人教A版 (2019)必修 第二册第八章 立体几何初步8.4 空间点、直线、平面之间的位置关系精品一课一练

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8.4空间点、直线、平面之间的位置关系
拓展练习

1. （2020高二上·柯桥期末）已知 α ， β 是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题正确的是（    ）
A. α⊥β ， m⊥β ，则 m//α                                B. m//n ， m⊥α ，则 n⊥α
C. m⊂α ， n//β ，则 m//n                                    D. m//α ， m//β ，则 α//β
【答案】 B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】对A，若 α⊥β ， m⊥β ，则 m//α 或 m⊂α ，A不符合题意；
对B，若 m//n ， m⊥α ，则由线面垂直的性质可得 n⊥α ，B符合题意；
对C，若 m⊂α ， n//β ，则 m 和 n 平行、相交或异面，C不符合题意；
对D，若 m//α ， m//β ，则 α 和 β 平行或相交，D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】 根据题意由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系分析可知A、C、D错误；由直线与平面垂直的性质判断B正确；由此得到答案。
2. （2020高二上·蚌埠期末）已知P，Q是不同的点，l，m，n是不同的直线， α ， β 是不同的平面，则下列数学符号表示的命题中，不是公理的是（    ）
A. P∈l ， Q∈l ， P∈α ， Q∈α⇒l⊂α
B. P∈α ， P∈β⇒ 存在唯一直线l， α∩β=l ，且 P∈l
C. l//m ， m//n⇒l//n
D. m⊥α ， n⊥α⇒m//n
【答案】 D
【考点】平面的基本性质及推论，空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】对于A：由公理一知：如果一条直线上的两点在一平面内，那么这条直线在此平面内；故答案为：项A符合题意；
对于B：由公理三知：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线；故答案为：项B符合题意；
对于C：由平行公理知：平行于同一条直线的两条直线互相平行；故答案为：项C符合题意；
D是直线与平面垂直的性质定理，不是公理.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合平面的基本性质以及线面与平面的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。
3. （2021·马鞍山模拟）设a，b为两条直线，则 a//b 的充要条件是（    ）
A. a，b垂直于同一条直线                                       B. a，b垂直于同一个平面
C. a，b平行于同一个平面                                       D. a，b与同一个平面所成角相等
【答案】 B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】解：A：若a，b都垂直同一直线，则a，b可能相交，平行，异面，A不符合题意，
B：由 a//b ，得a，b垂直于同一个平面，是充分条件，
若a，b垂直于同一个平面，则 a//b ，是必要条件，∴B符合题意，
C：若a，b平行于同一平面，则a，b可能相交，平行，异面，C不符合题意，
D：若a，b与同一平面所成角相等，则a，b可能相交，D不符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据题意由平面与直线的位置关系，对选项逐一判断即可得出答案。
4. （2021·四川模拟）已知三条不重合的直线 m ， n ， l ，三个不重合的平面 α ， β ， γ ，下列命题中正确的是（    ）
A. {m⊥ln⊥l⇒m//n                B. {l⊥αl⊥n⇒n//α                C. {α⊥γβ⊥γ⇒α//β                D. {m⊥αm⊥β⇒α//β
【答案】 D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】m⊥l,n⊥l 时， m,n 可以相交、平行或异面，A错；
l⊥α,l⊥n 时， n//α 或 n⊂α ，B错；
α⊥γ,β⊥γ 时， α 与 β 可以相交可以平行，C错；
m⊥α,m⊥β ，则 α//β ，D正确．
故答案为：D．
【分析】 A:根据线线的位置关系可得 m,n 可以相交、平行或异面； B:根据线面垂直的性质定理可得 n//α 或 n⊂α；C:根据面面得位置关系可得:  α 与 β 可以相交可以平行；D:根据线面的位置关系可得α//β。
5. （2021高一下·常州期末）如图，已知平面 α ， β ，且 α∩β=l ，设梯形 ABCD 中， AD//BC ，且 AB⊂α ， CD⊂β ，则下列结论一定正确的是（    ）．

