数学必修 第二册第十章 概率10.1 随机事件与概率优秀课堂检测

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10.1 随机事件与概率

一、有限样本空间
1. 定义：
样本点：我们把随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点用ω表示样本点
样本空间：全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示样本空间
有限样本空间：如果一个随机试验有n个可能结果ω1，ω2，…，ωn，则称样本空间Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}为有限样本空间
Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}
二、随机事件
随机事件
我们将样本空间Ω的子集称为随机事件，简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件，随机事件一般用大写字母A，B，C，…表示．在每次试验中，当且仅当A中某个样本点出现时，称为事件A发生
必然事件
Ω作为自身的子集，包含了所有的样本点，在每次试验中总有一个样本点发生，所以Ω总会发生，我们称Ω为必然事件
不可能事件
空集∅不包含任何样本点，在每次试验中都不会发生．我们称∅为不可能事件

三、随机事件的含义
解答此类题目，应先理解事件中样本点的意义，再观察事件中样本点的规律，才能确定随机事件的含义．
四、事件的关系
一般地，若事件A发生，则事件B一定发生，称事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B⊇A(或A⊆B)
相等关系：如果事件B包含事件A，事件A也包含事件B，即B⊇A且A⊇B，则称事件A与事件B相等A＝B
五、事件的运算
并事件(或和事件)：一般地，事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中，我们称这个事件为事件A与事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)
交事件(或积事件)：一般地，事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中，我们称这样的一个事件为事件A与事件B的交事件(或积事件)A∩B(或AB)
六、互斥事件与对立事件
1．互斥事件
定义
一般地，如果事件A与事件B不能同时发生，也就是说A∩B是一个不可能事件，即A∩B＝∅，则称事件A与事件B互斥(或互不相容)
含义
A与B不能同时发生
符号表示
A∩B＝∅
图形表示


2.对立事件
定义
一般地，如果事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生，即A∪B＝Ω，且A∩B＝∅，那么称事件A与事件B互为对立事件，事件A的对立事件记为
含义
A与B有且仅有一个发生
符号表示
A∩B＝∅，A∪B＝Ω
图形表示

辨析互斥事件与对立事件的思路
(1)从发生的角度看
①在一次试验中，两个互斥事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能同时发生．
②两个对立事件必有一个发生，但不可能同时发生，即两事件对立，必定互斥，但两事件互斥，未必对立．对立事件是互斥事件的一个特例．
(2)从事件个数的角度看
互斥的概念适用于两个或多个事件，但对立的概念只适用于两个事件．
七、古典概型的定义
一般地，若试验E具有以下特征：
(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；
(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．
称试验E为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型．
八、古典概型概率的计算
一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝＝.
九、较复杂的古典概型的概率计算
在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体样本点用平面直角坐标系中的点表示，即采用图表的形式可以准确地找出样本点的个数．故采用数形结合法求概率可以使解决问题的过程变得形象、直观，更方便．
十、列举法解决古典概型问题
解题时要注意是“有放回抽取”还是“无放回抽取”，若是“有放回抽取”，则在每次抽取之前，产品种类及个数都不发生变化，因此某件新产品被抽到的概率也不变；若是“无放回抽取”(假设每次抽取的结果都可知)，则在每次抽取之前，所剩产品种类及个数都在发生变化，因此某件产品被抽到的概率也在不断变化．
十、 概率与统计相结合
概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出信息，只需要能够从题中提炼出需要的信息，则此类问题即可解决，解决此类题目的步骤主要有：
第一步：根据题目要求求出数据(有的用到分层随机抽样、有的用到频率分布直方图等知识)；
第二步：列出样本空间，计算样本空间包含的样本点个数；
第三步：找出所求事件包含的样本点个数；
第四步：根据古典概型概率计算公式求解；
第五步：明确规范地表述结论．
十二 概率的综合应用
应用古典概型的概率公式求事件的概率时，首先应判断本试验是不是古典概型，然后再正确地找出试验的样本空间包含的样本点个数及事件A包含的样本点个数，最后代入公式求出概率．
十三、概率的基本性质
性质1　对任意的事件A，都有P(A)≥0.
性质2　必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1，P(∅)＝0.
性质3　如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性质4　如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．
性质5　如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)．
性质6　设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
十四、对立事件概率公式的应用
对立事件也是比较重要的事件，利用对立事件的概率公式求解时，必须准确判断两个事件确实是对立事件时才能应用．




