专题05 扇形面积的计算

这是一份专题05 扇形面积的计算，文件包含专题05扇形面积的计算解析版docx、专题05扇形面积的计算原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共29页， 欢迎下载使用。
专题05 扇形面积的计算一．选择题1．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，分别以点A、C为圆心，AD、CB为半径画弧，交AB于点E，交CD于点F，则图中阴影部分的面积是（　　）A．4﹣2π B．8﹣ C．8﹣2π D．8﹣4π解：∵矩形ABCD，∴AD＝CB＝2，∴S阴影＝S矩形﹣S半圆＝2×4﹣π×22＝8﹣2π，故选：C．2．如图所示，⊙O是以坐标原点O为圆心，4为半径的圆，点P的坐标为（，），弦AB经过点P，则图中阴影部分面积的最小值等于（　　）A．2π﹣4 B．4π﹣8 C． D．解：由题意当OP⊥AB时，阴影部分的面积最小，∵P（，），∴OP＝2，∵OA＝OB＝4，∴PA＝PB＝2，∴tan∠AOP＝tan∠BOP＝，∴∠AOP＝∠BOP＝60°，∴∠AOB＝120°，∴S阴＝S扇形OAB﹣S△AOB＝﹣•4•2＝，故选：D．3．如图，点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，AC＝2，则图中阴影部分的面积是（　　）A． B．﹣2 C． D．﹣解：连接OC，∵点C是以AB为直径的半圆O的三等分点，∴∠ACB＝90°，∠AOC＝60°，∠COB＝120°，∴∠ABC＝30°，∵AC＝2，∴AB＝2AO＝4，BC＝2，∴OC＝OB＝2，∴阴影部分的面积＝S扇形﹣S△OBC＝﹣×2×1＝π﹣，故选：A．4．运用图形变化的方法研究下列问题：如图，AB是⊙O的直径，CD、EF是⊙O的弦，且AB∥CD∥EF，AB＝10，CD＝6，EF＝8．则图中阴影部分的面积是（　　）A．π B．10π C．24+4π D．24+5π解：作直径CG，连接OD、OE、OF、DG．∵CG是圆的直径，∴∠CDG＝90°，则DG＝＝＝8，又∵EF＝8，∴DG＝EF，∴＝，∴S扇形ODG＝S扇形OEF，∵AB∥CD∥EF，∴S△OCD＝S△ACD，S△OEF＝S△AEF，∴S阴影＝S扇形OCD+S扇形OEF＝S扇形OCD+S扇形ODG＝S半圆＝π×52＝π．故选：A．5．如图，在等边△ABC中，AB＝2，以点A为圆心，AB为半径画，使得∠BAD＝105°，过点C作CE⊥AD，则图中阴影部分的面积为（　　）A．π﹣2 B．π﹣1 C．2π﹣2 D．2π+1解：∵等边△ABC中，∠BAD＝105°，∴∠CAE＝105°﹣60°＝45°，∵CE⊥AD，AC＝AB＝2，∴AE＝CE＝2，∴S△ACE＝2，S扇形ACD＝＝π，∴阴影部分的面积为S扇形ACD﹣S△ACE＝π﹣2，故选：A．6．如图，⊙O的直径AB＝2，C是弧AB的中点，AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，以E为圆心，AE为半径作扇形EAB，π取3，则阴影部分的面积为（　　）A．﹣4 B．7﹣4 C．6﹣ D．解：∵⊙O的直径AB＝2，∴∠C＝90°，∵C是弧AB的中点，∴，∴AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA＝45°，∵AE，BE分别平分∠BAC和∠ABC，∴∠EAB＝∠EBA＝22.5°，∴∠AEB＝180°﹣（∠BAC+∠CBA）＝135°，连接EO，∵∠EAB＝∠EBA，∴EA＝EB，∵OA＝OB，∴EO⊥AB，∴EO为Rt△ABC内切圆半径，∴S△ABC＝（AB+AC+BC）•EO＝AC•BC，∴EO＝﹣1，∴AE2＝AO2+EO2＝12+（﹣1）2＝4﹣2，∴扇形EAB的面积＝＝（2﹣），△ABE的面积＝AB•EO＝﹣1，∴弓形AB的面积＝扇形EAB的面积﹣△ABE的面积＝，∴阴影部分的面积＝⊙O的面积﹣弓形AB的面积＝﹣（﹣）＝﹣4，故选：A．7．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，点C为OA的中点，CE⊥OA交弧AB于点E，以点O为圆心，OC的长为半径作弧CD交OB于点D，若OA＝2，则阴影部分的面积为（　　）A． B． C．+ D．解：连接OE、AE，∵点C为OA的中点，∴∠CEO＝30°，∠EOC＝60°，∴△AEO为等边三角形，∴S扇形AOE＝＝π，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S扇形COD﹣（S扇形AOE﹣S△COE）＝﹣﹣（π﹣×1×）＝π﹣π+＝+．