专题22 四边形中的动点综合问题

专题22 四边形中的动点综合问题

1、如图，已知∠MON＝90°，A，B分别是边OM和ON上的点，四边形ACDB和四边形OEFC都是正方形．

（1）当OA＝2，OB＝1时，求OC的长．

（2）当OB＝1，点A在直线OM上运动时，求OC的最小值．

（3）设S△CDF＝y，OA＝x，求y关于x的函数关系式．

2、已知四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，且AB＞CE．

（1）如图1，连接BG、DE．求证：BG＝DE；

（2）如图2，如果正方形CEFG绕点C旋转到某一位置恰好使得CG∥BD，BG＝BD．

①求∠BDE的度数；

②若正方形ABCD的边长是，请求出△BCG的面积．

3、如图，正方形ABCD的边长为4cm，动点P从A点出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t（s），△APD的面积为S（cm2），S与t的函数图象如图所示，请回答下列问题：

（1）点P在AB上运动时间为　   　s，在CD上运动的速度为　   　cm/s，△APD的面积S的最大值为　   　cm2；

（2）将S与t之间的函数关系式补充完整S＝；

（3）请求出运动时间t为几秒时，△APD的面积为6cm2．

4、已知，在△ABC中，∠BAC＝90°，∠ABC＝45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B、C重合），以AD为边做正方形ADEF，连接CF．

（1）如图①，当点D在线段BC上时，直接写出线段CF、BC、CD之间的数量关系　   　．

（2）如图②，当点D在线段BC的延长线上时，其他件不变，则（1）中的三条线段之间的数量关系还成立吗？如成立，请予以证明，如不成立，请说明理由；

（3）如图③，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC两侧，其他条件不变；若正方形ADEF的边长为4，对角线AE、DF相交于点O，连接OC，请直接写出OC的长度．

5、如图1，已知正方形ABCD，E是线段BC上一点，N是线段BC延长线上一点，以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG．

（1）连接GD，求证DG＝BE；

（2）连接FC，求tan∠FCN的值；

（3）如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝3，BC＝8，E是线段BC上一动点（不含端点B，C），以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．当点E由B向C运动时，判断tan∠FCN的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

6、如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．

（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；

（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；

（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值？若存在，求此时的值；若不存在，请说明理由．

7、如图，在长方形ABCD中，AB＝4cm，BE＝5cm，点E是AD边上的一点，AE、DE分别长acm、bcm，满足（a﹣3）2+|2a+b﹣9|＝0．动点P从B点出发，以2cm/s的速度沿B→C→D运动，最终到达点D．设运动时间为ts．

（1）a＝　   　cm，b＝　   　cm；

（2）t为何值时，EP把四边形BCDE的周长平分？

（3）另有一点Q从点E出发，按照E→D→C的路径运动，且速度为1cm/s，若P、Q两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t为何值时，△BPQ的面积等于6cm2．

8、如图所示，四边形ABCD为平行四边形，AD＝13，AB＝25，∠DAB＝α，且cosα＝，点E为直线CD上一动点，将线段EA绕点E逆时针旋转α得到线段EF，连接CF．

（1）求平行四边形ABCD的面积；

（2）当点C、B、F三点共线时，设EF与AB相交于点G，求线段BG的长；

（3）求线段CF的长度的最小值．

9、在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A（5，0）在x轴的正半轴上，四边形OABC为平行四边形，对角线OB＝OA，BC交y轴于点D，且S▱OABC＝20．

（1）如图①，求点B的坐标：

（2）如图②，点P在线段OD上，设点P的纵坐标为t，△PAB的面积为S，请用含t的式子表示S；

（3）在（2）的条件下，如图③，点Q在x轴上，点R为坐标平面内一点，若∠OCB﹣∠CBP＝45°，且四边形PQBR为菱形，求t的值并直接写出点Q的坐标．

10、已知在四边形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，AB＝4，BC＝6．

（1）如图1，P为AB边上一点，以PD，PC为边作平行四边形PCQD，过点Q作QH⊥BC，交BC的延长线于H．求证：△ADP≌△HCQ；

（2）若P为AB边上任意一点，延长PD到E，使DE＝PD，再以PE，PC为边作平行四边形PCQE．请问对角线PQ的长是否存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．

（3）如图2，若P为DC边上任意一点，延长PA到E，使AE＝nPA（n为常数），以PE，PB为边作平行四边形PBQE．请探究对角线PQ的长是否也存在最小值？如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．

11、已知：如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8，AB＝10，点P，E，F分别是AB，AC，BC上的动点，且AP＝2CE＝2BF，连结PE，PF，以PE，PF为邻边作平行四边形PFQE．

（1）当点P是AB的中点时，试求线段PF的长．

（2）在运动过程中，设CE＝m，若平行四边形PFQE的面积恰好被线段BC或射线AC分成1：3的两部分，试求m的值．

（3）如图②，设直找FQ与直线AC交于点N，在运动过程中，以点Q，N，E为顶点的三角形能否构成直角三角形？若能，请直接写出符合要求的CE的长；若不能，请说明理由．

12、将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A（8，0），点C（0，6）．P是边OC上的﹣一点（点P不与点O，C重合），沿着AP折叠该纸片，得点O的对应点O'．

（Ⅰ）如图①，当点O'落在边BC上时，求点O'的坐标；

（Ⅱ）若点O'落在边BC的上方，O'P，O'A与分别与边BC交于点D，E．

①如图②，当∠OAP＝30°时，求点D的坐标；

②当CD＝O'D时，求点D的坐标（直接写出结果即可）．

13、在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC＝5，AD＝6，BC＝12．

（1）梯形ABCD的面积等于　   　．

（2）如图1，动点P从D点出发沿DC以每秒1个单位的速度向终点C运动，动点Q从C点出发沿CB以每秒2个单位的速度向B点运动．两点同时出发，当P点到达C点时，Q点随之停止运动．当PQ∥AB时，P点离开D点多少时间？

（3）如图2，点K是线段AD上的点，M、N为边BC上的点，BM＝CN＝5，连接AN、DM，分别交BK、CK于点E、F，记△ADG和△BKC重叠部分的面积为S，求S的最大值．