考点一 有限样本空间与随机事件
【例1】(2021·全国高一)给出下列四个命题：
①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件；
②“当x为某一实数时，可使x2≤0”是不可能事件；
③“明天天津市要下雨”是必然事件；
④“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”是随机事件．
其中正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3

【练1】(2020·全国高一课时练习)下列事件是必然事件的是( )
A．连续两次掷一枚硬币，两次都出现正面向上
B．异性电荷相互吸引
C．在标准大气压下，水在1℃时结冰
D．任意掷一枚骰子朝上的点数是偶数

考点二 事件的关系与运算
【例2】(2020·全国高一课时练习)盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球.设事件“1个红球和2个白球”，事件“2个红球和1个白球”，事件“至少有1个红球”，事件“既有红球又有白球”，则：
(1)事件与事件是什么关系？
(2)事件与事件的交事件与事件是什么关系？

【练2】(2020·全国高一课时练习)在试验“连续抛掷一枚硬币3次，观察落地后正面、反面出现的情况”中，设事件A表示随机事件“第一次出现正面”，事件B表示随机事件“3次出现同一面”，事件C表示随机事件“至少1次出现正面”.
(1)试用样本点表示事件，，，；
(2)试用样本点表示事件，，，；
(3)试判断事件A与B，A与C，B与C是否为互斥事件.

考点三 互斥与对立
【例3】(多选)(2020·全国高一课时练习)袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是( )
A．至少有一个白球与都是白球
B．恰有一个红球与白、黑球各一个
C．至少一个白球与至多有一个红球
D．至少有一个红球与两个白球

【练3】(2020·全国高一课时练习)袋内分别有红､白､黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是( )
A．至少有一个白球；都是白球 B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球 D．至少有一个白球；红､黑球各一个

考点四 古典概型
【例4】(2020·全国高一课时练习)在一次语文考试的阅卷过程中，两位老师对一篇作文打出的分数都是两位的正整数，且十位数字都是，则两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于的概率为( )
A． B． C． D．

【练4】(2020·全国高一课时练习)某袋中有编号为1，2，3， 4，5，6的6个小球(小球除编号外完全相同)，甲先从袋中摸出一个球，记下编号后放回，乙再从袋中摸出一个球，记下编号，则甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是( )
A． B． C． D．

考点五 概率的基本性质
【例5】(2020·全国高一课时练习)老师讲一道数学题，李峰能听懂的概率是0.8，是指( )
A．老师每讲一题，该题有80%的部分能听懂，20%的部分听不懂
B．老师在讲的10道题中，李峰能听懂8道
C．李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%
D．以上解释都不对

【练5】(2020·吴起高级中学)气象台预报“本市明天降雨概率是70%”，下列说法正确的是( )
A．本市明天将有70%的地区降雨 B．本市有天将有70%的时间降雨
C．明天出行不带雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不带雨具肯定要淋雨





课后练习

1. （2021·顺德模拟）射击运动中，一次射击最多能得10环，下图统计了某射击运动员50次射击命中环数不少于8环的频数，用频率估计概率，则该运动员在3次独立的射击中，总环数不少于28环的概率是（    ）

A. 1932                                      B. 12                                      C. 38125                                      D. 32125

2. （2021·千阳模拟）在古装电视剧《知否》中，甲、乙两人进行一种投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜．假设甲投中“有初”的概率为 13 ，投中“贯耳”的概率为 16 ，投中“散射”的概率为 19 ，投中“双耳”的概率为 112 ，投中“依竿”的概率为 136 ，乙的投掷水平与甲相同，且甲、乙投掷相互独立．比赛第一场，两人平局；第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（    ）
A. 85432                                      B. 527                                      C. 19                                      D. 83432

