人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.3 简单几何体的表面积与体积优秀随堂练习题

8.3  简单几何体的表面积与体积

一、棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积

多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们各个面的面积的和．

求解正棱台的表面积时注意棱台的四个基本量：底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用

(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形．

(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形．

二、棱柱、棱锥、棱台的体积

棱柱：V棱柱＝Sh

S为棱柱的底面积，h为棱柱的高

棱锥：V棱锥＝Sh

S为棱锥的底面积，h为棱锥的高

棱台：V棱台＝(S′＋＋S)h

S′，S分别为棱台的上、下底面面积，h为棱台的高

求解正棱台的体积时，注意棱台的五个基本量(上、下底面边长、高、斜高、侧棱)．

常用两种解题思路：一是把基本量转化到直角梯形中解决问题；二是把正棱台还原成正棱锥．利用正棱锥的有关知识来解决问题．

三、简单组合体的表面积与体积

求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．

1. 表面积公式：底面积：S底＝2πr2

2. 旋转体侧面积：S侧＝2πrl

圆柱：表面积：S＝2πr(r＋l)；

圆锥：底面积：S底＝πr2；侧面积：S侧＝πrl；表面积：S＝πr(r＋l)

圆台：上底面面积：S上底＝πr′2；

下底面面积：S下底＝πr2；

侧面积：S侧＝π(r′l＋rl)；

表面积：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)

圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面，计算侧面积时需要将这个曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面圆的面积之和．

四、圆柱、圆锥、圆台的体积

圆柱：V圆柱＝Sh＝πr2h

圆柱底面圆的半径为r，面积为S，高为h

圆锥：V圆锥＝Sh＝πr2h圆锥底面圆的半径为r，面积为S，高为h

圆台：V圆台＝(S＋＋S′)h＝π(r2＋rr′＋r′2)h

圆台上底面圆的半径为r′，面积为S′，下底面圆的半径为r，面积为S，高为h

五、球的表面积与体积

1．球的表面积公式S＝4πR2(R为球的半径)．

2．球的体积公式V＝πR3.

计算球的表面积与体积，关键是确定球心与半径．

考点一  多面体表面积

【例1】(2020·湖南怀化市)已知正四棱柱(即底面是正方形的直棱柱)的底面边长为，侧面的对角线长是，则这个正四棱柱的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意侧棱长为．所以表面积为：．故选：A.

【练1】(2020·全国高一课时练习)长方体的高为2，底面积等于12，过不相邻两侧棱的截面(对角面)的面积为10，则此长方体的侧面积为(    )

A．12 B．24 C．28 D．32

【答案】C

【解析】设长方体底面矩形的长与宽分别为，则.

又由题意知，解得或.

故长方体的侧面积为.

故选：C.

考点二  多面体台体积

【例2】(2020·江苏南京市)底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是(    )

A． B．1 C． D．

【答案】A

【解析】底面边长为2，高为1的正三棱柱的体积是故选：A

【练2】(2021·扶风县法门高中)正方体的全面积为18cm2，则它的体积是_________

【答案】

【解析】设该正方体的棱长为 cm，

由题意可得，，解得，

所以该正方体的体积为.

故答案为：

考点三  旋转体的表面积

【例3】(2020·山东德州市·高一期末)若圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，且圆锥的母线长为，则该圆锥的侧面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】如图圆锥的轴截面是顶角为，即，，,

所以，所以圆锥的侧面积为.

故选：C.

【练3】(2021·浙江丽水市)经过圆锥的轴的截面是面积为2的等腰直角三角形，则圆锥的侧面积是(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设圆锥的底面半径为，母线长为，则，

由题可知，

∴，

侧面积为，

故选：C.

考点四 旋转体的体积

【例4】(2021·宁夏银川市·贺兰县景博中学)已知圆锥的母线长为5，底面周长为，则它的体积为(    )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】设圆锥的底面半径为r，高为h，

因为底面周长为，所以，解得，

又因为母线长为5，所以h=4，所以圆锥的体积是故选：B

【练4】(2020·山东菏泽市·高一期末)若圆锥的底面半径为，侧面积为，则该圆锥的体积为(    )

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】设圆锥母线长为，则侧面积为，故.

故圆锥的高，圆锥体积为.故选：C.

考点五 球

【例5】(2020·浙江高一期末)若一个球的直径为2，则此球的表面积为(    )

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为球的直径为2，即球的半径为1，所以球的表面积为，故选：D.

【练5】(2020·江苏无锡市第六高级中学高一期中)正三棱柱有一个半径为的内切球，则此棱柱的体积是(    ).