故选：C．8．如图，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，＝，点D在OB上，点E在OB的延长线上，当正方形CDEF的边长为2时，则阴影部分的面积为（　　）A．2π﹣4 B．4π﹣8 C．2π﹣8 D．4π﹣4解：连接OC，如图所示：∵在扇形AOB中∠AOB＝90°，＝，∴∠COD＝45°，∴OD＝CD，∴OC＝＝4，∴阴影部分的面积＝扇形BOC的面积﹣△ODC的面积＝﹣×（2）2＝2π﹣4．故选：A．9．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，分别以AC的长为半径作圆，将Rt△ABC截去两个扇形，则余下阴影部分的面积为（　　）cm2．A．π B．24﹣π C．24﹣π D．24﹣π解：∵Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，∴AC＝＝10cm，△ABC的面积是：AB•BC＝×8×6＝24cm2．∴S阴影部分＝×6×8﹣cm2故阴影部分的面积是：24﹣πcm2．故选：D．10．如图，在△ABC中，CA＝CB，∠ACB＝90°，AB＝2，点D为AB的中点，以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF，点C恰在弧EF上，则图中阴影部分的面积为（　　）A． B． C． D．解：连接CD，作DM⊥BC，DN⊥AC．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴DC＝AB＝1，四边形DMCN是正方形，DM＝．则扇形FDE的面积是：＝．∵CA＝CB，∠ACB＝90°，点D为AB的中点，∴CD平分∠BCA，又∵DM⊥BC，DN⊥AC，∴DM＝DN，∵∠GDH＝∠MDN＝90°，∴∠GDM＝∠HDN，则在△DMG和△DNH中，，∴△DMG≌△DNH（ASA），∴S四边形DGCH＝S四边形DMCN＝．则阴影部分的面积是：﹣．故选：D．二．填空题11．如图，正方形ABCD中，AB＝2，将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，连接EF，则图中阴影部分的面积是　   　．解：过F作FM⊥BE于M，则∠FME＝∠FMB＝90°，∵四边形ABCD是正方形，AB＝2，∴∠DCB＝90°，DC＝BC＝AB＝2，∠DBC＝45°，由勾股定理得：BD＝2，∵将线段CD绕点C顺时针旋转90°得到线段CE，线段BD绕点B顺时针旋转90°得到线段BF，∴∠DCE＝90°，BF＝BD＝2，∠FBE＝90°﹣45°＝45°，∴BM＝FM＝2，ME＝2，∴阴影部分的面积S＝S△BCD+S△BFE+S扇形DCE﹣S扇形DBF＝++﹣＝6﹣π，故答案为：6﹣π．12．如图，⊙O的半径是4，圆周角∠C＝60°，点E时直径AB延长线上一点，且∠DEB＝30°，则图中阴影部分的面积为　   　．解：连接OD，∵∠C＝60°，∴∠AOD＝2∠C＝120°，∴∠DOB＝60°，∵∠DEB＝30°，∴∠ODE＝90°，∵OD＝4，∴OE＝2OD＝8，DE＝OD＝4，∴阴影部分的面积是S＝S△ODE﹣S扇形DOB＝﹣＝8﹣，故答案为：8﹣．13．如图，Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，将Rt△ABC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到Rt△A′B′C，则边AB扫过的面积（图中阴影部分）是　   　．解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝10，∴边AB扫过的面积＝﹣＝9π，故答案为：9π．14．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，将Rt△AOB绕点O顺时针旋转90°后得Rt△FOE，将线段EF绕点E逆时针旋转90°后得线段ED，分别以O，E为圆心，OA、ED长为半径画弧AF和弧DF，连接AD，则图中阴影部分面积是　   　．解：作DH⊥AE于H，∵∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，∴AB＝＝，由旋转的性质可知，OE＝OB＝2，DE＝EF＝AB＝，△DHE≌△BOA，∴DH＝OB＝2，阴影部分面积＝△ADE的面积+△EOF的面积+扇形AOF的面积﹣扇形DEF的面积＝×5×2+×2×3+﹣＝8﹣π，故答案为：8﹣π．15．