3. （2021高一下·南开期末）某校在“创新素质实践行”活动中组织学生进行社会调查，并对学生的调查报告进行了评比，下面是将某年级60篇学生调查报告进行整理，分成5组画出的频率分布直方图（如图）．已知从左至右4个小组的频率分别为0.05，0.15，0.35，0.30，那么在这次评比中被评为优秀的调查报告有（分数大于或等于80分为优秀且分数为整数）（    ）．

A.18篇
B.24篇
C.25篇
D.27篇

4. （2021高二下·哈尔滨月考）下列叙述错误的是（    ）
A. 互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件
B. 甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率为 12 ，甲获胜的概率是 13 ，则甲不输的概率为 56
C. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件
D. 在5件产品中，有3件一等品和2件二等品，从中任取2件，那么事件“至多一件一等品”的概率为 710

5. （2021·深圳模拟）某工厂有四条流水线生产同一种产品，这四条流水线的产量分别占总产量的0.20，0.25，0.3，0.25这四条流水线的合格率依次为0.95，0.96，0.97，0.98，现在从出厂产品中任取一件，则恰好抽到不合格的概率是      .

6. （2021高二下·朝阳期末）为了唤起全民对睡眠重要性的认识，国际精神卫生组织于2001年发起了一项全球性的活动——将每年的3月54日定为“世界睡眠日”.现从某中学初一至高三学生中随机抽取部分学生进行睡眠质量调查，采用睡眠质量指数量表统计结果如下：
性别
人数
睡眠质量好
睡眠质量一般
睡眠质量差
男
220
99
90
31
女
250
50
120
80
合计
470
149
210
111
假设所有学生睡眠质量的程度是相互独立的.以调查结果的频率估计概率，现从该中学男生和女生各随机抽取1人，二人中恰有一人睡眠质量好的概率是      .

7. （2020高二上·赣县期末）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 12 ，甲获胜的概率是 15 ，则乙获胜的概率是________．

8. （2021高二下·西青期末）某一大型购物广场有“喜茶”和"沪上阿姨”两家奶茶店，某人第一天随机地选择一家奶茶店购买奶茶，如果第一天去“喜茶”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.7；如果第一天去"沪上阿姨”店，那么第二天去“喜茶”店的概率为0.6．则某人第二天去“喜茶”店购买奶茶的概率       ．

9. （2021高一下·深圳期末）甲、乙、丙三名射击运动员中靶概率分别为0.8、0.9、0.7，每人各射击一次，三人中靶与否互不影响，则三人中至少有一人中靶的概率为      

10. （2021高二下·开封期末）某蔬菜批发商分别在甲、乙两市场销售某种蔬菜（两个市场的销售互不影响），已知该蔬菜每售出1吨获利500元，未售出的蔬菜低价处理，每吨亏损100元．现统计该蔬菜在甲、乙两市场以往100个销售周期的市场需求量，制成如下频数分布条形图．

以市场需求量的频率代替需求量的概率．设批发商在下个销售周期购进 n 吨该蔬菜，在甲、乙两市场同时销售，以 X （单位：吨）表示下个销售周期两市场的总需求量， T （单位：元）表示下个销售周期两市场的销售总利润．
（1）当 n=19 时，求 T 与 X 的函数解析式，并估计销售利润不少于8900元的概率；
（2）以销售利润的期望作为决策的依据，判断 n=17 与 n=18 应选用哪一个．

11. （2021·海淀期中）每年的4月23日是联合国教科文组织确定的“世界读书日”，又称“世界图书和版权日”.为了解某地区高一学生阅读时间的分配情况，从该地区随机抽取了500名高一学生进行在线调查，得到了这500名学生的日平均阅读时间(单位：小时)，并将样本数据分成 [0,2] ， (2,4] ， (4,6] ， (6,8] ， (8,10] ， (10,12] ， (12,14] ， (14,16] ， (16,18] 九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.

