专题14 全等三角形

专题14 全等三角形

一、选择题

1. 等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm，则它的周长为 (　　)

A.16 cm    B.17 cm    C.20 cm    D.16 cm或20 cm

【答案】C

2. 已知一个多边形的内角和是1080°，则这个多边形是(　　)

A．五边形        B．六边形

C．七边形        D．八边形

【答案】D

3. 如图，小明书上的三角形被墨迹遮挡了一部分，测得其中两个角的度数分别为28°，62°，于是他很快判断出这个三角形是(　　)

A．等边三角形       B．等腰三角形

C．直角三角形       D．钝角三角形

【答案】C

4. 如图，六根木条钉成一个六边形框架ABCDEF，要使框架稳固且不活动，至少还需要添加木条(　　)

A．1根    B．2根    C．3根    D．4根

【答案】C　[解析] 添加3根木条以后成为如右所示图形，其由若干三角形组成，具有稳定性．

5. 如图，点B，F，C，E在一条直线上，AB∥ED，AC∥FD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△DEF的是(　　)

A．AB＝DE       B．AC＝DF

C．∠A＝∠D       D．BF＝EC

【答案】C　[解析] 选项A中添加AB＝DE可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；

选项B中添加AC＝DF可用“AAS”进行判定，故本选项不符合题意；

选项C中添加∠A＝∠D不能判定△ABC≌△DEF，故本选项符合题意；

选项D中添加BF＝EC可得出BC＝EF，然后可用“ASA”进行判定，故本选项不符合题意．

故选C.

6. 如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是(　　)

A．24         B．30     

C．36         D．42

【答案】B　[解析] 过点D作DH⊥AB交BA的延长线于点H.

∵BD平分∠ABC，∠BCD＝90°，

∴DH＝CD＝4.

∴四边形ABCD的面积＝S△ABD＋S△BCD＝AB·DH＋BC·CD＝×6×4＋×9×4＝30.

7. 若三角形的三个内角的度数之比为2∶3∶7，则这个三角形的最大内角是(　　)

A．75°    B．90°    C．105°    D．120°

【答案】C　[解析] ∵一个三角形三个内角的度数之比为2∶3∶7，∴可设这个三角形的三个内角分别为2x，3x，7x.

由题意，得2x＋3x＋7x＝180°，解得x＝15°.

∴7x＝105°.

8. 如图，AB⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为B，E，∠1=∠2，AD=AB，则下列结论正确的是(　　)

A.∠1=∠EFD 　  B.BE=EC  C.BF=CD  D.FD∥BC

【答案】D　[解析] 在△AFD和△AFB中，

∴△AFD≌△AFB.

∴∠ADF=∠ABF.

∵AB⊥BC，BE⊥AC，

∴∠BEC=∠ABC=90°.

∴∠ABF+∠EBC=90°，∠C+∠EBC=90°.

∴∠ADF=∠ABF=∠C.

∴FD∥BC.

9. 如图，已知长方形ABCD，一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形.若这两个多边形的内角和分别为M和N，则M+N不可能是              (　　)

A.360°    B.540°    C.720°    D.630°

【答案】D　[解析] 一条直线将长方形ABCD分割成两个多边形的情况有以下三种:

(1)直线不经过原长方形的顶点，如图①②，此时长方形被分割为一个五边形和一个三角形或两个四边形，

∴M+N=540°+180°=720°或M+N=360°+360°=720°;

(2)直线经过原长方形的一个顶点，如图③，此时长方形被分割为一个四边形和一个三角形，

∴M+N=360°+180°=540°;

(3)直线经过原长方形的两个顶点，如图④，此时长方形被分割为两个三角形，

∴M+N=180°+180°=360°.

10. 如图，平面上到两两相交的三条直线a，b，c的距离相等的点一共有(　　)

A．4个    B．3个    C．2个    D．1个

【答案】A　[解析] 如图，到三条直线a，b，c的距离相等的点一共有4个．

二、填空题

11. 如图，已知DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，∠BAC＝40°，∠ADG＝130°，则∠DGF＝________°.

【答案】150　[解析] ∵DB⊥AE于点B，DC⊥AF于点C，且DB＝DC，

∴AD是∠BAC的平分线．

∵∠BAC＝40°，∴∠CAD＝∠BAC＝20°.