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵正三棱柱有一个半径为的内切球，则正三棱柱的高为cm，

底面正三角形的内切圆的半径为cm，

设底面正三角形的边长为cm,则，解得cm，

∴正三棱柱的底面面积为cm2，

故此正三棱柱的体积V＝cm3．

故选：B．

考点六 组合体的体积表面积

【例6】(2020·全国高一课时练习)如图，一个无盖的器皿是由棱长为3的正方体木料从顶部挖掉一个直径为2的半球而成(半球的底面圆在正方体的上底面，球心为上底面的中心)，则该器皿的表面积为(    )

A．54 B． C． D．

【答案】C

【解析】器皿的表面积是棱长为3的正方体的表面积减去半径为1的圆的面积，再加上半径为1的半球的表面积，即器皿的表面积

．

故选：C．

【练6】(2020·新疆巴音郭楞蒙古自治州·高一期末)如图，直三棱柱，高为6，底边三角形的边长分别为3、4、5，以上下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积.

【答案】

【解析】因为，所以底面是直角三角形，

所以上、下底面内切圆半径，

所以剩余部分几何体的体积，

所以剩余部分几何体的体积为.

课后练习

1. （2021高一下·越秀期末）卢浮宫玻璃金字塔是著名美籍华裔建筑设计师贝聿铭的重要作品之一，主玻璃金字塔是一个底边长为35m，高为21m的正四棱锥，则该主玻璃金字塔所占空间的大小是      m3.   

【答案】 8.575  

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积   

【解析】【解答】 ．

故答案为：8.575．

【分析】 利用正四棱锥的几何性质以及锥体的体积公式求解即可.

2. （2021高一下·唐山期末）已知圆锥底面半径为1，母线长为3，该圆锥内接正方体的体积为       ．   

【答案】   

【考点】棱锥的结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积   

【解析】【解答】解：作出该几何体的轴截面，如图所示，

因为圆锥的底面半径为1，母线长为3，

所以圆锥的高为 ，即 ，

设正方体的边长为 ，

由轴截面的性质得 ，即 ，解得 ,

所以圆锥内接正方体的体积为

故答案为：

【分析】 作出圆锥过正方体AC1的对角面AA1C1 C的轴截面，利用相似三角形求出圆锥的内接正方体的棱长，即可计算正方体的体积.

3. （2021·安阳模拟）如图，点 在以 为直径的圆 上， ，若以直线 为轴旋转一周，左半圆旋转所形成的几何体的体积为 ， 旋转所形成的几何体的体积为 ，则       . 

【答案】 250π  

【考点】组合几何体的面积、体积问题，旋转体（圆柱、圆锥、圆台），球的体积和表面积   

【解析】左半圆旋转一周为球体，

因为 ， 为直径，所以 ，

所以 ，即半径 ，

所以 ，

以直线 为轴旋转所形成的几何体是两个接在一起的圆锥，

高 ， ，

所以 ，

所以 .

故答案为：250π.

【分析】左半圆旋转一周为球体， 以直线 为轴旋转所形成的几何体是两个接在一起的圆锥，由球体体积公式和圆锥体积公式计算可得结果。

4. （2021·浙江模拟）已知圆柱的体积为 （单位： ），且它的侧面展开图是正方形，则这个圆柱的底面半径（单位： ）是       ．   

【答案】   

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积   

【解析】设圆柱底面半径为r，高为h，

由于该圆柱的侧面展开图是正方形，所以 ，

又圆柱的体积为 ，所以 ，即

所以 .

故答案为： .

【分析】 利用圆柱的侧面展开后是一个正方形，即可求出圆柱的底面周长和圆柱的高相等；再根据圆柱的体积公式，代入数值计算出结果即可。

5. （2021高三上·商丘开学考）已知某圆锥被一过该圆锥顶点的平面所截得到的几何体的正视图与侧视图如图所示，若该圆锥的顶点与底面圆周都在球 的球面上，则球 的表面积为       ．  

【答案】   

【考点】由三视图还原实物图，球的体积和表面积   

【解析】该几何体如图所示，由正视图和侧视图可知，底面圆弧所在圆的半径为 ，且 ， .

，设球 的半径为 ，由球的性质可知， ，解得 ，故球 的表面积为 .

故答案为：

【分析】 首先利用三视图和几何体的直观图之间的转换转换为直观图,进一步求出几何体的外接球的球心和半径，最后利用球的表面积公式求出结果.