（1）求 a 的值；
（2）为进一步了解这500名学生数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配情况，从日平均阅读时间在 (12,14] ， (14,16] ， (16,18] 三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了10人，现从这10人中随机抽取3人.记日平均阅读时间在 (14,16] 内的学生人数为 X ，求 X 的分布列；
（3）以调查结果的频率估计概率，从该地区所有高一学生中随机抽取20名学生，用“ P20(k) ”表示这20名学生中恰有 k 名学生日平均阅读时间在 (10,12] (单位：小时)内的概率，其中 k=0,1,2,⋅⋅⋅,20 .当 P20(k) 最大时，写出 k 的值.(只需写出结论)

12. （2021高一下·龙岩期末）甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，已知甲每轮猜对的概率为 p, 乙每轮猜对的概率为 q ．在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响．已知每轮甲、乙同时猜错的概率为 112 ，恰有一人猜错的概率为 512 .
（1）求 p 和 q ；
（2）若 p>q ，求“星队”在两轮活动中猜对 2 个成语的概率．

13. （2021·南平模拟）某地区位于甲､乙两条河流的交汇处，夏季多雨，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.2（假设两河流发生洪水与否互不影响），今年夏季该地区某工地有许多大型设备，为保护设备，有以下3种方案：方案一：不采取措施，当一条河流发生洪水时，设备将受损，损失30000元.当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失60000元.方案二：修建保护围墙，建设费为4000元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失60000元.方案三：修建保护大坝，建设费为9000元，能够抵御住两河流同时发生洪水.
（1）求今年甲､乙两河流至少有一条发生洪水的概率；
（2）从花费的角度考虑，试比较哪一种方案更好，说明理由.











精讲答案

【例1】
【答案】C
【解析】对于①，三个球全部放入两个盒子，有两种情况：1+2和3+0，故必有一个盒子有一个以上的球，所以该事件是必然事件，①正确；
对于②，x=0时x2=0，所以该事件不是不可能事件，②错误；
对于③，“明天天津市要下雨”是偶然事件，所以该事件是随机事件，③错误；
对于④，“从100个灯泡(含有10个次品)中取出5个，5个全是次品”，发生与否是随机的，所以该事件是随机事件，④正确．故正确命题有2个.故选：C．
【练1】
【答案】B
【解析】四个选项都是随机事件，根据定义只有B选项是一定会发生的，是必然事件.故选：B.
【例2】
【答案】(1).(2)事件与事件的交事件与事件相等.
【解析】(1)对于事件,可能的结果为1个红球和2个白球或2个红球和1个白球,故.
(2)对于事件,可能的结果为1个红球和2个白球,2个红球和1个白球或3个红球,故,所以事件与事件的交事件与事件相等.
【练2】
【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)A与B不互斥，A与C不互斥，B与C不互斥
【解析】用H代表“出现正面”,用T代表“出现反面”.
,
,,
.
(1),,
,
.
(2),,
,.
(3),,
,∴A与B不互斥,A与C不互斥,B与C不互斥.
【例3】
【答案】BD
【解析】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，
在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.
在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；
在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；
在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；
故选：BD.
【练3】
【答案】D
【解析】对于A，“至少有一个白球”说明有白球，白球的个数可能为1或2，而“都是白球”说明两个全是白球，这两个事件可以同时发生，故A不是互斥的；
对于B，当两球一个白球一个红球时，“至少有一个白球”与“至少有一个红球”均发生，故不互斥；
对于C，“恰有一个白球”，表示黑球个数为0或1，这与“一个白球一个黑球”不互斥；
对于D，“至少一个白球”发生时，“红､黑球各一个”不会发生，故互斥，但不对立，
故选：D
【例4】
【答案】C
【解析】用表示两位老师的打分，则的所有可能情况有种.
当时，可取，，共种；
当，，，，，，，时，的取值均有种；
当时，可取，，共种；
综上可得两位老师打出的分数之差的绝对值小于或等于的情况有种，
由古典概型的概率公式可得所求概率故选：C.
【练4】
【答案】A
【解析】甲先从袋中摸出一个球，有6种可能的结果，
乙再从袋中摸出一个球，有6种可能的结果
如果按(甲，乙)方法得出总共的结果为：36个
甲、乙两人所摸出球的编号不同的结果为30个
甲、乙两人所摸出球的编号不同的概率是，
故选：A．
【例5】
【答案】C
【解析】概率的意义就是事件发生的可能性大小，即李峰听懂老师所讲这道题的可能性为80%.故选：C
【练5】
【答案】C
【解析】气象台预报“本市明天降雨概率是70%”,则本市明天降雨的可能性比较大.与降水地区面积和降水时间无关,所以A,B错误.
降水概率是事件发生的可能,不是一定会发生的事情,所以D错误.
而由降水概率是70%,可知降水概率较大,所以明天出行不带雨具淋雨的可能性很大,所以C正确.
故选:C.