∴∠DGF＝∠CAD＋∠ADG＝20°＋130°＝150°.

12. 已知:∠AOB，求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N;②分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法，这个方法是　　　　. 

【答案】SSS　[解析]由作图可得OM=ON，MC=NC，而OC=OC，

∴根据“SSS”可判定△MOC≌△NOC.

13. 将两块完全相同的三角尺在∠AOB的内部如图摆放，两块三角尺较短的直角边分别与∠AOB的两边重合，且含30°角的顶点恰好也重合于点C，则射线OC即为∠AOB的平分线，理由是______________________．

【答案】角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上

14. 如图，已知AC＝EC，∠ACB＝∠ECD，要直接利用“AAS”判定△ABC≌△EDC，应添加的条件是__________．

【答案】∠B＝∠D

15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，垂足为E.若△DBE的周长为20，则AB＝________．

【答案】20　[解析] 由角平分线的性质可得CD＝DE.易证Rt△ACD≌Rt△AED，则AC＝AE，DE＋DB＝CD＋DB＝BC＝AC＝AE，故DE＋DB＋EB＝AE＋EB＝AB.

16. 如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，FD⊥BC，DE⊥AB，垂足分别为D，E.若∠AFD=158°，则∠EDF=　　　　°.

【答案】68　[解析] ∵∠AFD=158°，

∴∠CFD=180°-∠AFD=180°-158°=22°.

∵FD⊥BC，

∴∠FDC=90°.

∴∠C=180°-∠FDC-∠CFD=180°-90°-22°=68°.

∵∠B=∠C，DE⊥AB，

∴∠EDB=180°-∠B-∠DEB=180°-68°-90°=22°.

∴∠EDF=180°-90°-22°=68°.

17. 如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．

【答案】5或10　[解析] ∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°.∴∠C＝∠PAQ＝90°.

分两种情况：①当AP＝BC＝5时，

在Rt△ABC和Rt△QPA中，

∴Rt△ABC≌Rt△QPA(HL)；

②当AP＝CA＝10时，

在Rt△ABC和Rt△PQA中，

∴Rt△ABC≌Rt△PQA(HL)．

综上所述，当AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等．

18. 如图，P是△ABC外的一点，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，连接PB，PC.若PD＝PE＝PF，∠BAC＝64°，则∠BPC的度数为________．

【答案】32°　[解析] ∵PD＝PE＝PF，PD⊥AB交BA的延长线于点D，PE⊥AC于点E，PF⊥BC交BC的延长线于点F，

∴CP平分∠ACF，BP平分∠ABC.

∴∠PCF＝∠ACF，∠PBF＝∠ABC.

∴∠BPC＝∠PCF－∠PBF＝(∠ACF－∠ABC)＝∠BAC＝32°.

三、解答题

19. 如图，D是BC上一点，△ABC≌△ADE，AB=AD.

求证:∠CDE=∠BAD.

【答案】

证明:∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠ADE.

由三角形的外角性质，得∠ADC=∠B+∠BAD.

又∵∠ADC=∠ADE+∠CDE，

∴∠CDE=∠BAD.

20. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F.

(1)求证:△BDE≌△CDF;

(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.

【答案】

解:(1)证明:∵CF∥AB，

∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.

∵AD是BC边上的中线，

∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.

(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，

∴AB=AE+BE=1+2=3.

∵AD⊥BC，BD=CD，  ∴AC=AB=3.

21. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，BE⊥AC于点E.

求证：∠CBE＝∠BAD.

【答案】

证明：∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C，

∵AD是BC边上的中线，

∴AD⊥BC，

∴∠BAD＋∠ABC＝90°，(3分)

∵BE⊥AC,

∴∠CBE＋∠C＝90°，

∴∠CBE＝∠BAD.(5分)

22. 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠ABC＝90°，AB＝BC，E是AB的中点，CE⊥BD，连接AC交DE于点M.

(1)求证：AD＝BE；

(2)求证：AC是线段ED的垂直平分线；

(3)△DBC是等腰三角形吗？说明理由．

【答案】

解：(1)证明：∵∠ABC＝90°，

∴∠ABD＋∠DBC＝90°.

∵CE⊥BD，

∴∠BCE＋∠DBC＝90°.

∴∠ABD＝∠BCE.