6. （2021高一下·河北期末）已知一圆锥的侧面展开图是半径为 的半圆，则该圆锥的体积是       ．   

【答案】   

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积   

【解析】设该圆锥底面圆的半径为 ，高为 ，母线长为 ，则 ， ，解得： ，

， 该圆锥的体积是 ．

故答案为： .

【分析】根据侧面展开图可确定母线长和底面圆半径，由此求得圆锥的高，根据圆锥体积公式可求得结果。

7. （2021高二上·广州期中）已知四棱锥 的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且 平面ABCD.若四棱锥 的体积为 ，则球O的表面积为      .   

【答案】 24π  

【考点】球的体积和表面积   

【解析】解：正方形ABCD面积 ，

∵四棱锥 的体积 ，

∴ ， ，
球 的半径

球 的表面积：

【分析】根据题意由四棱锥的体积公式代入数值计算出边的大小，然后由勾股定理计算出球的半径，再把结果代入到球的表面积公式计算出结果即可。

8. （2020高一上·兰州期末）如果三个球的表面积之比是 ，那么它们的体积之比是________．   

【答案】   

【考点】球的体积和表面积   

【解析】∵三个球的表面积之比是 ，∴三个球的半径之比是 ，∴三个球的体积之比是 。
【分析】利用球的表面积公式结合已知条件三个球的表面积之比是 ， 从而求出球的半径之比，再利用球的体积公式，从而求出三个球的体积之比。

9. （2021高一下·河北期中）长方体 中， ， ， ，则三棱锥 的体积为      .   

【答案】 1  

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积   

【解析】因为长方体 中，侧棱和底面垂直，

因此 即为三棱锥 的高，

所以三棱锥 的体积为 。

故答案为：1。

【分析】因为长方体 中，侧棱和底面垂直，因此 即为三棱锥 的高，再利用三棱锥的体积公式，进而求出三棱锥的体积。

10.（2020高二上·嘉兴期末）一个正方体的顶点都在球面上，若该正方体的棱长为2，则球的体积是________.   

【答案】   

【考点】球的体积和表面积，球内接多面体   

【解析】由题意可得该球为正方体的外接球，正方体的体对角线即为球的直径，

设球的半径为 ，则 ，

所以 ，

所以球的体积为 ，

故答案为： .

【分析】根据题意可知球为正方体的外接球，并且正方体的体对角线即为球的直径；结合已知的边长代入到正方体对角线公式计算出结果即可求出球的半径，再把数值代入到球的体积公式计算出结果即可。

10. （2021高一下·雅安期末）如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， ， ， ， ， ，点 为棱 的中点.

（1）证明： 平面 ；   

（2）求三棱锥 的体积.   

【答案】 （1）取 中点为 ，连接 ， ，

因为 是 中点，可得 ， ，

又因为 ， ，所以 ， ，

所以四边形 是平行四边形，所以 ，

又由 面 ， 面 ，所以 面 .
（2）由点 为棱 的中点，

由平面 平面 ， ，且平面 平面 ，

所以 底面 ，即 为P点到底面 的距离，

又由 ， ， ， ，且点 为棱 的中点，

可得 .

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，直线与平面平行的判定   

【解析】（1） 取 中点为 ，连接 ， ，再利用 是 中点，再结合中点作中位线的方法结合中位线的性质，从而推出 ， ，再利用 ， ，所以 ， ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，再利用线线平行证出线面平行，从而证出直线 面 。
（2） 由点 为棱 的中点，再利用面面垂直的性质推出线面垂直，所以 底面 ，再利用 ， ， ， 且点 为棱 的中点，再结合等体积法结合三棱锥的体积公式，从而求出三棱锥 的体积。

44.（2021高一下·威宁县期末）如图，已知在长方体 中， 为 上一点，且 ． 

（1）求证：平面 平面 ；   

（2）求三棱锥 的体积．   

【答案】（1）证明：在长方体 中， 平面 ， 平面 ，所以 ． 

因为 ，所以 ，

所以 ，则 ．

因为 ，所以 ，则 ．

又 ， 平面 ， 平面 ，

所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 ．
（2）解：由（1）知 平面 ，设 与 交于点 ，连接 ， ， 

则 ．

易知 ，

在矩形 中，易知 ，

所以 ．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积，平面与平面垂直的判定   

【解析】(1)由线面垂直的性质，推得  ,再由三角函数的知识，推得DE⊥AC,再由线面垂直和面面垂直的判定定理，即可得证;
(2)由  平面   ,可得三棱锥 的体积为三棱锥D- A1C1 F的体积与三棱锥E- A1C1F的体积的和，结合棱锥的体积公式和三角形的面积公式，计算可得所求值.