练习答案

1. 【答案】 C
【考点】频率分布直方图，互斥事件的概率加法公式，n次独立重复试验中恰好发生k次的概率
【解析】解：用频率估计概率，则该运动员每次射击命中10环的概率为 2050=25 ，命中9环的概率为 1050=15 ，命中8环的概率为 1050=15 ，
该运动员在3次独立的射击中，总环数不少于28环包含4种情况：
①三次10环，概率为： P1=(25)3=8125 ；
②二次10环一次9环，概率为 P2=C32(25)2⋅15=12125 ；
③二次10环一次8环，概率为 P3=C32(25)2⋅15=12125 ；
④一次10环二次9环，概率为 P4=C3125⋅(15)2=6125 ；
∴ 该运动员在3次独立的射击中，总环数不少于28环的概率是：
P=P1+P2+P3+P4=8125+12125+12125+6125=38125 ．
故答案为：C．
【分析】 根据题意即可得出：该运动员在3次独立的射击中，总环数不少于28环包含4种情况：①三次10环，②二次10环一次9环，③二次10环一次8环，④一次10环二次9环，由此能求出该运动员在3次独立的射击中，结合概率的加法公式，代入数值计算出结果即可。
2. 【答案】 D
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】解：由题意知，第二场结束时，甲比乙少“两筹”,没有投中得分的概率为1−13−16−19−112−136=518 ，
若甲获胜，则在第三场甲要比乙多“三筹”，
所以在第三场：乙没有投中得分，甲投中“贯耳”或“散射”或“双耳”或“依竿”时，甲才能获胜，获胜的概率为518×16+19+112+136=35324 ，
乙投中“有初”，甲投中“散射”或“双耳”或“依竿"时，甲才能获胜，获胜的概率为13×19+112+136=227 ， ,
乙投中“贯耳”或“散射”或“双耳”，甲投中“依竿”时，甲才能获胜，获胜的概率为136×16+19+112=131296
三场比赛结束时，甲获胜的概率为35324+227+131296=83432
故答案为：D
【分析】根据相互独立事件，以及互斥事件的概率直接求解即可.
3. 【答案】 D
【考点】频率分布直方图，概率的基本性质
【解析】根据频率分布直方图，得出分数大于80分的频率为1-(0.05+0.15+0.35)=0.45，
所以被评为优秀的调查报告有60×0.45=27篇。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再结合频率之和等于1，从而求出分数大于80分的频率，再利用频数等于频率乘以样本容量的公式，从而求出被评为优秀的调查报告的篇数。
4. 【答案】 C
【考点】互斥事件与对立事件，互斥事件的概率加法公式
【解析】对于A选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生，对立事件是必有一个发生的互斥事件，A正确，不符合题意；
对于B选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥，则甲不输的概率为 12+13＝56 ，B正确，不符合题意；
对于C选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，C错误，符合题意；
对于D选项：5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能，其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件，从而所求概率为 1−310=710 ，D正确，不符合题意.
故答案为：C
【分析】根据题意由互斥事件和对立事件的定义即可判断出选项A正确；由互斥事件的概率公式计算出结果由此判断出选项B正确；由互斥事件的定义即可判断出选项C错误；由对立事件的概率定义即可判断出乘除D正确，由此得出答案。
5. 【答案】 0.034