A.AB=CD
B.直线 AB 与 CD 可能为异面直线
C.直线 AC 与 BD 可能为异面直线
D.直线 AB ， CD ， l 相交于一点
【答案】 D
【考点】平面的基本性质及推论，异面直线及其所成的角
【解析】梯形 ABCD 中， AD//BC ，且 AB⊂α ， CD⊂β ，
则 AB=CD 不一定成立，A不符合题意；
因为 AD//BC ，所以 A、B、C、D 在同一平面内，所以直线 AB 与 CD 不可能为异面直线，直线 AC 与 BD 不可能为异面直线，BC不符合题意；
由 AB 、 CD 相交，设交点为 P ，可得 P 在 AB 上，又 AB⊂α ，可得 P 在 α 内，同理可得 P 在 CD 上，又 CD⊂β ，可得 P 在 β 内，则 P 在平面 α、β 的交线上，即直线 AB ， CD ， l 相交于一点，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】 由梯形的定义和平面的基本性质，结合图形，即可得出答案.
6. （2021·海宁模拟）已知空间中两平面 α,β ，直线 l//α ，则“ l⊥β ”是“ α⊥β ”的（    ）
A. 充分而不必要条件           B. 必要而不充分条件           C. 充要条件           D. 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】l//α 且 l⊥β ，知： α⊥β ；而 l//α 且 α⊥β ，则 l 与平面 β 的关系可能有 l⊥β 、 l//β 、 l⊂β ，
∴“ l⊥β ”是“ α⊥β ”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】根据题意由直线与平面的位置关系，结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
7. （2021·咸阳模拟）已知 m,n 是空间两条直线 ,α,β 是空间两个平面，则下列判断正确的是（    ）
A. 若 m//n ， m⊂α ，则 n//α                           B. 若 m//α ， α//β ，则 m//β
C. 若 m//n ， n⊥α ，则 m⊥α                          D. 若 m⊥β ， m⊥n ，则 n//β
【答案】 C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】A选项，若 m//n ， m⊂α ，则 n//α 或 n⊂α ，A不符合题意；
B选项，若 m//α ， α//β ，则 m//β 或 m⊂β ，B不符合题意；
C选项，若 n⊥α ，则在平面 α 内存在相交直线 a,b ，使得 n⊥a ， n⊥b ；又 m//n ，所以 m⊥a ， m⊥b ；因为 a,b 为平面 α 内的相交直线，所以 m⊥α ，C符合题意；
D选项，若 m⊥β ， m⊥n ，则 n//β 或 n⊂β ，D不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据题意由直线与平面的为关系、平面与平面的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。
8. （2021·丰台模拟）已知 α,β,γ 是三个不同的平面，a ， b是两条不同的直线，下列命题中正确的是（    ）
A. 若 α⊥γ,β⊥γ ，则 α//β                               B. 若 a⊥α,b⊥α ，则 a//b
C. 若 a//α,b//α ，则 a//b                                D. 若 a//α,a//β ，则 α//β
【答案】 B
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】A中，若 α⊥γ,β⊥γ ， α,β 可能相交也可能平行，则错误；
B中， a⊥α,b⊥α ，根据线面垂直的性质可判断 a//b ，则正确；
C中，若 a//α,b//α ，a ， b的位置不定，则错误；
D中，若 a//α,a//β ， α,β 可能相交也可能平行，则错误．
故答案为：B
【分析】根据题意由直线与平面的位置关系以及平面与平面之间的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。
9. （2021高一下·越秀期末）下列命题中正确的是（    ）
A.三点确定一个平面
B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面
C.圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面
D.四边形可确定一个平面
【答案】 B
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】A.由确定平面的依据可知，不共线的三点确定一个平面，故错误；
B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故正确；
C.根据确定平面的依据，直线和直线外一点确定一个平面，所以应改为圆的一条直径和圆上除直径端点外的一点，可确定一个平面，故错误；
D.空间四边形，四点不在同一个平面，故错误；
故答案为：B
【分析】 利用平面的基本性质，结合公理以及推论，判断选项的正误即可.
10. （2021高一下·聊城期末）基本事实2；如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内．可用符号表示为（    ）
A.A⊂l ， B⊂l ，且 A⊂α ， B⊂α⇒l∈α
B.A∈l ， B∈l ，且 A∈α ， B∈α⇒l⊂α
C.A∈l ， B∈l ，且 A⊂α ， B⊂α⇒l⊂α
D.A∈l ， B∈l ，且 A∈α ， B∈α⇒l∈α
【答案】 B
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】因为 A 、 B 是点，是元素，是直线 l 、平面 a 的元素，所以用“ ∈ ”，而 l 是点的集合，和平面 α 是集合与集合的关系，是平面 α 的子集关系，所以用“ ⊂ ”.
故答案为：B.
【分析】利用已知条件结合直线与平面的关系，再结合元素与集合的关系或集合间的关系，从而找出用符号表示的正确的选项。
11. （2021高一下·滨海期末）经过同一条直线上的3个点的平面（    ）
A. 有且仅有1个                         B. 有无数个                         C. 不存在                         D. 有且仅有3个
【答案】 B
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】解：∵空间中不在同一条直线上的三个点确定一个平面，
∴在同一直线上的三个点的平面，就是以这条直线为轴心，任意旋转角度的无数个平面都满足这个条件，
∴有无数个平面，
故答案为：B．
【分析】 在同一直线上的三个点的平面，就是以这条直线为轴心，任意旋转角度的无数个平面都满足这个条件.
12. （2021高二上·大名开学考）已知直线a ， b和平面 α ，下列推论错误的是（　　）
A. a⊥α ， b⊂α⇒a⊥b                                     B. a//b ， a⊥α⇒b⊥α
C. a⊥b ， b⊥α⇒a//α 或 a⊂α                      D. a//α ， b⊂α⇒a//b
【答案】D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】a⊥α ， b⊂α ，由线面垂直的性质可得 a⊥b ，A正确，符合题意；
a//b ， a⊥α 由线面垂直的判定定理可得 b⊥α ，B正确，符合题意；
a⊥b ， b⊥α⇒a//α 或 a⊂α ，C正确，不符合题意；
a//α ， b⊂α⇒a//b 或 a 与 b 异面，D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】 由线面垂直的定义我们易判断A的真假；根据线面垂直的判定方法，易判断B的对错；利用空间线面垂直及线面平行的定义，我们易判断C的正误；再由线面平行的定义，我们易判断D的对错，进而得到答案.
13. （2021·孝义模拟）设 α 是给定的平面， A 和 B 是不在 α 内的任意两点，给定下列命题：
①在 α 内存在直线与直线 AB 异面  ②在 α 内存在直线与直线 AB 相交
③存在过直线 AB 的平面与 α 垂直  ④存在过直线 AB 的平面与 α 平行
以上一定正确的是（    ）
A. ②③                                     B. ①④                                     C. ②④                                     D. ①③
【答案】 D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】因为 A 和 B 是不在 α 内的任意两点，若直线 AB∩α=C ，则在平面 α 内不过点 C 的直线与 AB 都异面，①正确， 在平面 α 内过点 C 的直线与 AB 都相交，②正确，此时不存在过直线 AB 的平面与 α 平行，④错误（反证法：若存在平面 β//α ，与 C∈α,C∈β 矛盾）；若直线 AB//α ，显然在 α 内存在直线与直线 AB 异面，①正确，在 α 内不存在直线与直线 AB 相交，②错误，此时存在过直线 AB 的平面与 α 平行，④正确，所以①一定正确，②不一定正确，④不一定正确．
无论直线 AB 与平面 α 相交或平行，都能过点 A 作 AD⊥α ，根据面面垂直的判定定理可知，过直线 AB 的平面 ABD 与 α 垂直，③正确，特别地，若 AB⊥α ，则存在无数个过直线 AB 的平面与 α 垂直，综上，一定正确的是①③．
故答案为：D．
【分析】由直线与直线、平面与直线、平面与平面的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。
14. （2020高三上·温州期末）三个平面将空间分成n个部分，则n不可能是（    ）
A. 5                                           B. 6                                           C. 7                                           D. 8
【答案】 A
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】按照三个平面中平行的个数来分类：（1）三个平面两两平行，如图1，可将空间分成4部分；
；（2）两个平面平行，第三个平面与这两个平行平面相交，如图2，可将空间分成6部分；
；（3）三个平面中没有平行的平面：（i）三个平面两两相交且交线互相平行，如图3，可将空间分成7部分；
（ii）三个平面两两相交且三条交线交于一点，如图4，可将空间分成8部分.
（iii）三个平面两两相交且交线重合，如图5，可将空间分成6部分；

