数学必修 第二册第六章 平面向量及其应用6.2 平面向量的运算精品随堂练习题

6.2              平面向量的运算

知识点一 向量加法的三角形法则

已知非零向量a，b，在平面内取任意一点A，作＝a，＝b，则向量叫做a与b的和，记作a＋b，即a＋b＝＋＝.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则．

注意点：

运用向量加法的三角形法则作图时要“首尾相接，再首尾连”．

反思感悟　向量加法的三角形法则的特征为首尾顺次相接，即

＋＋……＋＝.

知识点二 向量加法的平行四边形法则

1.以同一点O为起点的两个已知向量a，b，以OA，OB为邻边作▱OACB，则以O为起点的向量(OC是▱OACB的对角线)就是向量a与b的和．把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．

2．从平行四边形的性质可知三角形法则和平行四边形法则是一致的．

3．对于零向量与任意向量a，规定a＋0＝0＋a＝a.

注意点：

运用向量加法的平行四边形法则作图时，要强调两个向量起点相同．

反思感悟　向量加法的平行四边形法则和三角形法则的区别和联系

知识点三 共线向量的加法与向量加法的运算律

1．一般地，我们有|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．

2．(加法交换律)a＋b＝b＋a；

(加法结合律)a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c.

反思感悟　向量加法运算律的意义和应用原则

(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现了恰当利用向量加法法则运算的目的．实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行．

(2)应用原则：通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序．

知识点四 向量加法的实际应用

反思感悟　应用向量解决实际问题的基本步骤

(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．

(2)运算：应用向量加法的平行四边形法则和三角形法则，将有关向量进行运算，解答向量问题．

(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．

知识点五 向量的减法运算

1．相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.

2．向量的减法：向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b)，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算叫做向量的减法．

注意点：

(1)零向量的相反向量仍是零向量．

(2)对于相反向量有：a＋(－a)＝(－a)＋a＝0．

(3)若a，b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．

知识点六 向量减法的几何意义

已知向量a，b，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a－b.即a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量，这就是向量减法的几何意义．

反思感悟　求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．

(2)可以直接用向量减法的几何意义，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．

知识点七 向量加减的混合运算

反思感悟　(1)向量减法运算的常用方法

(2)向量加减法化简的两种形式

①首尾相连且为和．

②起点相同且为差．

知识点八 向量加减法的综合应用

反思感悟　(1)解决此类问题要搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形的三个向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．

(2)主要应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决问题，在封闭图形中可利用向量加法的多边形法则，提升逻辑推理素养．

知识点九 向量的数乘运算

一般地，我们规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，其长度与方向规定如下：

(1)|λa|＝|λ||a|.

(2)λa(a≠0)的方向

特别地，当λ＝0时，λa＝0．

当λ＝－1时，(－1)a＝－a.

注意点：

(1)数乘向量仍是向量．

(2)实数λ与向量不能相加．

反思感悟　λ的正负决定向量λa(a≠0)的方向，λ的大小决定λa的模．

知识点十 向量的线性运算

1．数乘运算的运算律

设λ，μ为实数，那么

(1)λ(μa)＝(λμ)a.

(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa.

(3)λ(a＋b)＝λa＋λb.

特别地，(－λ)a＝－(λa)＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb.

2．向量的线性运算

向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a±μ2b)＝λμ1a±λμ2b.

反思感悟　向量线性运算的基本方法

(1)类比法：向量的数乘运算类似于代数多项式的运算，例如，实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是这里的“同类项”“公因式”是指向量，实数看作是向量的系数．

(2)方程法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用解方程的方法求解，同时在运算过程中多注意观察，恰当的运用运算律，简化运算．

知识点十一 用已知向量表示其他向量

反思感悟　用已知向量表示其他向量的两种方法

(1)直接法

(2)方程法

当直接表示比较困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．

知识点十二 向量共线定理

向量共线定理

向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa.

注意点：

(1)向量共线定理中规定a≠0．

(2)λ的值是唯一存在的．

反思感悟　(1)证明或判断三点共线的方法

一般来说，要判定A，B，C三点是否共线，只需看是否存在实数λ，使得＝λ(或＝λ等)即可．

(2)利用向量共线求参数的方法

已知向量共线求λ，常根据向量共线的条件转化为相应向量系数相等求解．

知识点十三 向量数量积的运算律

1．对于向量a，b，c和实数λ，有

(1)a·b＝b·a(交换律)．

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(数乘结合律)．

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．

2.

注意点：

(1)a·b＝b·c推不出a＝c.

(2)(a·b)c≠a(b·c)，它们表示不同的向量．

反思感悟　向量的数量积a·b与实数a，b的乘积a·b有联系，同时也有许多不同之处．例如，由a·b＝0并不能得出a＝0或b＝0．特别是向量的数量积不满足结合律．

知识点十四 利用数量积求向量的模和向量的夹角

反思感悟　(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝，勿忘记开方．

(2)求向量的夹角，主要是利用公式cos θ＝求出夹角的余弦值，从而求得夹角．可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解．

知识点十五 与垂直有关的问题

反思感悟　解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量)．

知识点十六 两向量的夹角

1．夹角：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角，夹角θ的取值范围是0≤θ≤π.

当θ＝0时，a与b同向；当θ＝π时，a与b反向．

2．垂直：如果a与b的夹角是，则称a与b垂直，记作a⊥b.

注意点：

两个向量只有起点重合时所对应的角才是向量的夹角．

反思感悟　(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出．

(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.