【考点】互斥事件的概率加法公式
【解析】解：根据互斥事件的概率得，所求概率为
0.20×(1-0.95)+0.25×(1-0.96)+0.3×(1-0.97)+0.25×(1-0.98)=0.034
故答案为：0.034
【分析】根据互斥事件的概率公式直接求解即可.
6. 【答案】 0.47
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】从该中学男生中随机抽取1人，这个人睡眠质量好的概率为 99220=920 ，
从该中学女生中随机抽取1人，这个人睡眠质量好的概率为 50250=15 ，
因此，该中学男生和女生各随机抽取1人，二人中恰有一人睡眠质量好的概率是 P=920×45+1120×15=0.47 .
故答案为：0.47.
【分析】根据相互独立的概率公式求解，即可得出答案。
7. 【答案】 310
【考点】互斥事件与对立事件
【解析】因为事件“乙获胜”与事件“两人下和棋或甲获胜”互为对立事件，所以乙获胜的概率 1−15−12=310 ．
故答案为： 310
【分析】根据乙获胜与两人下和棋或甲获对立，可得乙获胜概率等于1减去两个人合棋的概率，再减去甲获胜的概率。
8. 【答案】 0.65
【考点】互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】某人第二天去“喜茶”店购买奶茶有两种情况：
第一种情况：第一天选择去“喜茶”店，第二天选择去“喜茶”，其概率为： 12×0.7=0.35 ；
第二种情况：第一天选择去“沪上阿姨”店，第二天选择去“喜茶”，其概率为： 12×0.6=0.3 ；
所以某人第二天去“喜茶”店购买奶茶的概率为 0.35+0.3=0.65 ，
故答案为：0.65.
【分析】由概率公式结合已知条件代入数值计算出结果即可。
9. 【答案】 0.994
【考点】互斥事件与对立事件，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】解：由题意得，甲乙丙三人都不中靶的概率为(1-0.8)(1-0.9)(1-0.7)=0.006，
则甲乙丙三人中至少有一人中靶的概率为P=1-0.006=0.994
故答案为：0.994
【分析】根据独立事件与对立事件的概率求法直接求解即可
10. 【答案】 （1）由题意得，当 X≥19 ， T=500×19=9500 ，
当 X<19 ， T=500×X−(19−X)×100=600X−1900 ，
所以 T={9500,X≥19600X−1900,X<19
由题意得，一个销售周期内甲市场需求量为8，9，10的概率分别为0.3，0.4，0.3，乙市场需求量为8，9，10的概率分别为0.2，0.5，0.3，
记销售的利润不少于8900元的事件为 A ，
当 X≥19 ， T=500×19=9500>8900 ，
当 X<19 ， 600X−1900≥8900 ，解得 X≥18 ，
所以 P(A)=P(X≥18) ，
由题意得， P(X=16)=0.3×0.2=0.06 ， P(X=17)=0.3×0.5+0.4×0.2=0.23 ，
所以 P(A)=P(X≥18)=1−0.06−0.23=0.71 ．
（2）因为 P(X=16)=0.06 ， P(X=17)=0.23 ，可得
①当 n=17 时，
E(T)=(500×16−1×100)×0.06+500×17×0.94=8464
②当 n=18 时，
E(T)=(500×16−2×100)×0.06+(500×17−1×100)×0.23+18×500×0.71=8790
因为 8464<8790 ，所以应选 n=18 ．
【考点】频率分布直方图，互斥事件的概率加法公式，相互独立事件的概率乘法公式，离散型随机变量的期望与方差
【解析】 (2)首先分2段求出T与X的函数关系式，再利用函数的解析式求得概率；
(2)计算两个期望比较大小，由此即可得出结论。