综上，可以为4，6，7，8部分，不能为5部分，
故答案为：A.
【分析】根据题意结合空间平面的性质分情况讨论即可得出结果。
15. （2021高二上·浦东新期中）下列命题：
⑴若空间四点共面，则其中必有三点共线；
⑵若空间有三点共线，则此四点必共面；
⑶若空间四点中任意三点不共线，则此四点不共面；
⑷若空间四点不共面，则其中任意三点不共线.
其中正确的命题有（    ）个.
A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3
【答案】 C
【考点】平面的基本性质及推论
【解析】解：对于①，空间四点共面，如平面四边形，其中任何三点不共线；故①错误；
对于②，空间四点中有三点共线，根据不共线的三点确定一个平面，得到此四点必共面；故②正确；
对于③，空间四点中任何三点不共线，则此四点可能共面，如平面四边形；故③错误；
对于④，空间四点不共面，如果任意三点有共线的，那么此四个点就共面，与已知矛盾．故④正确，
所以正确的命题有2个.
故答案为：C.
【分析】 根据题意对四个命题利用空间四个点的位置关系，分别进行分析解答，由此即可得出答案。
16. （2021·深圳模拟）已知直线 m,n 和平面 α ， β ，满足 m⊂α ， n⊂β ，则“ m 和 n 相交”是“ α 和 β 相交”的（    ）
A. 充分不必要条件             B. 必要不充分条件             C. 充要条件             D. 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】若 m 和 n 相交于点 O ，则 O∈m ， O∈n ，因为 m⊂α ， n⊂β ，所以 O∈α ， O∈β ，所以 α 和 β 相交，

