于M，N两个不同的点均与点A不重合，设直线AM，AN的斜率分别为，，求证：为定值．【答案】（1）．（2）见解析．【解析】（1）由题意得，所以抛物线方程为． （2）设，，直线MN的方程为，代入抛物线方程得． 所以，，． 所以,所以，是定值．