11. 【答案】 （1）解：由概率和为1得： 2×0.02+2×0.03+2×0.05+2×0.05+2×0.15+2×a+2×0.05 +2×0.04+2×0.01=1 ，
解得： a=0.1 .
（2）解：由分层抽样性质知，从阅读时间在 (12,14] 中抽取5人，从阅读时间在 (14,16] 中抽取4人，从阅读时间在 (16,18] 中抽取1人，
从该10人中抽取3人，则 X 的可能取值为0,1,2,3，
P(X=0)=C63C103=16 ， P(X=1)=C62C41C103=12 ，
P(X=2)=C61C42C103=310 ， P(X=3)=C43C103=130 ，
则 X 的分布列为
X
0
1
2
3
P
16
12
310
130
（3）解：学生日平均阅读时间在 (10,12] 的概率 P=0.1×2=0.2 ，则 P20(k)=C20k(0.2)k(0.8)20−k ，
当 k=4 时， P20(k) 最大.
【考点】概率的基本性质，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】(1)根据题意由概率的性质即可求出a的值。
(2)根据题意由分层抽样的定义即可求出X的取值，结合概率公式计算出结果由此得到X的分布列即可。
(3)根据题意由题意求出P的值，再把数值代入到函数P20(k)计算出结果即可。
12. 【答案】 （1）解：设M表示事件“每轮甲、乙同时猜错”；N表示事件“恰有一人猜错”，
P(M)=（1−p)(1−q)=112 ，
P(N)=(1−p)q+p(1−q)=512 ，
∴p=23,q=34 或 p=34,q=23 ；
（2）∵p>q, 由（1）可知 p=34,q=23 ，
设 Ai 表示事件“甲在两轮中猜对 i 个成语”，
Bi 表示事件“乙在两轮中猜对 i 个成语”， (i=0,1,2) ，
X 表示“星队”在两轮活动中猜对成语的个数”，
由于两轮猜的结果相互独立，
所以 P(X=2)=P（A0B2）+P（A1B1）+P（A2B0）
=4144+24144+9144=37144 ，
所以“星队”在两轮活动中猜对2个成语的概率为 37144 .
【考点】概率的基本性质，相互独立事件的概率乘法公式
【解析】(1)由概率的公式结合概率的性质计算出结果即可。
(2)根据题意即可得出p=34,q=23 ， 设出事件由已知条件即可得出X的取值，结合独立事件的概率公式计算出结果即可。
13. 【答案】 （1）解：由题意，甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.2，
则甲､乙两条河流均不发生洪水的概率为 (1−0.25)(1−0.2)=0.6 ，
所以今年甲､乙两河流至少有一条发生洪水的概率为 1−0.6=0.4
（2）解：设损失费为 X .
方案一： X 的可能取化为30000，60000，0.
P(X=30000)=0.25×0.8+0.75×0.2=0.35 ，
P(X=60000)=0.25×0.2=0.05 ，
P(X=0)=(1−0.25)(1−0.2)=0.6 ，
所以 E(X)=30000×0.35+60000×0.05+0×0.6=13500 元；
方案二：建围墙，需要花费4000元，但围墙只能抵御一条河流发生的洪水，
当两河流同时发生洪水时，设备将受损，损失60000元，
两条河流都发生洪水的概率 P=0.25×0.2=0.05 ，
所以该方案中 E(X)=4000+60000×0.05=7000 元；
方案三：修建保护大坝，建设费为9000元，设备不会受损，方案中的花费为9000元，
因为方案二中损失费用的期望即平均费用最少，所以方案二最好.
【考点】互斥事件与对立事件，离散型随机变量及其分布列，离散型随机变量的期望与方差
【解析】 (1)根据题意先计算出甲、乙两条河流均不发生洪水的概率，再利用对立事件的概率公式即可求解；
(2)由已知条件即可设损失费为X，分别求出三种方案中的E(X)，E(X)最小值，比较之后即可得出哪个方案最好，从而得出答案。