专题07 圆的切线证明

专题07 圆的切线证明

1．如图，等边△ABC内接于⊙O，P是上任意一点（不与点A、B重合），连AP、BP，过点C作CM∥BP交PA的延长线于点M．

（1）求∠APC和∠BPC的度数试；

（2）探究PA、PB、PM之间的关系；

（3）若PA＝1，PB＝2，求四边形PBCM的面积．

2．如图所示，线段AC是⊙O的直径，过A点作直线BF交⊙O于A、B两点，过A点作∠FAC的角平分线交⊙O于D，过D作AF的垂线交AF于E．

（1）证明DE是⊙O的切线；

（2）证明AD2＝2AE•OA；

（3）若⊙O的直径为10，DE+AE＝4，求AB．

3．如图1，△ABC内接于⊙O，过C作射线CP与BA的延长线交于点P，∠B＝∠ACP．

（1）求证：CP是⊙O的切线；

（2）若PC＝4，PA＝2，求AB的长；

（3）如图2，D是BC的中点，PD与AC交于点E，求证：．

4．定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．如矩形OBCD中，点C为O，B两点的勾股点，已知OD＝4，在DC上取点E，DE＝8．

（1）如果点E是O，B两点的勾股点（点E不在点C），试求OB的长；

（2）如果OB＝12，分别以OB，OD为坐标轴建立如图2的直角坐标系，在x轴上取点F（5，0）．在线段DC上取点P，过点P的直线l∥y轴，交x轴于点Q．设DP＝t．

①当点P在DE之间，以EF为直径的圆与直线l相切，试求t的值；

②当直线l上恰好有2点是E，F两点的勾股点时，试求相应t的取值范围．

5．如图，AB是⊙O的直径，点P是圆上不与点A，B重合的动点，连接AP并延长到点D，使AP＝DP，点C是BD的中点，连接OP，OC，PC

（1）求证：∠A＝∠D；

（2）填空：①若AB＝10cm，当AP＝　   　cm时，四边形AOCP是菱形；

②当四边形OBCP是正方形时，∠DPC＝　   　°．

6．如图①，在矩形ABCD中，BC＝60cm．动点P以6cm/s的速度在矩形ABCD的边上沿A→D的方向匀速运动，动点Q在矩形ABCD的边上沿A→B→C的方向匀速运动．P、Q两点同时出发，当点P到达终点D时，点Q立即停止运动．设运动的时间为t（s），△PDQ的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图②所示．

（1）AB＝　   　cm，点Q的运动速度为　   　cm/s；

（2）在点P、Q出发的同时，点O也从CD的中点出发，以4cm/s的速度沿CD的垂直平分线向左匀速运动，以点O为圆心的⊙O始终与边AD、BC相切，当点P到达终点D时，运动同时停止．

①当点O在QD上时，求t的值；

②当PQ与⊙O有公共点时，求t的取值范围．

7．如图，矩形ABCD中，AB＝2BC，以AB为直径作⊙O．

（1）证明：CD是⊙O的切线；

（2）若BC＝3，连接BD，求阴影部分的面积．（结果保留π）

8．定义：已知点O是三角形的边上的一点（顶点除外），若它到三角形一条边的距离等于它到三角形的一个顶点的距离，则我们把点O叫做该三角形的等距点．

（1）如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，O在斜边AB上，且点O是△ABC的等距点，试求BO的长．

（2）如图2，△ABC中，∠ACB＝90°，点P在边AB上，AP＝2BP，D为AC中点，且∠CPD＝90°．

①求证：△CPD的外接圆圆心是△ABC的等距点；

②求tan∠PDC的值．

9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，G是上一动点，AG，DC的延长线交于点F，连接AC，AD，GC，GD．

（1）求证：∠FGC＝∠AGD；

（2）若AD＝6．

①当AC⊥DG，CG＝2时，求sin∠ADG；

②当四边形ADCG面积最大时，求CF的长．

10．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为H，FG是⊙O的切线，FG∥BD，DF与AB交于点E．

（1）求证：BE＝BD；

（2）若AB＝8，DH＝3，求EH的长．

11．如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是⊙O直径，∠CAM的平分线交⊙O于点D，过点D作DE⊥MN于点E．

（1）求证：DE是⊙O的切线；

（2）若DE＝6cm，AE＝3cm，求⊙O的半径．

12．如图，O为∠MBN角平分线上一点，⊙O与BN相切于点C，连结CO并延长交BM于点A，过点A作AD⊥BO于点D．

（1）求证：AB为⊙O的切线；

（2）若BC＝6，tan∠ABC＝，求AD的长．

13．如图1是一块内置量角器的等腰直角三角板，它是一个轴对称图形．已知量角器所在的半圆O的直径DE与AB之间的距离为1，DE＝4，AB＝8，点N为半圆O上的一个动点，连结AN交半圆或直径DE于点M．

（1）当AN经过圆心O时，求AN的长；

（2）如图2，若N为量角器上表示刻度为90°的点，求△MON的周长；

（3）当时，求△MON的面积．

14．MN是⊙O上的一条不经过圆心的弦，MN＝4，在劣弧MN和优弧MN上分别有点A，B（不与M，N重合），且，连接AM，BM．

（1）如图1，AB是直径，AB交MN于点C，∠ABM＝30°，求∠CMO的度数；

（2）如图2，连接OM，AB，过点O作OD∥AB交MN于点D，求证：∠MOD+2∠DMO＝90°；

（3）如图3，连接AN，BN，试猜想AM•MB+AN•NB的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由．

15．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为⊙O的直径，在△ABC外侧作∠CAD＝∠CAB，过点C作CD⊥AD于点D，交AB延长线于点P．

（1）求证：PC是⊙O的切线；

（2）若tan∠BCP＝，AD•BC＝4m2（m＞0），求⊙O的半径；（用含m的代数式表示）

（3）如图2，在（2）的条件下，作弦CF平分∠ACB，交AB于点E，连接BF，且BF＝5，求线段PE的长．