2020-2021学年1.5 全称量词与存在量词精品巩固练习

这是一份2020-2021学年1.5 全称量词与存在量词精品巩固练习，共3页。

1．下列命题中的假命题是( B )
A．菱形的四条边都相等
B．∀x∈N*，(x－1)2>0
C．存在一个三角形内角，其正弦值为 eq \f(1,2)
D．∃x，y∈R，(x－1)2＋(y＋2)2＝0
2．下列四个命题中的真命题为( A )
A．若两条直线平行，则内错角相等
B．∀x∈R，都有x3＋1>0
C．若x2＝2，则x＝ eq \r(2)
D．∃x∈Z，使1<4x<3
3．“存在集合A，使∅?A”，对这个命题，下面说法正确的是( C )
A．全称量词命题、真命题
B．全称量词命题、假命题
C．存在量词命题、真命题
D．存在量词命题、假命题
4．设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( B )
A．∀x∈Q，有x∈P
B．∀x∉Q，有x∉P
C．∃x∉Q，使得x∈P
D．∃x∈P，使得x∉Q
5．给出下列命题：
①存在实数x>－1，使x2>1；
②全等的三角形必相似；
③有些相似三角形全等；
④至少有一个实数a，使ax2－ax＋1＝0的根为负数．
其中存在量词命题的个数为( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 ①③④为存在量词命题，②为全称量词命题，故选C.
6． eq \a\vs4\al(【多选题】) 下列四个命题中，真命题是( AD )
A．∀x∈R，2x2－3x＋4≠0
B．∀x∈{1，－1，0}，2x＋1>0
C．∃x∈N，使x2D．∃x∈N*，使x为31的约数
【解析】 A选项，因为Δ＝(－3)2－4×2×4<0，所以方程2x2－3x＋4＝0无实数解，故A为真命题；B选项，由于当x＝－1时，2x＋1>0不成立，故B为假命题；C选项，当0二、填空题
7．对任意x>3，有x>a恒成立，则实数a的取值范围是__a≤3__．
8．给出下列四个命题：
①有些梯形的对角线不相等；
②对任意实数x，均有x＋1>x；
③∃x∈R，x2＋2ax＋a2＋1<0；
④有些三角形不是等腰三角形．
其中所有真命题的序号为__①②④__．
【解析】 显然①②④是真命题，而x2＋2ax＋a2＋1＝(x＋a)2＋1≥1，所以③是假命题．
9．下列命题中，全称量词命题是__①②③__；存在量词命题是__④__．(填序号)
①正方形的对角线互相垂直且相等；
②有两个角是45°的三角形是等腰直角三角形；
③正数的平方根不等于0；
④至少有一个正整数是偶数．
【解析】 根据全称量词命题和存在量词命题的概念判断．
10．若不等式a＋2≥x2对任意x∈{x|－1≤x≤3}恒成立，求实数a的取值范围．
解：当－1≤x≤3时，x2取得最大值9，因为不等式a＋2≥x2对任意x∈{x|－1≤x≤3}恒成立，所以a＋2≥9，得a≥7.
[B级 素养养成与评价]
11．下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是( D )
A．所有能被2整除的数都是偶数
B．存在一个三角形内角x，cs x＝ eq \f(\r(3),2)
C．∃m∈R，x2＋mx＋1＝0无解
D．∀x∈N，x3>x2
12．命题p：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，x≥m”是真命题，则下列命题中真命题的个数是( B )
①一次函数y＝x＋m的图象经过第一、三、四象限；
②二次函数y＝mx2＋x－2的图象开口向下；
③∃x0∈{x|－1≤x≤1}，x0＋m>0；
④∀x∈R，(m2－1)x2>0.
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】 由命题p：“∀x∈{x|－1≤x≤1}，x≥m”是真命题，得m≤－1，所以①②是真命题，③④是假命题．所以真命题的个数是2.
13．有下列命题：
①存在x<0，使|x|>x；
②对于一切x<0，都有|x|>x；
③已知x＝2n，y＝3n，对于任意n∈N*，都有x≠y；
④已知A＝{x|x＝2n}，B＝{y|y＝3n}，对于任意n∈N*，都有A∩B＝∅.
其中所有真命题的序号为__①②③__.
【解析】 命题①②显然为真命题；对于命题③，因为y－x＝3n－2n＝n>0，所以x≠y，故为真命题；对于命题④，已知A＝{x|x＝2n}，B＝{y|y＝3n}，所以6∈A，6∈B，所以A∩B＝{6}，故为假命题．
14．已知函数f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在实数m，使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立？并说明理由；
(2)若存在实数x，使不等式m－f(x)>0成立，求实数m的取值范围．
解：(1)不等式m＋f(x)>0可化为m>－f(x)，即m>－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m>－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m>－4即可．故存在实数m使不等式m＋f(x)>0对于任意x∈R恒成立，此时m>－4.
(2)不等式m－f(x)>0可化为m>f(x).若存在实数x使不等式m>f(x)成立，只需m>f(x)min.
又f(x)＝(x－1)2＋4，所以f(x)min＝4，即得m>4，
故所求实数m的取值范围是m>4.
15．已知命题p：函数y＝ax2＋2x＋1的图象恒在x轴上方，若∀x∈R，p是真命题，求实数a的取值范围．
解：由题意可得，∀x∈R，函数y＝ax2＋2x＋1的图象恒在x轴上方．
①当a＝0时，y＝ax2＋2x＋1＝2x＋1，显然图象不恒在x轴上方，不合题意．
②当a≠0时，要使函数y＝ax2＋2x＋1的图象恒在x轴上方，
则 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a>0，,Δ＝4－4a<0，)) 解得a>1.
综上可知，所求实数a的取值范围是a>1.