如图，在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，以点D为圆心，菱形的高DF为半径画弧，交AD于点E，交CD于点G，则图中阴影部分的面积是　   　．解：∵四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，∴AD＝AB＝6，∠ADC＝180°﹣60°＝120°，∵DF是菱形的高，∴DF⊥AB，∴DF＝AD•sin60°＝6×＝3，∴图中阴影部分的面积＝菱形ABCD的面积﹣扇形DEFG的面积＝6×3﹣＝18﹣9π．故答案为：18﹣9π．16．如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，扇形AEF的半径为2，圆心角为60°，则阴影部分的面积是　   　．解：∵四边形ABCD是菱形，∴∠B＝∠D＝60°，AB＝AD＝DC＝BC＝2，∴∠BCD＝∠DAB＝120°，∴∠1＝∠2＝60°，∴△ABC、△ADC都是等边三角形，∴AC＝AD＝2，∵AB＝2，∴△ADC的高为，AC＝2，∵扇形BEF的半径为1，圆心角为60°，∴∠4+∠5＝60°，∠3+∠5＝60°，∴∠3＝∠4，设AF、DC相交于HG，设BC、AE相交于点G，在△ADH和△ACG中，，∴△ADH≌△ACG（ASA），∴四边形AGCH的面积等于△ADC的面积，∴图中阴影部分的面积是：S扇形AEF﹣S△ACD＝﹣×2×＝﹣，故答案为：﹣． 三．解答题17．如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AC是直径，∠A＝30°，BC＝2，点D是AB的中点，连接DO并延长交⊙O于点P，过点P作PF⊥AC于点F．（1）求劣弧PC的长；（结果保留π）（2）求阴影部分的面积．（结果保留π）．解：（1）∵点D是AB的中点，PD经过圆心，∴PD⊥AB，∵∠A＝30°，∴∠POC＝∠AOD＝60°，OA＝2OD，∵PF⊥AC，∴∠OPF＝30°，∴OF＝OP，∵OA＝OC，AD＝BD，∴BC＝2OD，∴OA＝BC＝2，∴⊙O的半径为2，∴劣弧PC的长＝＝＝π；（2）∵OF＝OP，∴OF＝1，∴PF＝＝，∴S阴影＝S扇形﹣S△OPF＝﹣×1×＝π﹣．  18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角边BC为直径的⊙O交斜边AB于点D．点E为边AC的中点，连接DE并延长交BC的延长线于点F．（1）求证：直线DE⊙O的切线；（2）若∠B＝30°，AC＝4，求阴影部分的面积．（1）证明：连接OD、CD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，又∵BC是⊙O的直径，∴∠BDC＝90°，∴△ACD是直角三角形，又∵点E是斜边AC的中点，∴EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC又∵∠ECD+∠OCD＝∠ACB＝90度，∴∠EDC+∠ODC＝∠ODE＝90°，∴直线DE是⊙O的切线；（2）解：由（1）已证：∠ODF＝90°，∴∠B＝30°，∴∠DOF＝60°，∴∠F＝30°，在Rt△ABC中，AC＝4，∴BC＝＝＝4，∴，在Rt△ODF中，，∴阴影部分的面积为：＝．     19．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，连接AC，BC．（1）求证：∠A＝∠BCD；（2）若CD＝4，∠B＝60°，求扇形OAC（阴影部分）的面积． （1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴＝，∴∠A＝∠BCD；（2）解：∵OC＝OB，∠B＝60°，∴△BOC为等边三角形，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°，∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝CD＝2，在Rt△COE中，OC＝＝4，∴扇形OAC（阴影部分）的面积＝＝π．   20．如图，已知AB，CD是⊙O的两条直径，AE∥CD交⊙O于点E，连结BE交CD于点F．（1）求证：弧BD＝弧ED；（2）若⊙O的半径为6，AE＝6，求图中阴影部分的面积．（1）证明：∵AB，CD是⊙O的两条直径，∴∠AOC＝∠BOD，∴＝，∵AE∥CD，∴＝，∴＝；（2）解：连接OE，作OH⊥AE于H，则AH＝HE＝AE＝3，cos∠OAH＝＝，∴∠OAH＝30°，∴OH＝OA＝3，∠AOH＝60°，∴∠AOE＝120°，∴图中阴影部分的面积＝﹣×6×3＝12π﹣9．