知识点十七 两向量的数量积

1．已知两个非零向量a，b，它们的夹角为θ，我们把数量|a|·|b|cos θ叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ.

规定：零向量与任一向量的数量积为0.

2．向量数量积的性质

设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则

(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.

(2)a⊥b⇔a·b＝0.

(3)当a∥b时，a·b＝

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.

(4)|a·b|≤|a|·|b|.

(5)cos θ＝.

注意点：

(1)数量积运算中间是“·”，不能写成“×”，也不能省略不写．

(2)向量的数量积是一个实数，不是向量，它的值可正、可负、可为0.

(3)a·b＝0不能推出a和b中至少有一个零向量．

(4)|a|＝是求向量的长度的工具．

(5)沟通了向量运算与数量之间的关系．

反思感悟　定义法求平面向量的数量积

若已知两向量的模及其夹角，则直接利用公式a·b＝|a|·|b|cos θ.运用此法计算数量积的关键是确定两个向量的夹角，条件是两向量的起点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件．

知识点十八 投影向量

1.如图，设a，b是两个非零向量，＝a，＝b，我们考虑如下的变换：过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到，我们称上述变换为向量a向向量b投影，叫做向量a在向量b上的投影向量．

2.如图，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则就是向量a在向量b上的投影向量．设与b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则与e，a，θ之间的关系为＝|a|cos θe.

注意点：

(1)向量a在向量b上的投影向量是与向量b平行的向量．

(2)如果向量a与向量b平行或垂直，向量a在向量b上的投影向量具有特殊性．

反思感悟　任意的非零向量a在另一非零向量b上的投影向量等于|a|cos θe(θ为向量a，b的夹角，e为与b同向的单位向量)．

考法一 向量的加法运算

【例1】(2021·重庆市大学城)向量﹒化简后等于( )

A. B.0 C. D.

【答案】D

【解析】

, 故选D.

【练1】(2020·全国高一课时练习)化简．

(1)．

(2)．

【答案】(1)；(2).

【解析】(1)；

考法二 向量的减法运算

【例2】．(2020·全国高一课时练习)化简下列各式：

①；②；③；④.

其中结果为的个数是(    )

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】D

【解析】①；

②；

③；

④；

以上各式化简后结果均为,故选:D

【练2】(2020·安徽滁州市))化简：(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】．故选：．

考法三 向量的数乘的运算

【例3】(2020·全国高一课时练习)计算：

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】(1)原式；

(2)原式；

(3)原式．

【练3】(2020·全国高一课时练习)化简：

(1)；

(2)；

(3)．

【答案】(1)；(2)；(3).

【解析】(1)原式；

(2)原式；

(3)原式．

考法四 向量的共线定理

【例4】(2020·全国高一课时练习)判断向量是否共线(其中,是两个非零不共线的向量):

(1);

(2);

(3).

【答案】(1)共线，(2)共线，(3)不共线.

【解析】(1)∵,∴,∴共线.

(2)∵,∴,∴共线.

(3)假设,则,∴.

∵不共线,∴此方程组无解.∴不存在实数,使得,∴不共线.

【练4】(2021·全国)设是两个不共线的向量,若向量与共线,则(　　)

A．λ=0 B．λ=-1

C．λ=-2 D．λ=-

【答案】D

【解析】由已知得存在实数k使,即,于是1=2k且λ=-k,解得λ=-.

考法五  向量的数量积

【例5】(2020·全国高一)在中，，，，则的值为(    )

A． B．5 C． D．

【答案】D

【解析】，，，.

故选：D.

【练5】(2020·天水市第一中学高一期末)已知等边的边长为2，若，，则等于(    )

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】等边△ABC的边长为2，，，

∴，，

∴，

，．故选：D．

考法六  向量的夹角

【例6】(2021·胶州市)已知，，则与的夹角为_________.

【答案】

【解析】根据已知条件，

去括号得：，

所以，故答案为：

【练6】(2020·镇原中学高一期末)已知为单位向量，且满足，与的夹角为，则实数_______________.

【答案】或

【解析】由，可得，则.

由为单位向量，得，则，即，

解得或.

考法七  向量的投影

【例7】(2020·合肥市第六中学高一月考)已知向量的夹角为，且，则向量在向量方向上的投影为(    )．

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】A

【解析】由题意，，

所以向量在向量方向上的投影为.故选：A.

【练7】(2021·江西上饶市)若向量与满足，且，，则向量在方向上的投影为()

A． B． C．-1 D．

【答案】B

【解析】利用向量垂直的充要条件有：，∴，

则向量在方向上的投影为,故选B.

考法八 向量的模长

【例8】(2020·河北邢台市·)已知，，且向量与的夹角为，则(    )

A． B．3 C． D．

【答案】A

【解析】因为，，与的夹角为，

所以，则.故选：A.

【练8】(2020·全国高一)已知平面向量，满足，，若，的夹角为120°，则(    )

A． B． C． D．3

【答案】A

【解析】由题意得，，故选：A.

考法九 平面向量运算的综合运用

【例9】(2020·湖北高一期末)已知两个非零向量，的夹角为，且，则的取值范围是( )

A．  B． C．  D．

【答案】C

【解析】因为，所以 ，

所以，即，

由基本不等式的性质可知，，

，所以．故选：C．

【练9】(2020·北京丰台区·高一期末)，是两个单位向量，则下列四个结论中正确的是(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】A．可能方向不同，故错误；

B．，两向量夹角未知，故错误；

C．，所以，故错误；

D．由C知，故正确，故选：D.