在△DAB和△EBC中，

∴△DAB≌△EBC(ASA)．

∴AD＝BE.

(2)证明：∵E是AB的中点，∴AE＝BE.

∵BE＝AD，

∴AE＝AD.

∴点A在线段ED的垂直平分线上．

∵AB＝BC，∠ABC＝90°，

∴∠BAC＝∠BCA＝45°.

∵∠BAD＝90°，

∴∠BAC＝∠DAC＝45°.

在△EAC和△DAC中，

∴△EAC≌△DAC(SAS)．

∴CE＝CD.

∴点C在线段ED的垂直平分线上．

∴AC是线段ED的垂直平分线．

(3)△DBC是等腰三角形．

理由：由(1)知△DAB≌△EBC，∴BD＝CE.

由(2)知CE＝CD.

∴BD＝CD.

∴△DBC是等腰三角形．

23. 在△ABC中，∠B＝55°，且3∠A＝∠B＋∠C，求∠A和∠C的度数.

【答案】

解：∵在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°，3∠A＝∠B＋∠C，

∴4∠A＝180°，

解得∠A＝45°.

∵∠B＝55°，∴∠C＝180°－45°－55°＝80°.

24. 如图，BE，CF都是△ABC的高，在BE上截取BD＝AC，在射线CF上截取CG＝AB，连接AG，AD.

求证：(1)△BAD≌△CGA；

(2)AD⊥AG.

【答案】

证明：(1)∵BE，CF都是△ABC的高，

∴∠ABE＋∠BAC＝90°，∠ACF＋∠BAC＝90°.

∴∠ABE＝∠ACF.

在△BAD和△CGA中，

∴△BAD≌△CGA(SAS)．

(2)∵△BAD≌△CGA，∴∠G＝∠BAD.

∵∠AFG＝90°，

∴∠GAD＝∠BAD＋∠BAG＝∠G＋∠BAG＝90°.∴AD⊥AG.

25. 如图，AB为⊙O的直径，C为圆外一点，AC交⊙O于点D，BC2＝CD·CA，＝，BE交AC于点F.

(1)求证：BC为⊙O的切线；

(2)判断△BCF的形状并说明理由；

(3)已知BC＝15，CD＝9，∠BAC＝36°，求的长度(结果保留π).

【答案】

 (1)证明：∵BC2＝CD·CA，

∴＝，

∵∠C＝∠C，

∴△CBD∽△CAB，

∴∠CBD＝∠BAC，

又∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

即∠BAC＋∠ABD＝90°，

∴∠ABD＋∠CBD＝90°，

即AB⊥BC，

又∵AB为⊙O的直径，

∴BC为⊙O的切线；

(2)解：△BCF为等腰三角形．

证明如下：∵＝，

∴∠DAE＝∠BAC，

又∵△CBD∽△CAB，

∴∠BAC＝∠CBD，

∴∠CBD＝∠DAE，

∵∠DAE＝∠DBF，

∴∠DBF＝∠CBD，

∵∠BDF＝90°，

∴∠BDC＝∠BDF＝90°，

∵BD＝BD，

∴△BDF≌△BDC，

∴BF＝BC，

∴△BCF为等腰三角形；

(3)解：由(1)知，BC为⊙O的切线，

∴∠ABC＝90°

∵BC2＝CD·CA，

∴AC＝＝＝25，

由勾股定理得AB＝＝＝20，

∴⊙O的半径为r＝＝10，

∵∠BAC＝36°，

∴所对圆心角为72°.

则＝＝4π.

26. 如图①所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C>∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于点F.

(1)试探索∠DEF与∠B，∠C之间的数量关系；

(2)如图②所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索得到的结论是否还成立？

【答案】

解：(1)∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠BAC.

又∵∠BAC＝180°－(∠B＋∠C)，

∴∠1＝[180°－(∠B＋∠C)]＝90°－(∠B＋∠C)．

∴∠EDF＝∠B＋∠1＝∠B＋90°－(∠B＋∠C)＝90°＋(∠B－∠C)．

∵EF⊥BC，∴∠EFD＝90°.

∴∠DEF＝90°－∠EDF＝90°－[90°＋(∠B－∠C)]＝(∠C－∠B)．

(2)当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，在(1)中探索得到的结论仍成立