若 α 和 β 相交，当 m⊂α ， n⊂β 时， m 和 n 可能相交，可能平行，可能异面，
   
所以“ m 和 n 相交”是“ α 和 β 相交”的充分不必要条件.
故答案为：A．
【分析】根据直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系分析，结合充分不必要条件的概念可得答案。
17. （2021·浙江模拟）已知直线l、m和平面 α ．若 m⊂α ， l⊂α ，则“ l//m ”是“ l//α ”的（    ）
A. 充分不必要条件           B. 必要不充分条件           C. 充分必要条件           D. 既不充分也不必要条件
【答案】 A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】解：充分性： ∵l//m ， l⊂α ， m⊂α∴l//α ，故充分性成立．
必要性： ∵l//α ， l⊂α ， m⊂α ，则 l 与 m 平行或异面，故必要性不成立．
故“ l//m ”是“ l//α ”的充分不必要条件．
故答案为：A．
【分析】首先由直线与平面的位置关系，即可得出 l 与 m 平行或异面，再由充分和必要条件的定义即可得出答案。
18. （2021高一下·通州期末）给定空间中的直线 l 与平面 α ，则“直线 l 与平面 α 垂直”是“直线 l 垂直于 α 平面内无数条直线”的（    ）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断，空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】由题意，若“直线 l 与平面 α 垂直”则“直线 l 垂直于 α 平面内无数条直线”成立的，所以充分性是成立的；
若“直线 l 垂直于 α 平面内无数条直线”则直线“直线 l 不一定平面 α 垂直”，所以必要性不成立，
所以“直线 l 与平面 α 垂直”是“直线 l 垂直于 α 平面内无数条直线”成立的充分不必要条件．
故答案为：A．
【分析】由直线与平面的位置关系结合充分和必要条件的定义即可得出答案。
19. （2021高二上·温州期中）已知 AB=(2,−1,3) ， AC=(−1,4,−2) ， AD=(5,−6,λ) ，若 A,B,C,D 四点共面，则实数 λ= （    ）
A. 5                                           B. 6                                           C. 7                                           D. 8
【答案】 D
【考点】空间中的点的坐标，平面的基本性质及推论，空间向量运算的坐标表示
【解析】若 A,B,C,D 四点共面，则存在实数 x,y 使得 AD=xAB+yAC 成立，
则 {5=2x−y−6=−x+4yλ=3x−2y 解得 {x=2y=−1λ=8
故答案为：D．
【分析】根据题意由四点共面的性质，结合向量线性运算的坐标公式，整理由此即可求出λ的值。
20. （2021高一下·肥城期中）已知一个平面α，那么对于空间内的任意一条直线l，在平面α内一定存在一条直线m，使得直线l与直线m（   ）
A. 平行                                     B. 相交                                     C. 异面                                     D. 垂直
【答案】 D
【考点】空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系
【解析】解：当直线a与平面α相交时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：异面、相交，此时就不可能平行了，A不符合题意．
当直线a与平面α平行时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：异面、平行，此时就不可能相交了，B不符合题意．
当直线a在平面α内时，平面α内的任意一条直线与直线a的关系只有两种：平行、相交，此时就不可能异面了，C不符合题意．
不管直线a与平面α的位置关系相交、平行，还是在平面内，都可以在平面α内找到一条直线与直线l垂直，
因为直线在异面与相交时都包括垂直的情况，D符合题意．
故答案为：D．
【分析】 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系对选项逐一判断即可得出答案。
21. （2020高二上·湖州期末）设l为一条直线， α,β 是两个不同的平面，下列命题正确的是（    ）
A. 若 α⊥β,l//α ，则 l⊥β                                  B. 若 l//α ， l//β ，则 α//β
C. 若 l⊥α,l⊥β ，则 α//β                                  D. 若 l⊥α,l//β ，则 α//β
【答案】 C
【考点】空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系
【解析】对于A， 如下图正方体中， α⊥β,l//α ， l//β ，不一定 l⊥β ，错误；

对于B，如下图正方体中，若 l//α ， l//β ， α⊥β ，不一定 α//β ，错误；

对于C， 若 l⊥α,l⊥β ，由线面垂直的性质判断 α//β ，正确；
对于D， 如下图正方体中，若 l⊥α,l//β ， α⊥β ，不一定 α//β ，错误.

故答案为：C.
【分析】 根据题意选项A中，l与β相交、平行或l⊂β；选项B中，α与β相交或平行；选项C中，α与β相交或平行；选项D中，由面面平行的判定定理得α∥β；由此即可得出答案。